第4讲 异方差与自相关

对于如何修正模型中存在的自相关问题，要做好两个工作：一是自相 关的检验——准确地对所建立的模型进行检验，从而确定自相关是否 存在；二是自相关的处理——若发现模型存在自相关，要进行合理地 修正模型重新进行估计。
若解释变量满足严格外生性的假定，那么FGLS的估计效 果是比较准确的。而若解释变量不满足“严格外生”仅仅 满足“前定解释变量”的条件，则FGLS的估计效果是可 能不一致的，而OLS估计量是一致的。 （4）修改模型 这个方法是认为模型自相关的产生可能是因为模型设定有 误，通过修改模型达到消除自相关的目的。当然这个不是 本章实验的重点，但对于计量经济学建立模型确实很重要。
通过绘制残差图可以直观地观察到是否存在异方 差，但是观察残差图的方法标准较为模糊，会遇 到模型残差图很难判断的情形。所以只采用残差 图的方式判定模型的方差形式是不够严谨的，必 须配合下面几种正规的检验方法才有信服力。 （2）怀特检验法 根据本章节介绍的该方法的原理，Stata可以直接 得到检验结果。对模型基本回归结束后，需要在 命令窗口输入如下命令：
实验内容和实验数据 根据某统计资料，得到英国政府1952-1995年间每 月短期利率和长期利率的数据ukrates.dta。实验 据此来考察英国政府如何根据长期利率（r20） 的变化来调整短期利率（rs）。完整的数据在本 书附带光盘data文件夹下“ukrates.dta”工作文件 中。 利用ukrates 数据，运用计量经济学建立模型来研 究两利率之间的关系，并检验模型是否存在自相 关问题，然后在Stata中对模型存在的自相关问题 进行处理。
（二） 异方差的处理方法
（1）稳健标准差加OLS法 只要样本容量足够大，在模型出现异方差的情况 下，使用稳健标准差时参数估计、假设检验等均 可正常进行，即可以很大程度上消除异方差带来 的副作用。
（2）广义最小二乘法
（3）加权最小二乘法（WLS）
（4）可行广义最小二乘法 该方法是先用样本数据一致的估计出V(X),然后使用GLS法对模型进行估计。 （此方法克服了GLS和WLS要求扰动项协方差已知的缺点）
（4）FGLS(可行广义最小二乘法) 对于(2)、(3)、(4)三种方法实际上是类似的，由于GLS、WLS使用到 未知的V（X），使用时必须将V(X)已知化，实际上就是FGLS了。现 代计量经济学多使用FGLS法。 Stata中FGLS法操作步骤和命令的基本步骤如下：
reg y x1 x2… [aweight=invvar] 输入此命令语句对模型加上得出的权重进行修正回归，这 样就基本完成了FGLS法回归，可以得到一个修正回归后 的结果。 那么在本实验中，使用FGLS方法来对模型进行修正回归 的操作如下： predict u, residuals gen lnu2=ln(u^2) 然后进行回归，并得到拟合值， quietly reg lnu2 lnq lnpl lnpf lnpk predict g, xb 找到权重，对模型加上权重进行回归就可以得到图8.13的 回归结果图。 gen h=exp(g) gen invvar=1/h reg lntc lnq lnpl lnpf lnpk [aweight=invvar]

在本实验中，在模型的基本回归结束后，使用WLS法对模 型进行异方差的修正。具体做法是Stata命令窗口中输入 如下命令可以得到图8.12所示结果： predict u, residuals predict yf, xb gen lnu2=ln(u^2) gen yf2=yf^2 quietly reg lnu2 yf yf2 predictnl u2f = exp (xb()) gen sd=sqrt(u2f) vwls lntc lnq lnpl lnpf lnpk , sd(sd)
模型回归结果图看出，模型系数的估计值发生了很大变化， 且系数估计的p值显示只有lnpl的系数估计值未通过检验。
