甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试试题数学（文）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可知，即可得到椭圆上一点到一个焦点的距离为4，点到另一个焦点的距离，得到答案.
【详解】由椭圆的方程，可得，
又由椭圆的定义可知
所以椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为，
故选B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的定义的转化是解答本题点关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
2.已知函数，，其中为实数，为的导函数.若，则的值为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，求得函数的导数，根据，即可求解.
【详解】由题意，函数，，可得，
又由，即，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，准确求解函数的导数是解答本
题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.
【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4.若抛物线的焦点坐标是，则等于( )
A. 4
B.
C. 8
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的方程，可知，则，所以其焦点坐标为，列出方程即可求解.
【详解】由抛物线的方程，可知，则，所以其焦点坐标为，
又因为抛物线的焦点坐标为，即，故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答熟记抛物线的方程的形式和简单的几何性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5.是过抛物线焦点的弦，且,则线段的中点横坐标为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的焦点弦的行贿，即可求的线段AB的中点的横坐标，得到答案.
【详解】因为抛物线，可得，
设，
因为直线AB过抛物线的焦点，根据抛物线的焦点弦的性质可得，
即，所以AB的中点的横坐标为，故选A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点弦的性质，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A. 300万元
B. 252万元
C. 200万元
D. 128万元
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，所以，
当时，，函数为单调递增函数；
当时，，函数为单调递减函数，
所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7.下列命题中假命题为( )
A. 已知函数在处导数存在，若，则的极值点为.
B. “若，则或x=2”的逆否命题为“若，则”.
C. 若，则方程有实根.
D. 命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，根据函数极值点的定义，逆否命题的概念，以及一元二次方程的性质和存在性命题与全称命题的关键，逐一判定，即可得到答案.
【详解】对于A 中，例如，则，解得，但不是函数的极值点，所以函数在
处导数存在，且，则不一定是函数的极值点，所以A不正确；
对于B中，根据逆否命题的定义可知命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是正确的.
对于C中，方程，其中时，解得，所以，则方程有实根是正确；对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”是正确的.
故选A.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到函数的极值点的定义、逆否命题的概念、一元二次方程的性质和命题的否定等知识点的考查，熟记概念与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
8.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用导数有两个不同的零点，可得函数恰好有三个不同的单调区间，从而求解参数的取值范围，得到答案.
【详解】因为函数，所以，
由函数恰好有三个不同的单调区间，即有两个不同的零点，
所以方程满足且，解得或，
所以实数的取值范围是，故选D.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中把导数有两个不同的零点，转化为函数恰好有三个不同的单调区间，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
9.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，利用极值点，求出，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.
【详解】函数，可得，
因为是函数的极值点，
可得，解得，
可得，
令，
当或时，，此时函数为单调增函数，
当时，，此时函数为单调减函数，
所以当时函数取得极小值，此时极小值为，
故选C.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
10.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.
【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为，
则由题意可得，
相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，所以，
故点M的轨迹方程为，故选B.
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
11.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解. 【详解】把直线代入椭圆中，得,
设的坐标为，
则有，
所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12.定义在上的函数满足：，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，即可求解.
【详解】设g(x)＝e x f(x) (x∈R)，则(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)＝e x[f(x)＋f′(x)]，
因为f(x)＋f′(x)>0，所以 (x)>0，所以g(x)在定义域上单调递增，
因为e x f(x)> 4，所以g(x)>4.
又因为g(0)＝e0f(0)＝4，所以g(x)>g(0)，所以x>0.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.有一机器人的运动方程为 (是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为________. 【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，对进行求导，然后代入即可得到答案.
【详解】由题意知，则，
当时，，即该机器人在是的瞬时速度为1.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数的瞬时变化率的应用去，其中极大中正确理解瞬时变化率的概念，以及求出函数的导数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14.若函数的导函数为,则=________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，求得函数导数为，即可求解的值.
【详解】由题意，函数的导数为，
所以.
【点睛】本题主要考查了导数的运算与求值问题，其中解答中熟记导数的运算法则，准确求出函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________.
【答案】乙
【解析】
【分析】
根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可.
