精选湖南省衡阳县一中2016_2017学年高一数学上学期期中试题

衡阳县一中2016-2017学年上期高一期中考试数学试题
分值 100分 时量 120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5}，则M ∩N ＝( B )
A ．{0，2}
B ．{2，3}
C ．{3，4}
D ．{3，5}
2．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( C )
A ．y ＝3－x
B ．y ＝－2x
C ．2
1
x y = D ．y ＝log 0.1x 3．函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ B ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
4．已知421333
2,3,25a b c ===，则（ B ）
A.a b c <<
B.b a c <<
C. b c a <<
D. c a b << 5．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ D ）
A ．21x y +=
B ．x x y 1+=
C ．x x y 2
12+=D ．x e x y +=
6. A ）
B.[),1-∞
C.7．已知函数()225f x x mx =-+，m R ∈，它在(,2]-∞-上单调递减，则()1f 的取值范围是（ B ）
A.15)1(=f
B. 15)1(≤f
C.15)1(>f
D. 15)1(≥f 8.定义在R 上的函数()21x m f x -=-
（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( C )
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. c b a <<
9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R x ∈都有)4()(+=x f x f ，当)2,0(∈x 时，x x f 2)(=，
则(2015)f 的值为（D ）
A ．．1-D ． 2- 10．给出定义：若11< +22
m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m .
在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的三个判断：
①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22
-；②点(,0)k 是=()y f x 的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 在13]22（，上是增函数．则上述判断中所有正确的序号是.( C )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ． ①②③
二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分. 请将答案填在答题卷中的横线上.
11．已知幂函数()a f x x =的图象过点
12．已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}
2|3B x Z x =∈≤，如图阴影部分所表示的集合为 {2} .
13．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2,3]时的值域为 ［－1，15］．
14．已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a
-<-，则a 的取值范围是15．已知函数f (x )=2,,
24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中m >0．若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的
根，则m 的取值范围是__()3,+∞_____．
【答案】
【解析】
试题分析：
画出函数图像如下图所示：
由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像
在深蓝色图像的下方，即22
24,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >
三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分6分）
计算:（1
2
解：（1
132********()(7)(2)1273
--+-+
1014964133
-+-+19= （2
211
28125
lg
lg102541(1)lg10lg102-⨯⨯==-⨯-
17．（本小题满分8分）
已知全集为实数集R,集合}31{x x y x
A -+-==，2{|log 1}
B x x =>． (1)分别求B A ，A B
C R )(；
(2)已知集合{}
1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围．
解：（1）{}|13A x x =≤≤，{}{}2|log 1|2B x x x x =>=>， {}|23A B x x =<≤，
}3|{}31|{}2|{)(≤=≤≤≤=x x x x x x A B C R
（Ⅱ）①当1a ≤时，C =∅，此时C A ⊆；
②1a >时，C A ⊆，则13a <≤．
综合①②，可得a 的取值范围是(,3]-∞．
18．（本小题满分8分） 设()f x 的定义域为[3,3]-，且()f x 是奇函数，当[0,3]x ∈时，()(13),x f x x =-
（1）求当[3,0)x ∈-时，()f x 的解析式；
（2）解不等式()8f x x <-．
（1）()x f 是奇函数，所以当[3,3]-时，()()x f x f --=，0>-x ， 又 当[0,3]x ∈时， ()(13)x f x x =-
∴当[3,0)x ∈-时，()()()(13)(13)x x f x f x x x --=--=---=-
（2）当[0,3]x ∈时，(13)8x x x -<-∴138x -<-，∴39x >，
∴2x > ，即(2,3]x ∈ ．
当[3,0)x ∈-时，(13)8x x x --<-，∴138x -->- ，∴39x -<
∴2x >-，∴(2,0)x ∈-
所以解集是(2,0)
(2,3]-
19.已知函数f (x )＝(12)x ，g (x )＝x －2x ＋1
. (1)求函数F (x )＝f (2x )－f (x )在x ∈[0,2]上的值域；
(2)试判断H (x )＝f (－2x )＋g (x )在(－1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解析：(1)因为F (x )＝f (2x )－f (x )＝(12)2x －(12
)x ，x ∈[0,2]， 令(12)x ＝t ，则t ∈[14，1]，所以y ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，t ∈[14，1]，所以y ∈[－14
，0]， 即函数F (x )在x ∈[0,2]上的值域为[－14
，0]． (2)H (x )＝(12)－2x ＋x －2x ＋1＝4x －3x ＋1
＋1，H (x )在(－1，＋∞)上是增函数． 证明：设－1<x 1<x 2，则
H (x 1)－H (x 2)＝4x 1－3x 1＋1－4x 2＋3x 2＋1＝(4x 1－4x 2)＋x 1－x 2x 1＋
x 2＋. 因为－1<x 1<x 2，所以4x 1－4x 2<0，x 1－x 2<0，
而x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 1－x 2
x 1＋x 2＋<0，
所以H (x 1)－H (x 2)<0，即H (x 1)<H (x 2)，
故H (x )在(－1，＋∞)上是增函数．
20. 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费
品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支
3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解 设该店月利润余额为L ，
则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 P ，－32P ＋P ，[2分]
代入①式得
L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋P －－5 600 P
，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －－P ，
[4分] (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；
当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．
故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分]
(2)设可在n 年后脱贫，
依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.
即最早可望在20年后脱贫．[12分]。