江西省景德镇市2010-2011学年高三第三次质检试题数学(理科)

江西省景德镇市2010-2011学年高三第三次质检试题数学(理科）
（考试时间:2011年4月16日15：00—17：00）
第Ⅰ卷（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分。

在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．复数i z
+=21
，i z 212+=，则2
1z z z =
在复平面内对应点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2
<--=x x
x N ，则集合N M 等于( ）
A ．}10|{<≤x x
B ． }10|{≤≤x x
C ． }30|{<≤x x
D ．}30|{≤≤x x 3．若函数x x x f cos sin )(=，下列结论中正确的是（ ）
A ． 函数)(x f 为偶函数
B ．函数)(x f 最小正周期为π2
C ． 函数)(x f 的图象关于原点对称
D ．函数)(x f 的最大值为1 4．设)(x f 表示2+x 与232
++x x
中的较大者,则)(x f 的最小值为（
)
A ．0
B ．2
C ．4
1- D ．不存在
5．各项都是正数的等比数列}{n
a 中,且2
a 、32
1a 、1
a 成等差数列，
则5
443
a a a a
++的值为（ ）
A ．
2
1
5+ B ．
2
1
5- C ．2
5
1-
D ．
21
5+或2
51- 6．按如图所示的程序框图运算，若输出3=b ，则输入的a 的取值范围是（ ）
A ．6(，)∞+
B ．（6,19]
C ．19(，)∞+
D ．（6，19）
7．若二面角βα--l 为3
2π，直线α⊥m ,则β所在平面内的直线与m 所成
角的取值范围是（ ）[来源：Z 。

xx.k 。

Com ］ A ．（0，]2
π B ．［6π,]3
π C ．,3[π]2
π D ．,6[π]2
π
8．已知双曲线
124822=-y x 的准线过椭圆182
2
2=+b y x 的焦点, 则直线3
+=kx y 与椭圆至少有一个交点的充要条件为( ） A ．-∞∈(k ，46[]46 -
，)∞+ B ．46
[-
∈k ，
]4
6 C ．-∞∈(k ,3
2[]3
2 -，)∞+ D ．3
2[-∈k ，]3
2 9．以下三个命题：①2
1[-，]2
1是方程0=+x e
x
一个有解区间②在ABC ∆中，
4=a ,3=b ，︒=50A ,求边长c 时应有两个解③已知n n
n n n S
2
1
21111++++++=
，
则n
S S
n n n 1
2
11
1
-
+
=++；其中正确的命题个数为（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知关于x 的不等式012
<++c bx x
a
)1(>ab 的解集为空集，则
1
)
2()1(21-++-=
ab c b a ab T 的最小值为（ )
A ．3
B ．2
C ．32
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应横线上.
11．已知向量1(=a ，)2，2(=b ,)3，3(=c ，)4,且b a c 2
1
λλ+=，则
=+21λλ_____________
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________
13．若函数)(x f y =)(R x ∈满足)()2(x f x f =+，且1[-∈x ，]1时，||)(x x f =，则函
数)(x f y =
的图象与|2|log 4+=x y 的图象的交点个数为____________
14．在8
)2(z y x -+的展开式中，所有x 的指数为2且y 的指数不为1的项的系数之和为 _____________
15．选做题（本题共2小题，任选一题作答,若做两题，则按所做的
第①题给分）
（1）已知不等式|2||1|-<-+x a x 的解集为-∞(，)2，则a 的值为__________
（2）曲线1
C :θρsin 2= 与曲线2
C ：θρcos 2=
0(≥ρ，)20πθ<≤的交点的
极坐标为____________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明,证明
过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分）
根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与曲线
b x A y ++=)12
sin(
ϕπ
拟合（240<≤x ，单位为小时，y 表示气温，单位为摄
氏度,πϕ<||,)0>A ,现已知这天气温为4至12摄氏度,并得知在凌晨1时整气温最低,下午13时整气温最高.
（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？
17．（本小题满分12分）
已知数列}{n
a 为等差数列，其前n 项和为n
S ,且85
=a
，205=S
（1）求n
S ；
(2）若对任意t n >,*
N n ∈，都有
25
12
6216216212211>
+++++++++n n a S a S a S 求t 的最小值。

