临沂市河东区2021年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

临沂市河东区2021年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案
一、选择题
本大题共14小题，每小题3分，共42分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＞3C．x≥2D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，可得x的取值范围．
【解答】解：因为在实数范围内有意义，
所以x﹣2≥0，
所以x≥2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数．
2．下列式子不一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义逐一判断可得答案．
【解答】解：A．中a＜0时式子无意义，不是二次根式；
B、中b2+1≥1，是二次根式；
C、是二次根式；
D．是二次根式；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
3．估计的值在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【分析】先估算出的范围，再得出选项即可．
【解答】解：8＜＜9，
即在8到9之间，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．2×3＝6B．÷＝C．5﹣2＝3D．+＝
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2×3＝18，故此选项错误；
B、÷＝，故此选项正确；
C、5﹣2无法计算，故此选项错误；
D、+，无法计算，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．8，15，17C．7，24，25D．13，15，37
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三个数字是否能构成直角三角形的三条边长，本题得以解决．
【解答】解：因为52+122＝132，故选项A不符合题意；
因为82+152＝172，故选项B不符合题意；
因为72+242＝252，故选项C不符合题意；
因为132+152≠372，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
6．关于四边形的叙述，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线垂直的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形、菱形、平行四边形的判定定理，能熟记矩形、菱形、平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键．
7．从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135°，则此四边形的四个内角依次为（ ）
A．45°，135°，45°，135°B．50°，135°，50°，135°
C．45°，45°，135°，135°D．以上答案都不对
【分析】本题对题意进行分析，从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135°，可将两条垂线与相垂直的两边构成一个四边形，即可求出平行四边形锐角的度数，进而求出钝角的度数．
【解答】
解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，
所以∠EAF＝135°，
所以∠DAE＝∠EAF﹣DAF＝45°，∠BAF＝∠EAF﹣∠BAE＝45°，
所以∠BAD＝45°，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠C＝∠BAD＝45°，
∠ABC＝∠ADC＝180°﹣∠BAD＝135°，
所以四边形的四个内角依次为45°，135°，45°，135°，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的基本性质，解题的关键是熟练运用平行四边形对角相等，邻角互补等有关角的性质．
8．将一组数，，3，2，，…，按下面的方法进行排列：，，3，
2，；3，，2，3，；…，若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（117，3）B．（118，3）
C．（117，4）D．（118，4）
【分析】将这组数据变形为，，，，，…，再得到最大的有理数为，最后根据排列的规律得出答案．
【解答】解：这组数，，3，2，，…，，
也就是，，，，，…，
所以这组数的最大的有理数是，
第588个数，588÷3＝117•••3，
因此这组数的最大有理数的位置记为（117，3），
故选：A．
【点评】本题考查坐标确定位置，算术平方根，数字的变化规律，将这组数据变形为，
，，，，…，得到最大的有理数为是解决问题的关键．
9．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝2，∠AOC＝45°，则B点的坐标是（ ）
A．（2+，）B．（2﹣，）
C．（﹣2+，）D．（﹣2﹣，）
【分析】过A作AE⊥CO，根据“OA＝2，∠AOC＝45°”求出OE、AE的长度，点B的坐标便不难求出．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CO于E，
因为OA＝2，∠AOC＝45°，
所以AE＝AOsin45°＝，OE＝AOcos45°＝，
所以点B的横坐标为﹣（2+），纵坐标为，
所以B点的坐标是（﹣2﹣，）．故选：D．
【点评】通过作辅助线求出点A到坐标轴的距离是解本题的突破口．
10．如图，EF是Rt△ABC的中位线，∠BAC＝90°，AD是斜边BC边上的中线，EF和AD 相交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．S△ABC＝2S△AEF B．EF＝AD
C．S△AEO＝S△AOF D．AO＝OD
【分析】根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逐项分析即可．【解答】解：因为EF是Rt△ABC的中位线，
所以EF∥BC，且EF＝BC，
因为AD是斜边BC边上的中线，
所以AD＝BC，
所以EF＝AD，故选项B正确；
因为AE＝BE，EO∥BD，
所以AO＝OD，故选项D正确；
因为E，O，F，分别是AB，AD，AC中点，
所以EO＝BD，OF＝DC，
因为BD＝CD，
所以OE＝OF，
又因为EF∥BC，
所以S△AEO＝S△AOF，故选项C正确；
因为EF∥BC，
所以△ABC∽△AEF，
因为EF是Rt△ABC的中位线，
所以S△ABC：S△AEF＝4：1，
即S△ABC＝4S△AEF≠2S△AEF，故选项A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质以及全等三角形的判断和性质，证明EO，OF是三角形的中位线是解题的关键．
11．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【解答】解：①因为△ABC为直角三角形，
所以根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，
故本选项正确；
③由2xy+4＝49可得2xy＝45①，
又因为x2+y2＝49②，
所以①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，
整理得，（x+y）2＝94，
x+y＝≠9，
故本选项错误；
④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
所以正确结论有①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
12．若xy＜0，则化简的结果是（ ）
A．x B．﹣x C．x D．﹣x
【分析】根据二次根式的性质得到＝|x|•，再根据二次根式有意义的条件有y＞0，则必有x＜0，然后去绝对值即可．
【解答】解：＝|x|•
因为xy＜0，
而y＞0，
所以x＜0，
所以原式＝﹣x．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式有意义的条件．13．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB
为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．B．0.8C．3﹣D．
【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又因为CE＝3，
所以CD＝3﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
14．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在AD、BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，下列三个结论：①
EF垂直平分HC；②EC平分∠DCH；③当点H与点A重合时，BF＝．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC
平分∠DCH，判断出②错误；点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝4﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的值，判断出③正确．
【解答】解：因为FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
所以FH∥CG，EH∥CF，
所以四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF＝FH，
所以四边形CFHE是菱形，故①正确；
所以∠BCH＝∠ECH，
所以只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；
点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝4﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即22+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，故③正确．
故选：D．
二、填空题
本题5小题，每小题3分，共15分。

