07_选修数学甲(上)教师手册_第 2 章 三角函数[6页]

第 2 章三角函數壹、教學目標與節數
貳、教材地位分析
參、教學摘要
本章首先複習弧度的觀念，並以第三冊第一章所介紹的正弦、餘弦、正切函數為基礎，進一步介紹餘切、正割、餘割函數。

利用定義討論它們的倒數關係、商數關係和平方關係，但三角恆等式不宜過度操作。

由描點的方式繪製三角函數的圖形，並介紹三角函數的週期性質及圖形的平移與伸縮。

接著，利用三角函數刻劃波動現象，包括正、餘弦函數的疊合，並利用三角函數來表示圓、橢圓及其應用。

複數的幾何意涵是以三角函數呈現，內容包括複數的極式與棣美弗定理。

為了處理 1 的n次方根問題，要複習正、餘弦函數的和角公式。

2-1一般三角函數的性質與圖形
1. 弧度、弧長與扇形面積：
(1) 讓學生複習角度有兩種單位，並能熟練弧度與度的單位換算。

(2) 度不可省略單位，弧度可省略單位。

(3) 讓學生以弧度的定義導出弧長公式。

(4) 利用扇形的圓心角與圓周角的比值等於扇形面積與圓面積的比值，來推導扇形面積公
式。

2. 三角函數的定義與基本性質：
(1) 先複習第三冊的三個銳角三角函數，再定義新的三個銳角三角函數。

(2) 熟練六個銳角三角函數。

(3) 定義六個廣義角三角函數。

(4) 由定義求出廣義角三角函數的值。

(5) 由三角函數的定義推導出倒數關係。

(6) 由三角函數的定義推導出商數關係。

(7) 由三角函數的定義推導出平方關係。

(8) 利用三種關係證明三角恆等式。

(9) 利用定義及已知的三種關係推得新介紹的三角函數也具有負角關係、補角關係與餘角
關係。

(10) 由定義導出三角函數在各象限角時的正負情形。

(11) 利用上述的關係解決綜合性的三角函數問題。

3. 三角函數的圖形：
(1) 先由描點的方式畫出六個三角函數的圖形，並說明其定義域與值域。

(2) 由圖形判斷三角函數的週期、最大值、最小值。

(3) 觀察正、餘弦三角函數圖形之間的關係，並以平移的方式輔助說明。

4. 三角函數圖形的平移與伸縮：
(1) 先複習一般函數圖形的平移。

(2) 由已知的三角函數圖形利用平移的方法畫出相關的三角函數圖形。

(3) 複習一般函數圖形的伸縮。

(4) 利用伸縮的方法畫出三角函數的圖形。

2-2 三角函數的應用
1. 正、餘弦函數的疊合：
(1) 透過圖形的疊合，讓學生觀察到 y ＝sin x ＋cos x
的正弦函數。

(2) 透過和角公式，讓學生感受到正、餘弦函數的和 sin x ＋cos x 真的可表示成
sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

(3) 由和角公式導出同週期正、餘弦函數和 a sin x ＋b cos x 的疊合公式。

(4) 透過物理的觀點來看待上述的結果。

(5) 能利用疊合求出正、餘弦函數和的最大值與最小值。

(6) 利用疊合解三角不等式。

2. 圓、橢圓的參數式：
(1) 利用三角函數表示圓、橢圓的參數式。

(2) 能利用圓、橢圓的參數式解決相關的幾何問題。

2-3 複數的極式與幾何意義
1. 複數平面：
(1) 建立複數平面。

(2) 定義複數的絕對值。

(3) 以幾何方式輔助說明三角不等式。

2. 複數的極式：
(1) 定義複數的極式，並解釋當中的絕對值與輻角的意涵。

(2) 將複數化成極式表示。

(3) 利用複數相等的條件推導兩極式相等的條件。

(4) 利用極式做複數乘法並瞭解其幾何意義。

(5) 利用複數的極式來演算複數的乘法與除法，並體會其優勢。

(6) 在極式乘法的演算過程中，說明其絕對值及輻角的變化對應在複數平面上的伸縮及旋
轉的幾何意義。

3.
棣美弗定理：
(1) 利用和角公式與數學歸納法證明棣美弗定理。

(2) 利用棣美弗定理演算複數的指數式。

4.
複數的 n 次方根：
(1) 利用棣美弗定理解 1 的 n 次方根，並在複數平面上表示根的位置。

(2) 利用棣美弗定理解複數的 n 次方根，並在複數平面上表示根的位置。