18．（本小题满分12分）
某中学有A 、B 、C 、D 、E 五名同学在高三“一检”中的名次依次为1，2,3，4,5名，“二检"中的前5名依然是这五名同学。

(1）求恰好有两名同学排名不变的概率；
（2）如果设同学排名不变的同学人数为X ，求X 的分布列和数学期望。

19．(本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=2
π，
PC ⊥平面ABCD ，点E 为AB 中点.AC ⊥DE ， 其中AD=1,PC=2，CD=
3;
（1） 求直线PC 与平面PDE 所成的角； （2） 求点B 到平面PDE 的距离。

[来源： ］
20．（本小题满分13分） 设x x f ln )(=
（1）设1
2)2()(+-+=x x
x f x F ，求)(x F 的单调区间； （2）若不等式43)12()1(2
++-+≤+am m
x f x f 对任意∈a 1[-,]1，∈x 0[,]1恒成立，
求m 的取值范围。

21．（本小题满分14分）
已知动点P 到直线2=x 的距离等于P 到圆04722
=++-y x x 的切线长,设点
P 的轨迹为曲线E ； （1）求曲线E 的方程； (2)是否存在一点Q m (， )n ，
过点Q 任作一直线与轨迹E 交于M 、N 两
点,点 （
||1
MQ , |
|1NQ ）都在以原点为圆心,定值r 为半径的圆上？若存在， 求出m 、n 、r 的值；若不存在，说明理由. 三检答案（理科数学) 1．i i i i i i z 53545345)21)(2(212-=-=-+=++=，对应点)5
3
,54(-，第四象限，选D
2．0)1)(4(432
<+-=--x x x x
41<<-x
}30|{<≤==x x M N M
选C
3．x x f 2sin 2
1)(=,该函数为奇函数,最小正周期π=T ，最大值=2
1，选C
4．画图：2+=x y 和
)(x f 为右图中红色线部分，求)(x f 最小值即求最低点的纵坐标
⎩
⎨⎧++=+=232
2
x x y x y ［来源：
2232+=++x x x 0
=x 和
2-=x
最低点的纵坐标为：022=+-=y
)(x f 最小值为
0,选A
5．123
a a a
+=
两边同除以1
a ，得：12
+=q q
即：012
=--q q
2
5
1±=
q ∵0>n
a
,∴2
5
1+=
q 2
1
55121)(43435443-=
+==++=++q a a q a a a a a a ，选B
6． 13+=a a 时，2=b
1)13(3++=a a 时，3=b
∵输出3=b ，说明5813≤+a 且581)13(3>++a 解得:196≤<a 选B
7．分析：欲求β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围 即求直线m 与β面所成的角，因为β所在平面内的直 线与m 所成的角中最小的角是线面角，最大的角是2
π
解：在直线m 上取一点P ，过P 作PB ⊥β,由PA 、PB
3
2π
=∠BCA ,BC 为直线m 在平面β内的射影，故
BC 与PA 的夹角即为直线m 与β面所成的角,延长BC ， PA 交于点D,易求得6
π=∠PDB ，所以
β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是:[
6
π，]2
π
选D
8．双曲线12482
2=-y x 的准线：22488±=+±=x
椭圆1822
2=+b y x 的半焦距2=c ，于是282+=b ，6=b
所以椭圆方程为16
82
2=+y x
联立方程，得
⎩
⎨⎧=++=24433
2
2y x kx y 消y ，得：24)3(4322
=++kx x
整理，得01224)43(22
=+++kx x k
要使直线3+=kx y 与椭圆至少有一个交点,则有△≥0
即：012)43(4)
24(22
≥⨯+⨯-k k
0431222≥--k k 8
3
2≥
k 4
6≥
k 或4
6-
≤k 选A
9．①设x e x f x
+=)(，易知该函数在［21-
,]2
1
上为递增函数， 最小值
02
1
121)21(21
>-=-=--e f
所以该函数在［21-，]2
1上无零点
故①不正确
②画图，发现以C 为圆心，4为半径画弧与射线AB 仅有一个交点, 故解此三角形只有1个解 所以②不正确
③1
1
21
221121212111+++++++++++++=
n n n n n n n S
故=-+n n S S 1n n n n 12
12211211
-++++++ 所以③不正确 综上可知该题选A 10．01>a
，042
≤-
a
c
b
得4
2
ab c ≥
1)2()1(21-++-=ab c b a ab T )
1(2212
2-++≥
ab b a ab 令m ab =-1，则0>m [来源： ］
所以422
22)1()1(212≥++=++++≥
m
m m m m T 选D 11．121
=+λλ
12。