另外，加权最小二乘法可以通过regress命令中的weight选 项来实现。 接着上文定义的有关变量，gen invar=1/u2f regress y x1 x2 …(iweight=invvar) 这两条命令以gen生成权重来进行基本回归估计，得到与 以上相同的回归结果。
三、实验操作指导
Hale Waihona Puke 这就是实验模型。显然模型将一个非线性模型转化成了线性 模型，在运用计量经济学进行模型研究时，将非线性模型 化为线性模型来简化分析一直是计量经济学的指导准则。
2.打开文件，进行回归
（1）打开文件命令 use c:\data\nerlove,clear 或者直接从菜单栏中“file”选择“open”找到需要打开的数据 文件nerlove
(2)对回归方程进行估计 在stata命令窗口中输入如下命令：
根据实验结果图回归方程具体化为：lntc=3.57+0.72lnq+0.46lnpl-0.22lnpk + 0.43lnpf；根 据结果图中给出的p值看出，在10%和5%的置信 度下模型都只有lnq和lnpf的系数和常数项通过了t 检验。
（2）WLS法（加权最小二乘法）
vwls 是进行加权最小二乘估计的命令，y x1 x2 …依次填 入被解释变量和解释变量，if是条件语句，in是范围语句， weight是权重语句，options的内容反映在下表中：

在模型修正中，很重要的一步就是如何计算标准差序列， 下面介绍具体做法：
（一）异方差检验的方法
（1）残差图观察法。由于异方差就是模型 扰动项的方差是变化的，根据这个原理就 可以观察模型残差拟合值的图形，根据图 形的形状变化判断异方差是否存在。但是 这种方法的严谨性稍差，并不是主流的检 验方法。
（2）怀特检验方法。由于模型扰动项的稳健标准差在同 方差的情况下还原为普通标准差，所以怀特检验的原理简 单来说就是看扰动项的稳健标准差与普通标准差的差距大 小。 White在1980年基于这一思想提出了怀特检验。
第4讲 异方差与自相关
主要内容
1-异方差检验与处理 2-自相关和可行广义最小二乘法
第1节：异方差检验与处理
一、基本原理

要解决模型中存在的异方差问题，分为两个步骤：第一， 要准确的检测出异方差的存在；第二，解决异方差带来的 副作用，使模型估计量具有很好的性质。下面将会详细介 绍异方差检验和处理的原理。
第2节 自相关和可行广义最小二乘法
实验基本原理
自相关是在运用计量经济学分析现象、建立模型时又一违反球形扰动 项假设的重要问题，即若存在i不等于j，使 ， 就称模型存在 自相关问题。从扰动项的协方差矩阵来看自相关问题就是，非对角线 的元素不全为零。如果所建模型出现自相关，则模型的估计会出现以 下问题：
二、实验内容和数据来源 数据来自Nerlove 1963年的一篇文章，数据内容是美国1955 年145家电力企业的横截面数据，变量主要有TC(企业总 成本)、Q（产量）、PL（工资率）、PF（燃料价格）及 PK（资本租赁价格）。完整的数据在本书附带光盘里的 data文件夹的“nerlove.dta”工作文件夹中。 根据cobb-douglas生产函数:，在企业追求成本最小化的 的合理假设下，可证明其成本函数也为cobb-douglas函数， 可显示如下： 本实验中，运用nerlove数据分析各个解释变量对总成本 TC的影响，并运用多种方法检验是否存在异方差，如果 存在异方差则对模型进行合理的修正，最终得到一个效果 较好的模型。
3.异方差检验 对模型进行回归并不是本章的知识，然而回归是一个基础， 即做异方差检验之前必须做回归，下面将会详细介绍异方 差检验的基本方法。 （1）残差图观察法 做完模型的基本回归后，运用Stata绘制残差图来观察异 方差是否存在。 在命令窗口中输入如下两个命令中的任意一个即可 rvfplot (residual-versus-fitted plot) rvpplot varname (residual-versus-predictor plot) 第一个命令语句的作用是绘制默认形式的残差图，第二个 命令语句的作用是绘制残差与某个解释变量的散点图， varname可以换做认为合理的解释变量。
