高中数学第三章指数函数和对数函数3.3指数函数PPT省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

因为 y＝21u 在(－∞，9]上是减函数， 所以21u≥219＝5112， 所以 y＝21－x2＋2x＋8的定义域为 R，
值域为yy≥5112
.
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类型四 利用指数函数的单调性比较大小
[例 4] 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5 与 1.53.2；
(2)0.6－1.2 与 0.6－1.5；
【解析】 要使函数有意义，必须使 1－4x≥0 即 4x≤1， 解得 x≤0， ∴函数定义域为(－∞，0]． 【答案】 (－∞，0]
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课堂探究 类型一 指数函数的概念 [例 1] 下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x；②y＝2 x2－1；③y＝ax； ④y＝(2a－1)xa>12，且a≠1；⑤y＝2×3x.
(2)当 a>0 且 a≠1 时，总有 f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数 f(x)＝ ax－3－2 必过定点(3，－1)．
【答案】 (1)B (2)(3，－1)
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方法归纳,
指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为： (1)无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1) 的图像与直线 x＝1 相交于点(1，a)，由图像可知：在 y 轴右侧，图像 从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限 内，底数自下而上依次增大．
5 2 (3)8 3
与
1；
4 (4)5
1 2
与190
1 3
.
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【思路点拨】 比较指数式大小的题型及方法 (1)当同底数时，可利用函数的单调性比较； (2)若底数 a 与 1 的关系不确定时，要分情况讨论； (3)当底数不同时常借助中间量 1,0 或与两指数有关的数比较．
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【解析】 (1)函数 y＝1.5x 在 R 上是增函数，
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4．下列大小关系正确的是( ) A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4 C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
【解析】 故选 B.
【答案】
因为 π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1，所以 0.43<π0<30.4， B
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5．函数 y＝ 1－4x的定义域是________．
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2．指数函数的图像和性质
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3.指数函数底数与图像间的关系 (1)当 a>b>1，当 x>0 时，函数 y＝ax 的图像在 y＝bx 图像的上方； 当 x<0 时，函数 y＝ax 的图像在 y＝bx 图像的下方． (2)若 1>a>b>0，当 x>0 时，函数 y＝ax 的图像在 y＝bx 图像的下方； 当 x<0 时，函数 y＝ax 的图像在 y＝bx 图像的上方． (3)函数 y＝ax 和 y＝a－x(a>0 且 a≠1)的图像关于 y 轴对称． (4)底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低；不论 a>1 或 a<1， 在第一象限内底数越大，图象越高．
C．y＝3x
D．y＝1x
【解析】 只有 y＝3x 符合指数函数的定义，故选 C. 【答案】 C
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3．函数 y＝(a－2)x 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是( )
A．a>0 且 a≠1 B．a>3
C．a<3
D．2<a<3
【解析】 由指数函数单调性知，底数大于 1 时为增函数， ∴a－2>1，∴a>3，故选 B. 【答案】 B
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|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数 y＝ax 中，a 可以为负数．( × ) (2)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (3)函数 y＝2－x 的定义域为{x|x≠0}．( × )
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2．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝－2x
B．y＝2x＋1
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【解析】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量 x，而是 x 的函数，所以不是指数函数． ③中底数 a，只有规定 a>0 且 a≠1 时，才是指数函数． ④因为 a>12且 a≠1，所以 2a－1>0 且 2a－1≠1， 所以 y＝(2a－1)xa>12，且a≠1为指数函数． ⑤中 3x 前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数.
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跟踪训练 3 求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝2 x ； (2)y＝12－x2＋2x＋8 .
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【解析】 (1)设 u＝1x，则 x≠0，u≠0，由 y＝2u，知 y≠1，
1
所以函数 y＝2 x 的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，
值域为{y|y>0，且 y≠1}．
(2)设 u＝－x2＋2x＋8，则 u＝－(x－1)2＋9≤9.
方法归纳,
解指数不等式应注意的问题 (1)形如 ax>ab 的不等式，借助于函数 y＝ax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论； (2)形如 ax>b 的不等式，注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形 式，再借助于函数 y＝ax 的单调性求解．
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3．3 指数函数
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【课标要求】 1.掌握指数函数的概念. 2.掌握指数函数的图像和性质. 3.会画指数函数的图像，并利用图像解题. 4.会利用指数函数的性质解决简单的问题．
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|新知预习| 1．指数函数的定义 函数 y＝ax(a>0 且 a≠1，x∈R)叫作指数函数，其中 x 为自变量．
(2)①中指数式( 2)x 的系数不为 1，故不是指数函数；②中 y＝2x－
1＝12·2x，指数式 2x 的系数不为 1，故不是指数函数；④中底数为 x，不
满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是 x，故不
是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数
函数．故填③.
【答案】 (1)(－∞，1)∪1，32 (2)③
跟踪训练 5 如果 a－3x<ax＋8(a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围． 【解析】 ①当 a>1 时，y＝ax 是增函数， 由 a－3x<ax＋8 得－3x<x＋8， 解得 x>－2. ②当 0<a<1 时，y＝ax 是减函数， 由 a－3x<ax＋8 得－3x>x＋8， 解得 x<－2. 即 x 的取值范围为(－∞，－2)．
又根据指数函数 y＝0.2x 的性质可得 0.20.3<0.20.2，所以 0.20.3<0.30.2.
