厦门市高考数学(理科)单元练习(计数原理、随机变量及其分布列)

厦门市高考数学（理科）单元练习十三
（计数原理、随机变量及其分布列）
一、选择题：（8小题，每题5分，共40分）
1．随机变量X 的分布列如右表，则(54)E X +等于（ ） A ．2.2 B ．2.3 C ．11 D ．13
2．设i 为虚数单位，若6
()()a i a R +∈展开式中的第三项为15-，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．1或2 C ．– 1或1 D ．– 1或2
3．已知随机变量ξ服从正态分布2
(2,)N σ，(4)0.84P ξ≤=，则(0)P ξ<等于（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取2个不同的数，记事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于（ ） A ．
58 B ．38 C ．35
D ．1
2
5．某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则不同的邀请方法有（ ）
A ．84
B ．98
C ．112
D ．140
6．“母亲节”当天某种鲜花进货是每束2.5元，销售价是每束5元；当天卖不出去的鲜花以每束1.6元的价格处理。

根据前四年的销售情况预测，“母亲节”当天这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列：
若进这种鲜花500束，则“母亲节”当天利润的均值为（ ） A ．690元 B ．706元 C ．720元 D ．754元
7．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1， 第n 次摸取红球1， 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )
A ．52
5
7)3
2()3
1
(C B ．52
2
7)3
1()3
2(C C ．52
5
7)3
1()3
1(C D ．5
2
2
7)3
2()3
1(C 8．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向
上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
12，则质点P 移动到点（2，3）的概率是（ ） A ．532 B ．1
32
C ．516
D ．58
二、填空题：（6小题，每题5分，共30分）
9．已知随机变量X 的分布列为()(1,2,3)P X i ai i ===，则(1)P X == 。

10．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为
6581
，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。

11．从玉米、花生等6种种子中选出4种，分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种
植一种作物），若第一块空地上只能种玉米或花生，则不同的种植方案有 种（用数字作答）。

12．设2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=+++
+，则242n a a a ++
+的值为 。

13．在集合A ＝{m|关于x 的方程x 2＋mx ＋3
4
m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素m ，恰使式
子lg m 有意义的概率为________．
14．设l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取-，0
用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望()E ξ= 。

三、解答题：（6小题，共80分） 15．（满分13分）
某种商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元。

用η表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望()E η。

16．（满分13分）
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出
两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记x y ξ=+。

（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设“函数2
()1f x x x ξ=--在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A ，求
事件A 发生的概率。

17．（满分13分）
某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试。

假设该同学语文课程取得优秀成绩的概
率为
4
5
，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m ，n （m n >），且该同学3门课程都获得优秀的概率为24125，3门课程都未获得优秀的概率为6
125
，且不同课程是否
取得优秀成绩相互独立。

（Ⅰ）求该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率； （Ⅱ）记ξ为该同学取得优秀成绩的课程门数，求ξ的分布列。

18．（满分13分）
某数学教师为了研究学生的性别与喜欢数学之间的关系，随机抽测了20名学生，得到如下数据：
（Ⅰ）该教师能有多大把握认为性别与是否喜欢数学有关系？
（Ⅱ）按下面的方法从这20名学生中抽取1名来核查测量数据的误差：将一个标有数字
1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的每次积为被抽取学生的序号。

求抽到“无效序号”（超过20号）的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的抽取方法中，从不可能被抽到的学生中任选3名参加英语演讲比赛，
设随机变量ξ表示所选3名学生中的男生人数，求ξ的数学期望。

参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
参考数据：
19．（满分14分）
一个口袋中装有2个白球和n 个红球（2n ≥且*n N ∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（Ⅰ）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率p ； （Ⅱ）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值时，()f p 最大？ 20．（满分14分）
有一位高三学生盼望进入名牌大学学习，假设该名牌大学满足以下每种方式都可录取： ①2013年2月国家队数学奥赛集训队考试通过（集训队从2012年10月省数学竞赛一等奖中选拔）；
②2013年3月自主招生考试通过并且2013年6月高考分数达到重点本科线； ③2013年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点本科线）。

该学生具有参加省数学竞赛、自主招生考试和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表：
如果数学竞赛获省一等奖，该学生优良自己进入国家集训队的概率为0.4。

若进入国家集训队，则提前录取；若未被录取，则再按②、③顺序依次录取；前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取。

（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；
（Ⅱ）求该学生参加考试次数ξ的分布列及数学期望； （Ⅲ）求该学生被该校录取的概率。

2013届协作体数学（理科）单元练习（十三）参考答案
（计数原理、随机变量及其分布列）
编写：厦门市灌口中学
1．答案：D 。

2．答案：C 。

3．答案：A 。

4．答案：B 。

5．答案：D 。

6．答案：B 。

7．答案：B 。

解析： S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，
又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13. 故所求概率为P ＝C 27(23)2(13)5
.
8．答案：C 。

解析：质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率为2
2
3
51
1105()(1)2
2
3216
C ⋅⋅-=
=。

