大学物理(机械波篇)详解

第12章 机械波
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方法一： 时间推迟法
解：时间上，P点振动落后于O点△t o
P
x
O的振动：yo Acos(t 0 )
P的振动： yP Acos[(t t) 0 ] yo (t t)
△t 是波从O点传播到P点所经历的时间，
t x u
x > 0，P点落后于O点 x < 0，P点超前于O点
第12章 机械波
13
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；
(3) 波动曲线与振动曲线不同。
y
y
t
x
振动曲线
波动曲线
波形图：
某时刻 各点振动的位移 y
(广义：任一物理量)与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？
第12章 机械波
A cos(t
2
x
o )
y
Acos[2 ( t
T
x)
0 ]
第12章 机械波
u
x
2
T
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1. 式中各量的物理意义： A——波幅， （各点振幅＝波源振幅）
T——周期，（同振动周期） λ——波长， x——任一质点平衡位置坐标， y——任一质点在任一时刻讨的论振动位移，
u——波速，
2. 若平面谐波沿x轴负方向传播，则P点比O点超前，
t0
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t0
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t T
t T
4
4
t T 2
t 3T 4
t T 2
t 3T 4
t T
t T
t 5T 4
t 5T
4
t 3T
2
横波
纵波
第12章 机械波
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三、波的传播 1.波是振动状态的传播
x u
)
0
]
振动加速度
a
2 y t 2
A 2
cos[ (t
x) u
0]
注意：波的传播速度与质点振动速度是完全不 同的两个概念。
第12章 机械波
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1. 已知t1时刻的波形曲线和波的传播方向，求△t后 的波形曲线和t1时各点的振动方向。 (△t<π/2)
u
u
x
x
讨论
2. 已知λ，T，则下列关系式成立： y
不同时刻对应着不同的波形曲线。随时间t变化， 波形也在变化，可观察到波形向前传播。
y
u
t 时刻
t t 时刻
O
x
x处在t 时刻的振动状态经 t 时间后，沿着波的传播方
向到达(x x)处，故有
y(t，x) y(t t，x x)
第12章 机械波
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y(t1，x) y(t1 t，x x)
Acos[
yP
Acos[(t
t)
0 ]
A cos[ (t
x) u
0 ]
3. 若已知A点振动方程
u
yA Acos(t 0 )
o LA
x
则波动方程：
yP
A cos[ (t
x
u
L)
0 ]
第12章 机械波
28
讨论
4. 任意两点x1， x2振动相差：
[u((tx1xux2 2))02][x(t
x1 u
)
0 ]
14
例1 已知t = 0时刻的波形曲线,求 (1) 画出t +(T/4)， t +(T/2)， t +(3T/4)各时刻的波形曲线。
u
y
o
x
第12章 机械波
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(2) 在题图上用小箭头示出a、b、c、d各质元的振动趋势， 并分别画出它们的振动曲线。
u ya
d
O
b
x
c
第12章 机械波
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y
a点的振动曲线
(t1
x u
)
0
]
A
cos[
(t1
t
x
x u
)
0
]
即
t x 0 u
x ut
说明：x点的振动状态是以速度u向前传播的，经过t时
间向前传播了x=ut 的距离。整个波形也就以速度u向前传
播。可见，波速就是振动状态的传播速度，也就是波形的 传播速度。
第12章 机械波
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质点的振动速度
v
y t
A sin[(t
第12章 机械波
1
第十二章 机械波
§12-1 机械波的产生和传播 §12-2 平面简谐波的波函数
* §12-3 波的能量 波的强度
* §12-4 声波
§12-5 惠更斯原理
§12-6 波的叠加原理 波的干涉 *驻波
* §12-7 多普勒效应
第12章 机械波
2
§12-1 机械波的产生和传播
一、机械波的产生
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
——波动方程
2
T
u T
k 2
y
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
y Acos[t kx 0 ]
第12章 机械波
u
x
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方法二 ： 相位推迟法
相位上，P点振动落后于O点
o
P
x
p
p O
2π x
2π
0
x
点P振动方程
yp (t) A cos(t p )
u
两质点在同一时刻相位 ：φ1 、φ2
2
o
x1
x2
x
x
同一质点在两时刻相位 ：φ1 、φ2 ∴ 2 T x t
2
t T
第12章 机械波
同一质元的振动状态不会改变.