15．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为　50cm　．
【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为50cm，进而由勾股定理可得答案．
【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：＝50 ．
故答案为：50cm．
【点评】题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，可以给解决此题带来方便．
16．已知a＝+1，b＝﹣1，则a2b+ab2的值是　8　．
【分析】先计算出a+b和ab，再把a2b+ab2因式分解，然后利用整体代入的方法计算；
【解答】解：因为a＝+1，b＝﹣1，
所以a+b＝2，ab＝5﹣1＝4，
所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2＝8；
故答案为：8
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
17．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝cm，则AB与CD之间的距离为　1　cm．
【分析】过D作DE⊥AB，根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝cm，再利用三角函数可得答案．
【解答】解：过D作DE⊥AB，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC＝cm，
因为∠A＝45°，
所以DE＝AD×sin45°＝1（cm），
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．
18．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所走的最短路线的长是　15　cm．
【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；
因为15＜7＜，
所以一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，利用分类讨论的方法解答．
19．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，
所以AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
所以S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10，
所以S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5，
＝×5＝，
所以S＝S
所以S＝S＝，
S＝S＝，
S＝S＝，
所以S＝2S＝2×＝
故答案为：．
三、解答题
本大题共6小题，共63分。

20．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣+2
＝﹣+2
＝4+；
（2）原式＝2×××
＝×
＝．
21．（9分）在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1
（1）在图（1）中画出长度为的线段，要求线段的端点在格点上；
（2）在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2，的三角形，使它的端点都在格点上．
【分析】（1）根据长为4，宽为1的长方形的对角线长为进行作图即可；
（2）可先画3的线段，根据勾股定理可得长为的线段是长为2，宽为1的矩形的对角线，2是边长为2的正方形的对角线，据此作图即可；
【解答】解：（1）如图1所示，线段AB即为所求；
（2）如图2所示，△CDE即为三条边长分别为3，2，的三角形．
【点评】本题主要考查了无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
22．（9分）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．
【解答】解：设AB＝AC＝acm，
因为BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
所以BD2+CD2＝BC2，
所以∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此题的关键．
23．（11分）如图，点D，C在BF上，AC∥DE，∠A＝∠E，BD＝CF．
（1）求证：AB＝EF；
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用AAS证明△ABC≌△EFD，再根据全等三角形的性质可得AB＝EF；
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠B＝∠F，再根据内错角相等两直线平行可得到AB∥EF，又AB＝EF，可证出四边形ABEF为平行四边形．
【解答】（1）证明：因为AC∥DE，
所以∠ACD＝∠EDF，
因为BD＝CF，
所以BD+DC＝CF+DC，
即BC＝DF，
在△ABC与△EFD中
，
所以△ABC≌△EFD（AAS），
所以AB＝EF；
（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
所以∠B＝∠F，
所以AB∥EF，
又因为AB＝EF，
所以四边形ABEF为平行四边形．
24．（12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．
（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，
则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2＝A1B12，
得方程　（x+0.7）2+22＝2.52　，解方程，得x1＝　0.8　，x2＝　﹣2.2（舍去）　，所以点
B将向外移动　0.8　米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
（问题一）在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9
米吗？为什么？
（问题二）在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：（x+0.7）2+22＝2.52，
解得：x1＝0.8，x2＝﹣2.2（舍去），
故答案为：（x+0.7）2+22＝2.52，0.8；﹣2.2（舍去），0.8；
（2）【问题一】不会是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4﹣0.9＝1.5，B1C＝0.7+0.9＝1.6，1.52+1.62＝4.81，2.52＝6.25，所以A1C2+B1C2≠A1B12，所以该题的答案不会是0.9米；【问题二】
有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0（舍去）．
所以当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC
下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．（1）依题意补全图形；
（2）求证∠DMF＝∠ABF．
【分析】（1）按要求画图；
（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件证明FN＝FM，可得结论．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N，
因为点P为线段AE中点，
所以AP＝PE，
因为AB∥CD，
所以∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，
因为在△APB和△EPN中，
因为，
所以△APB≌△EPN（AAS），
所以AB＝EN，
所以AB＝CD＝EN，
因为EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，
因为DE＝CM，
所以DN＝DM，
因为FD⊥MN，
所以FN＝FM，
所以∠N＝∠1，
所以∠1＝∠2，即∠DMF＝∠ABF．。