【详解】由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错，
又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确；
丁说“是乙获奖”是正确，
由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对.
【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
16.已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线、两点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
求出各点的坐标，根据是等腰直角三角形，轴得出的关系，即可求解离心率.
【详解】由题意，A是双曲线的右顶点，
所以，所以，解得，所以，
所以，
因为是等腰直角三角形，轴，所以，所以，
所以，即，所以，
解得或（舍去），故选.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及离心率的
求解问题，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用题设条件得到的关系式是求解的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(1)若椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，求椭圆方程.
(2)已知双曲线与圆.若双曲线的焦距为，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；
(2)由渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离，利用点到直线的距离公式，求得的值，即可得到双曲线的方程.
【详解】(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由，解得，，所以椭圆的方程为.
(2)由，知.渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝
3.∴，得a＝3，b＝4，
∴双曲线的方程为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及双曲线的标准方程的求解，其中解答中熟记圆锥曲线的几何性质，合理求解得值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18.设命题：实数满足 (其中)，命题：实数满足
(1)若，且为真命题，求实数的取值范围.
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)当a＝1时，解得1<x<4，得到当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时，解得2<x≤5，进而根据p∧q 为真，即可求解；
(2)由是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，即且，根据集合的运算即可求解.
【详解】(1)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，
当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时，由，知2<x≤5.
若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，4).
(2)是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件.
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则且.由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，∵a>0，∴A＝{x|a<x<4a}，又B＝{x|2<x≤5}，则a≤2且4a>5，解得<a≤2.
∴实数a的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了集合与简易逻辑的应用，其中解答中正确求解命题，再根据复合命题的关系和必要不充分条件的运算求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
19.已知函数.
(1) 设，求曲线在点处的切线方程.
(2)设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1) y＝x＋1；(2)
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，得到，根据导数的几何意义，即可求解切线的方程；
（2）利用导数求得函数的单调性和极值，再根据函数由三个不同的零点，列出相应的关系式，即可求解.
【详解】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.
(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.
令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：
∴当c>0且<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中解答中熟记导数的几何意义求解在某点处的切线方程的方法，以及合理利用导数判定函数的单调性和求解函数的极值是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
20.已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过点的直线交椭圆于两个不同的点、，，求直线的方程．
【答案】(1) (2) x＋y－1＝0或x－y－1＝0
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，求得，进而求得，即可得到椭圆的方程；
(2)由题可设直线AB的方程为x＝my＋1，与椭圆的方程联立方程组，利用弦长公式得到关于m的方程，求得m的值，即可得到所求直线的方程.
【详解】(1)设椭圆C的方程为，因为椭圆的左焦点为F1(－，0)，
设椭圆的右焦点为F2(，0),由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，
从而b=1，所以椭圆C的方程为．
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可设直线AB的方程为x＝my＋1．
由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
所以，则，
化简得解得m2＝1或（舍），故m＝±1．
故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和椭圆的方程联立方程组，合理利用弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21.已知抛物线：的焦点为，抛物线与直线交于两点（为坐标原点）,且.
(1)求抛物线的方程.
(2)不过原点的直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点、，若坐标原点在以线段为直径的圆上，求
的面积.
【答案】(1) y2＝8x；(2)24
【解析】
【分析】
(1)由直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，代入抛物线的方程，可求得，得出抛物线的方程；
(2)可设直线l2：x＝y＋m，联立方程组，利用根与系数的关系和OA⊥OB，求得m＝8，得到直线l2：x＝y＋8，和点M(8，0)，进而利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和抛物线的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系和OA⊥OB，求得实数m的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22.已知为函数的导函数，且的两个零点为-3和0.
(1)求的单调区间.
(2)若的极小值为，当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) 单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)；(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数 )，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，根据－3和0是y＝g(x)的零点，进而可求解函数的单调区间；
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间和最值，进而可求解实数k的值.
【详解】解:(1)f′(x)＝，
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由于e x>0.
令f′(x)＝0，则g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c＝0，
∴－3和0是y＝g(x)的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同.又因为a>0，所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
故f(x)单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
又f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
，即所求范围为
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的最值，以及利用导数解决函数不等式恒成立问题，其中对于恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.。