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类型五 解简单的指数不等式 [例 5] (1)解不等式31x2－2≤3； (2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求 x 的取值范围．
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【解析】 (1)13x2－2＝(3－1)x2－2＝32－x2， ∴原不等式等价于 32－x2≤31.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数 y＝32x 与 y＝43x 的图 像，如图所示．当 x＝－0.5 时，由图像观察可得32－0.5>因为 0<0.2<0.3<1，所以指数函数 y＝0.2x 与 y＝0.3x 在定义域 R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数 y＝0.2x 的图像在函数 y＝0.3x 的图像的下方，所以 0.20.2<0.30.2.
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【解析】 (1)令 u＝－|x|， ∵x∈R 时，u＝－|x|的定义域为 R. ∴y＝32－|x|的定义域为 R. ∵x∈R 时，u＝－|x|≤0， ∴y＝32－|x|＝32u≥230＝1. ∴y＝32－|x|的值域为[1，＋∞)．
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(2)由 x－2≠0 得 x≠2，
1
∴y＝2 x2 的定义域是{x|x≠2}． ∵x－1 2≠0，∴y≠20，即 y≠1.又 y＝2x－1 2>0， ∴y＝2x－1 2的值域是(0,1)∪(1，＋∞)． (3)定义域为 R. ∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2， 由 2x>0 知 2x＋1>1，∴(2x＋1)2>1. ∴y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为(1，＋∞)．
范围是________；
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·( 2)x；②y＝2x－1；③y＝2πx；
④y＝xx；⑤y＝3
1 x
；⑥y＝x
1 3
.
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【解析】 (1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，
则 3－2a>0，
3－2a≠1， 解得 a<32且 a≠1.
∵y＝3x 是 R 上的增函数，∴2－x2≤1. ∴x2≥1，即 x≥1 或 x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1， ∴y＝(a2＋2a＋3)x 在 R 上是增函数．
∴x>1－x，解得
1 x>2.
∴x 的取值范围是xx>12
.
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跟踪训练 2 (1)已知 1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx 的 图像为( )
(2)若 a>1，－1<b<0，则函数 y＝ax＋b 的图像一定在( ) A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
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【解析】 (1)由于 0<m<n<1，所以 y＝mx 与 y＝nx 都是减函数， 故排除 A、B，作直线 x＝1 与两个曲线相交，
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类型二 指数函数的图像问题
[例 2] (1)如图所示是下列指数函数的图像：
①y＝ax；
②y＝bx；
③y＝cx;
④y＝dx.
则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( )
A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c
C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c
(2)当 a>0 且 a≠1 时，函数 f(x)＝ax－3－2 必过定点________．
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方法归纳, (1)对于 y＝af(x)这类函数， ①定义域是指使 f(x)有意义的 x 的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解： ⅰ由定义域求出 u＝f(x)的值域； ⅱ利用指数函数 y＝au 的单调性或利用图像求得此函数的值 域． (2)对于 y＝(ax)2＋b·ax＋c 这类函数， ①定义域是 R. ②值域可以分以下两步求解： ⅰ设 t＝ax，求出 t 的范围； ⅱ利用二次函数 y＝t2＋bt＋c 的配方法求函数的值域．
(4)取中间量190
1 2
，
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方法归纳, 比较幂值大小的三种类型及处理方法
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跟踪训练 4 比较下列各题中两个值的大小： (1)75－1.8，57－2.5； (2)32－0.5，34－0.5； (3)0.20.3,0.30.2.
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【解析】 (1)因为 0<57<1，所以函数 y＝75x 在其定义域 R 上单调 递减，又－1.8>－2.5，所以75－1.8<75－2.5.
∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.
(2)函数 y＝0.6x 在 R 上是减函数， ∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)因为 0<58<1，所以函数 y＝85x 在定义域 R 内是减函数，又因为 －23<0，
所以85
2 3
>850＝1，
所以85
2 3
>1.
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交点在下面的是函数 y＝mx 的图像，故选 C. (2)∵a>1，且－1<b<0，故其图像如图所示． 【答案】 (1)C (2)A
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类型三 与指数函数有关的定义域、值域 [例 3] 求下列函数的定义域、值域： (1)y＝23－|x|；
1
(2)y＝2 x2 ； (3)y＝4x＋2x＋1＋1.
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【解析】 (1)可先分为两类，③④的底数一定大于 1，①②的底 数一定小于 1，然后再由③④比较 c，d 的大小，由①②比较 a，b 的 大小．当指数函数的底数大于 1 时，图像上升，且当底数越大，图像 向上越靠近 y 轴；当底数大于 0 小于 1 时，图像下降，且当底数越小， 图像向下越靠近 x 轴，故选 B.
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方法归纳,
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判定其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一 结构特征． ②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不 具备，则不是指数函数． (2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
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跟踪训练 1 (1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，则实数 a 的取值