3
2821312
23
ππ-=⨯⨯⨯-=V 13。

画出2->x 时的图象，可观察到函数)(x f y =
的图象与|2|log 4+=x y 的
图象的交点个数为3，由对称性,知R x ∈时，交点个数为6.
[来源： ]
14．在8
)2(z y x -+的展开式中，所有x 的指数为2的项为：6228
)2(z y x C
-
6)2(z y -展开式中各项系数之和为1)112(6=-⨯，其中y 的指数为
1的项为
551
612))(2(yz z y C -=-，
故6)2(z y -展开式中y 的指数不为1的各项系数之和为
13。

所以在8
)2(z y x -+的展开式中,所有x 的指数为2且y 的指数不为1的项
的系数之和为
36413281328=⨯=⨯C
15．（1)不等式|2||1|-<-+x a x 的解集为-∞(,)2,说明2是方程|2||1|-=-+x a x 的一个根，故3=a
(2）由θθρcos 2sin 2==，得4
πθ=
得交点的极坐标为2(，)4
π
又因为极点也是它们的交点
所以它们的交点极坐标为：（0,0)，2(,)4
π
16．(1)b=(4+12)÷2=8
A=12-8=4
2
112
π
ϕπ
-
=+⨯,12
7πϕ-=
所以这条曲线的函数表达式为：8)12
712sin(4+-=π
πx y （2）10≥y
108)7sin(
4≥+-
π
π
x
sin()12712ππ-x 21≥ 240<≤x 121712712127ππππ<-≤-x ∴65127126ππππ≤-≤x
179≤≤x
17-9=8
这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时。

