椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式

椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式
1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出PF F 12 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：sin sin sin F F c c F PF e a a PF PF PF F PF F 1212121221
222.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出PF F 12 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：sin sin sin F F c c F PF e a a PF PF PF F PF F 1212121221
22
.【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知F 1、F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点，
若PF PF 12，且PF F 2160，则C 的离心率为（
）
A.1
B.2
1【解析】解法1：如图，PF PF 12，PF F 2160，故可设F F 122，
则PF 1，PF 21，
所以C
的离心率F F e PF PF 12121.解法2：如图，PF F PF F PF PF 211212
60
30sin sin sin sin sin sin F PF e PF F PF F
1212219013060
.【答案】D
变式1设F 1、F 2是椭圆 :x y C a b a b
22
2210的左、右焦点，P 在C 上且PF x 1轴，若F PF 1230，则椭圆C 的离心率为_______.
【解析】如图，F PF 1230且PF x 1，故可设PF 22
，则PF 1，F F 121，所以椭圆C
的离心率F F e PF PF 12
122解法2：如图，F PF PF F PF F F
1221112
30
60sin sin sin sin sin sin F PF e PF F PF F
12
122130290
60
【答案】 2变式2在ABC 中，AB AC ，tan ABC 1
3，则以B 、C 为焦点，且经过点
A 的椭
圆的离心率为_______.
【解析】如图，不妨设AB 3，AC 1，
则BC
，所以BC e AB AC 解法
2：如图，tan sin sin ABC ABC ACB 13
sin sin sin BAC e ABC ACB
.
变式3过椭圆 x y a b a b
22
2210的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为F 2，若ABF 2 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，ABF 2 是等腰直角三角形AF F 12 也是等腰直角三角形，不妨设AF F F 1121
，则AF 2
所以椭圆的离心率F F e AF AF 12121
.解法2：如图，由题意，F AF F F A 121245，
所以椭圆的离心率sin sin sin F AF e AF F AF F
121221
1.
1
变式4过椭圆 x y a b a b 22
2210的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为F 2，若cos AF B 218
，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法
1：如图，
cos cos sin sin AF AF B AF F AF F AF F AF 21221212121121288，
不妨设AF 1，AF 24，则F F 123
，所以F F e AF AF 1212解法2：如图，cos cos AF B AF F
22112
8
sin sin AF F AF F 221211128sin cos F AF AF F 122134
sin
sin sin
F AF
e
AF F AF F
12
1221
3
4
.
变式5在ABC
中，AB 2，BC 1，且ABC
6090，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.
【解析】解析：如图，设
ABC
6090
则cos cos
AC AB BC AB BC ABC
222254
，
cos AC
1
60900
2
，
而
BC
e
AB AC AC
1
2
e
22
.
【答案】,22
【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.
【例2】已知F
1
、F
2
是双曲线:
x y
C
a b
22
22
1的左、右焦点，点P在C上，PF PF
12
，且PF F
12
30，则双曲线C的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，由题意，不妨设PF
2
1
，则PF
1
，F F
12
2，
所以
F F
e
PF PF
12
12
1.
解法2：如图，由题意，PF F
21
60，F PF
12
90，
所以sin sin sin F PF e PF F PF F 121221
1
.
1
变式1（2016·新课标Ⅱ卷）已知F 1、F 2是双曲线:x y E a b
22
221的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin MF F 2113
，则E 的离心率为（）
B.32
D.2
【解析】解法1：如图，不妨设MF 11，MF 23，
则F F 12
F F e PF PF 1212
.解法
2：sin sin MF F F MF 211213
sin sin sin F MF e MF F MF F 1212213113
【答案】A
变式2已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b
22
221的左、右焦点，过F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若ABF 2 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.
【解析】解法1：ABF 2 是等腰直角三角形AF F 12 也是等腰直角三角形，不妨设AF F F 1121
，则AF 2，
双曲线C
的离心率F F e AF AF 12211.解法2：ABF 2 是等腰直角三角形AF F 12 也是等腰直角三角形，
所以sin sin sin sin sin sin F AF e AF F AF F
1212214519045
.
1
变式3在ABC 中，AB AC ，tan ABC 13，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线的离心率为_______.
【解析】如图，不妨设AC 1，则AB 3
，BC ，
所以双曲线的离心率BC e AB AC
.
变式4已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b
22
221的左、右焦点，点P 在C 上，PF F 1230，PF F F 212，则双曲线C 的离心率为_______.
【解析】如图，由题意，PF F F PF 121230，F PF 12120，
所以sin sin sin F PF e PF F PF F 121221.
强化训练
1.（★★★）在PAB 中，PA AB ，tan PBA 12
，则以A 、B 为焦点，且经过点P 的椭圆的离心率为_______.
2.（★★★）设F 1、F 2是椭圆 :x y C a b a b
22
2210的左、右焦点，点P 在C 上，且PF F 1245，cos PF F 2145
，则椭圆C 的离心率为_______.
【答案】 53.（★★★）已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b
22
221的左、右焦点，点P 在C 上，PF x 1轴，且tan PF F 2112
，则双曲线C 的离心率为_______.
4.（★★★）在ABC 中，ABC 30，AB ，BC 1，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率为_______.
5.（★★★）过椭圆 :x y C a b a b
22
2210的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为_______.
6.（★★★）已知F 1、F 2是双曲线:x y C a b 22
221的左、右焦点，过F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若ABF 2 是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______.
7.（★★★）过双曲线:x y C a b
22
221的左焦点F 1作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，C 的右焦点为F 2，若cos AF B 218
，则双曲线C 的离心率为_______.
8.（★★★）过双曲线:x y C a b
22
221的左焦点F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.
9.（★★★）设F 1、F 2是椭圆 :x y C a b a b
22
2210的左、右焦点，过F 1
的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，AF F F 212，则椭圆C 的离心率为_______.
【答案】210.（★★★）设F 1、F 2是椭圆 :x y E a b a b
22
2210的左、右焦点，以F F 12为直径的圆与椭圆的4个交点和F 1、F 2恰好构成一个正六边形，则椭圆E 的离心率为_______.
1
11.（★★★★）已知P 、Q 为椭圆 :x y C a b a b 22
2210上关于原点对称的两点，点P 在第一象限，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，OP OF 2
，若QF PF 11，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______.
【答案】 1。