在前面的章节中，已经介绍过作残差图的各种命令，所作 出的各种图形虽然有些差异，但是所展示的信息是基本一 致的。图8.2中显示残差的方差是变化的，从一开始时分 散程度很大（方差大），然后逐渐变得紧凑（方差变小）， 这样一来很显然的否定了球形扰动项的假设。即通过残差 图观察法，得出的结论是此模型存在异方差问题。 在stata中分别输入： rvpplot lnq rvpplot lnpf rvpplot lnpl rvpplot lnpk 通过rvpplot varname命令的残差预测图知道异方差存在主 要的决定变量是lnq，因为它与残差形成的散点图与被解 释变量的拟合值形成的残差图形状最相似，但是其他变量 也或多或少的影响了异方差的形成。
4、异方差的处理
若检测结果是存在异方差，就要对异方差的问题进行处理， 下面将会介绍Stata中常用的修正存在异方差的模型的方 法。 （1）稳健标准差加OLS法 此方法适用于大样本的情况，Stata中所使用的命令语句 是： reg y x1 x2 …, robust 显然从命令语句上看，与普通最小二乘法区别就是后面加 上“robust”，表示在模型估计中采用的是稳健标准差。在 实验中，以nerlove数据为例，来看此种修正的操作结果。 在命令窗口中输入： reg lntc lnq lnpl lnpf lnpk, robust 与图8.1异方差处理之前的回归结果比较，系数的估计量 没有发生变化，而估计量的置信区间和标准差发生了变化。 在稳健标准差这种方法估计下，各估计量的t检验p值发生 了很大变化，在10%的置信度下，只有lnpk的系数未通过 检验。
estat imtest, white
读怀特检验结果图： 可见怀特检验的原假设是模型是同方差，备择假 设是无约束异方差。怀特检验结果显示，模型以 p值为0的检验结果显著地拒绝了原假设。结论与 前面的残差图结果是一致的，但更具有说服力。 此外，该检验还对异方差的的形式（skewness （偏斜）、kurtosis（峰度））进行了检验，结 果显示偏斜的程度在统计上更加显著。
结果图显示FGLS方法可以使模型修正为： lntc=-3.58+0.82lnq+0.47lnpl+0.48lnpf-0.37lnpk 根据模型估计的p值得到只有lnpk的系数在5%的置信度下 未通过检验，而在10%的置信度下全部的估计量通过了检 验。 经异方差处理后，将回归结果图8.13与处理之前的回归结 果图8.1相比较，估计量的值发生了变化，说明异方差的 存在确实是影响了估计值的准确度。且修正后模型的拟合 优度等指标都进一步改善，估计系数更多更显著地通过了 t检验。总之，修正使得模型的回归估计更加精确。
实验操作指导
根据本实验中模型的具体形式基本回归命令形式 如下： reg D.rs LD.r20 输入该命令表示rs的一阶差分项对r20的滞后一阶 差分项进行回归
3、自相关检验 （1）作图法 在Stata中通过描绘残差项的自相关图与偏自相关图来判 断模型的自相关情况。 模型回归之后，在Stata命令窗口输入如下命令生成模型 的残差项： predict e, res 然后输入如下命令来生成模型的残差图： scatter eps time 使用散点图绘制命令scatter在这里绘制横轴是时间变量 time，纵轴是模型残差项eps的散点图。 在本实验中，输入如下命令得到图8.16残差图： scatter e month 此命令表示绘制的是以月为时间变量的残差图。 此图横轴为时间，可以看到残差项随时间成连续变化（在 一段时间内残差在0的同一侧），是典型的具有正自相关 的模型。