17．2
5
)(515
⨯+=
a a S
2
5
)8(201⨯+=
a 01=a
248)15()(15=÷=-÷-=a a d 222)1(-=⨯-=n n a n
∴=
n
S
n n n
n -=-22
)22( （2） ∵21
11)2)(1(12316)22(2162122+-
+=++=++=+-+-=++n n n n n n n n n a S n n ∴
6
21
6216212211+++
++++++n n a S a S a S )2111()4131()3121(+-+++-+-=n n 25122121>+-=n 501
25122121=-<+n 502>+n 48>n
t 的最小值为48.
18．（1)第二次排名，恰好有两名同学排名不变的情况数为：
2011111225=C C C C （种）
第二次排名情况总数为：A
5
5
120=
所以恰好有两名同学排名不变的概率为6
1
12020==
p （2）第二次同学排名不变的同学人数X 可能的取值为：5，3，2，1,0
120
1)5(=
=X p 12
11201)3(3
5=⨯
==C X p 6
1
)2(=
=X p 8
3
12045120)1(131315
====C C C X p
30
11
12044)83611211201(1)0(==+++-==X p
X 分布列 X
1
2
3
5
p
30
11 8
3 6
1 121 120
1 X 的数学期望EX=120
1
512136
128
3130
110⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯1= 19．如图建立空间坐标系xyz c - 设BC=a ，则A （1，3，0）
，D （0,3，0） B(a ,0，0）,E （2
1+a ，
2
3
，0），P （0,0，2） =CA （1，3，0），=DE 21
(+a ，2
3-，)0 ∵AC ⊥DE ∴00)2
3
(3211=+-
⨯+
+⨯a 2=a
∴E （23，
2
3
，0）
设平面PDE 的一个法向量=n （x ，y ，z ）
0(=PD ，3，-2)，=DE (2
3
，2
3
-
，)0 PD n ⊥,DE n ⊥ ⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-023
2
3023y x z y 令2=x ，得32=y ，3=z 所以=n （2，32，3)
设直线PC 与平面PDE 所成的角为θ ∵=CP (0,0，2)
∴n <=cos |sin θ，|>CP =
2
91246⨯++5
3=
∴5
4cos =θ［来源:学_科_网］ （2）=BP (—2，0，2）
设点B 到平面PDE 的距离为d ，则
|
|n n BP d =
5
29
124|3222|=
++⨯+⨯-=
20（1）1
2)2ln()(+-
+=x x
x x F 定义域为：2(-,1()1-- ，)∞+
2
22222)1)(2(3
)1)(2()2(2)1()1(221)1(2)1(221)(++-=
+++-+=+-+=+-+-+='x x x x x x x x x x x x x x F [来源： ]
令0)(>'x F ，得单调增区间：2(-，)3-和3(,)∞+
令0)(<'x F ,得单调增区间:3(-，)1-和1(-，
)3
（2）不等式43)12()1(2
++-+≤+am m
x f x f 化为:［来源: ］
43)12ln()1ln(2++-+≤+am m x x
2431
21ln m ma x x -+≤++ 现在只需求])1,0[(1
21ln ∈++=x x x y 的最大值和243m ma y -+=]1,1[(-∈a )的最小值
)
12(21
21121++
=++x x x 在［0，1]上单调递减 所以])1,0[(1
21
ln
∈++=x x x y 的最大值为0
而2
43m ma y -+=]1,1[(-∈a ）是关于a 的一次函数
故其最小值只能在1-=x 或1=x 处取得
于是得到：
⎩⎨⎧-+≤-+-≤2
2
430430m
m m m 也就是⎩⎨⎧≤--≤-+0430
4322m m m m
⎩
⎨
⎧≤≤-≤≤-411
4m m 所以m 的取值范围是：［-1，1］ 21．（1)设),(y x P ,圆方程04722
=++-y x x 化为标准式：4
33
)27(22=
+-y x 则有4
33
)27(|2|22-
+-=
-y x x 47)2(222++-=-y x x x
x y 32=［来源：学+科+网］
∴曲线E 的方程为：x y
32
=
（2)过点Q 任作的直线方程可设为：αα
α
(sin cos ⎩⎨
⎧+=+=t n y t m x 为直线的倾斜角) 代入曲线E 的方程x y
32
=，得
)cos (3)sin (2ααt m t n +=+
03)cos 3sin 2(sin 222=-+-+m n t n t ααα
由韦达定理，得
α
α
α221sin sin 2cos 3n t t -=
+
α
2
221sin 3m n t t -= +2||1MQ 2
21212212212
2
2
122
212)(2)()(11||1t t t t t t t t t t t t NQ -+=+=+= =222222222222)3(sin )3(2)sin 2cos 3()sin 3()sin 3(2)sin sin 2cos 3(m n m n n m n m n n ----=----αααα
αααα
2
22222)3(sin 6sin 2cos sin 12cos 9m n m n n -++-=α
αααα =2
222)3(sin )962(cos sin 129m n m n n --++-=ααα
令n 12-与9622
-+m n
同时为0
得0=n ，2
3=m 此时
+2||1MQ 94
|
|12
=NQ 为定值 3
2=
r 故存在。