9．答案：16。

10．答案：1
3。

11．答案：120。

12．答案：
1(31)2
n
-。

13．答案：5
4。

由Δ＝m 2
－4(34m ＋1)＜0，得－1＜m ＜4.
即A ＝{m|－1＜m ＜4}．
由lg m 有意义知m ＞0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)
故所求概率为P ＝4－04－(－1)＝4
5
.
14．答案：4
7
．解析：设直线l 的方程为1y kx =+，原点O 到直线l 的距离为d =
，
∴当k =±时，13d =
；当k =12d =；当2k =±时，2
3
d =；当0k =时，
1d =；由古典概型的概率公式可得分布列如下：
∴()137273777
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
15．解析：（Ⅰ）用A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，则A
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，则3
()(10.4)0.216P A =-=，
∴()1()10.2160.784P A P A =-=-=，
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元，(200)(1)0.4P P ηξ====，
(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=， (30)(4)(5)0.10.10.2P P P ηξξ===+==+=，
∴η的分布列为：
()2000.42500.43000.2240E η=⨯+⨯+⨯=（元）． 16．解析：（Ⅰ）由题知随机变量ξ的可能取值为2、3、4，
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为2
46C =；
当2ξ=时，摸出的小球所标的数字为1、1，∴1(2)6P ξ==； 当4ξ=时，摸出的小球所标的数字为2、2，∴1
(4)6
P ξ==；
于是可知当3ξ=时，112
(3)1663
P ξ==--=；
∴ξ的分布列为：
∴()2343636
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（Ⅱ）因为函数2
()1f x x x ξ=--在区间（2，3）上有且只有一个零点，
∴(2)(3)0f f <，即(32)(83)0ξξ--<，
∴
38
23
ξ<<，且ξ的所有可能取值为2、3、4，∴2ξ=， ∴1()(2)6P A P ξ===，即事件A 发生的概率为1
6
．
17．解析：设事件i A 表示：该同学语文、数学、英语课程取得优秀成绩，i =1，2，3，
由题意可知，14
()5
P A =
，2()P A m =，3()P A n =． （Ⅰ）由于事件“该同学至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，
∴该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率是6119
1(0)1125125
P ξ-==-
=
． （Ⅱ）由题意可知，12346
(0)()(1)(1)(1)5125
P P A A A m m ξ==⋅⋅=---=，
123424(3)()5125P P A A A mn ξ==⋅⋅==
，解得3
5
m =，25n =（m n >）． 123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 41137
(1)(1)(1)(1)555125
m n m n m n =--+-+-=
， 58(2)1(0)(1)(3)125
P P P P ξξξξ==-=-=-==， ∴ξ的分布列为：
18．解析：（Ⅰ）根据题中表格数据制作2×2列联表如下：
假设0H ：性别与是否喜欢数学之间没有关系．
根据上述列联表可以求得2
K 的观测值为2
20(51113) 6.7063614812
k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯， 当0H 成立时，2
( 6.635)0.0101%P K ≥≈=，而这里6.7063 6.635>，
∴认为性别与是否喜欢数学之间没有关系的概率是1%，
∴该数学教师有99%的把握认为：性别与是否喜欢数学之间有关系．
（Ⅱ）将一个骰子连续投掷两次，事件“朝上的两个数字的乘积”有6×6 = 36种， 因为朝上的两个数字的乘积为“无效序号（超过20号）”的事件有6种：4×6，5×5，6×4，6×5，6×6，∴抽到“无效序号（超过20号）”的概率为261
366
P =
=． （Ⅲ）由题知，不可能被的到的序号是7，11，13，14，17，19，其中包括2名男生4名女生，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
则0324361(0)5C C P C ξ===，1224363(1)5C C P C ξ===，21243
61
(2)5
C C P C ξ===， ∴随机变量ξ的分布列为：
随机变量ξ的数学期望为()0121555
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． 19．解析：（Ⅰ）因为一次摸球从(2)n +个球中任选两个，有2
2n C +种选法，任何一个球被选
出都是等可能的，其中两球颜色相同有22
2n C C +种选法，
∴一次摸球中奖的概率222222
22
32
n n C C n n p C n n ++-+==++． （Ⅱ）若3n =，则一次摸球中奖的概率2
5p =
，三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是12
33
54(1)(1)125
P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球中奖的概率是
1
23233()(1)(1)363f p P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，
2()91233(1)(31)f p p p p p '=-+=--，
因为01p <<，∴1()003f p p '>⇔<<
，()f p 在1
(0,)3
上为增函数； 1()013f p p '<⇔
<<，()f p 在1
(,1)3
上为减函数；
∴当1
3
p =时，()f p 取得最大值，∴2221323n n p n n -+==++（2n ≥且*n N ∈），
解得2n =，故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大．
20．解析：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队分别为事件A 、B ，
()0.5P A =，()0.4P B =，则1()()(10.5)0.5(10.4)0.8P P A P A B =+⋅=-+⨯-=， 故该学生参加自主招生考试的概率为0.8． （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，
2ξ=表示该学生省数学竞赛获一等奖且进入国家集训队，
即(2)()0.50.40.2P P AB ξ===⨯=；
3ξ=表示该学生省数学竞赛未能获一等奖，此时须参加自主招生及高考，
∴(3)1()10.50.5P P A ξ==-=-=；
4ξ=表示该学生省数学竞赛获一等奖且未能进入国家集训队，此时须参加自主招生及
高考，∴(4)0.5(10.6)0.3P ξ==⨯-=； ∴ξ的分布列为：
()20.230.540.3 3.1E ξ=⨯+⨯+⨯=.
（Ⅲ）该学生被该校录取有如下三种可能：
（1）省数学竞赛获一等奖且进入国家集训队，为事件AB ，且()0.2P AB =； （2）自主招生考试通过且高考达到重点本科线，记为事件C ， 且()0.80.70.80.448P C =⨯⨯=；
（3）自主招生考试未通过但高考达到该校录取线，记为事件D ， 且()0.80.30.60.144P D =⨯⨯=； ∴该学生被该校录取的概率为
2()()()0.20.4480.1440.792P P AB P C P D =++=++=．。