y
u
x=0处质元,当t=0时有
y 0, v 0
t = 0时刻的波形曲线
O
x
第12章 机械波
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三. 机械波的几何描述
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面。
波线 沿波的传播方向作的有方向的线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波前的形状决定了波的类型
5. 建立波动方程的方法：
➢ 确定传播方向，以及此波引起的A点的振动方程；
➢ 建立坐标；
任意点，不一定是波源
➢ 在x轴上任取一点P，根据波的传播方向，写出P点的 振动超前或落后A点的时间△t；
➢ 在A点振动方程中，加上△t （超前时）或减去△t （落后 时），即得到此坐标系中的波动方程；
➢ 纵波、横波的波动方程形式相同；
波的传播速度
第12章 机械波
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四、波形曲线(波形图)
1.波形曲线(yx曲线) x表示质元平衡位置的坐标, y表示t 时刻质元的位移.
y - x曲线反映某时刻t各质元位移y在空间的分布情 况,称为t时刻的波形图
y
A
u
o
x
第12章 机械波
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不同时刻对应有不同的波形曲线
yu
t0
t0 + t
O
x
波形曲线能反映横波(或纵波)的位移情况。 2.注意区别波形曲线和振动曲线
第12章 机械波
6
结论：
1)媒质中各质元受到弹性力作用. 2)媒质中各质元在各自平衡位置 附近运动.
3）上游的振动状态被下游重复,所以“波是振动状态的传播”。
4) 有些质元的振动状态相同，这些点称作同相位点。 相邻的同相点间的距离叫做波长 ，它们的相位差是2。
第12章 机械波
7
2.波是相位的传播
波面
波波线面 平面波
平面波
波线
球面波
球面波
第12章 机械波
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四、描述波动的参量
波长（）: 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间的
距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 波长反映了波的空间周期性。
周期（T）: 波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了 波的时间周期性。
频率（）: 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率
第12章 机械波
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例 有一平面谐波在空间传播，已知波的传播方向，和由此
波引起的A点的振动方程为：
yA
3cos(4 t )
2
求下列各情况下的波动方程。
y
A o
u
t x
u
x x （落后）
y
u
L
o
A
t x L u
（落后）
xx
y 3cos[4 (t x ) ]
u2
y
L
o
A
u
t x L
t固定
y
Ac（ost[＝(tt00） ux)
0 ]
照像
——t0时刻的波形曲线，即t0时刻在波线上各质点离开 平衡位置的真实拍照。 （集体定格）
y(x,t0 ) y(x ,t0 ) （波具有空间的周期性）
沿波的传播方向，波线上各点的振动相位依次落后。
t 时刻波线上x1点的相位
1
(t
x1 ) u
0
平面简谐波 波面为平面的简谐波
说明 简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波 动规律是研究更复杂波的基础。
第12章 机械波
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一、平面谐波的波函数（波动方程）
1.什么是波函数? 波函数——媒质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置 的位移（坐标为 y）随时间的变化关系
y y(x,t)
各质点相对平衡位置的位移
弦中传播的横波波速：
u
F
固体媒质中横波波速： u G
固体媒质中纵波波速： u
Y
切变模量 弹性模量
在液、气体中只能传播纵波： u
B
体积模量
如声音的传播速度
343 m s 空气，常温 4000 m s 左右，混凝土
第12章 机械波
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§12-2 平面简谐波
简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中 各质点作同频率的谐振动。
与周期的关系为 1/T
波速（u）: 振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周
期和频率的关系为
u
由介质决定
T
由波源决定
第12章 机械波由介质和波源决定
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由介质的弹性及惯性决定波速
当机械波在介质中（如水或空气）中传播时，必定引起介质中 质点的震动。因此，介质必具有惯性——以储存动能；弹性— —以储存势能
波线上各质点平衡位置
2.如何求波动函数?
已知条件： a.介质无耗 b.波以u向x方向传播
c.振动角频率为，质元的振动振幅A o
P
x
u
x
讨论：沿+x方向传播的平面简谐波的波函数.
求波函数的问题 y y(x, t)
演变为：已知参考点o点的振动方程 y0 (t) A cos(t 0 )
求任意p点的振动方程 y p (t) ?
第十二章 机械波
什么是波动？
振动在空间的传播过程。
波动分类
机械波：机械振动在弹性介质中的传播 （声波、绳波、水波……）
电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播 可见光、紫外光、无线电波、微波、x射线等
物质波: 近代物理研究发现，微观粒子具有明显的波 粒二象性，如电子、质子等微观粒子
机械波与电磁波的本质不同，传播机理不同， 但其基本传播规律相同。
2
π( t T
x1 )
0
t时刻波线上x2点的相位
2
(t
x2 u
)
0
2
π( t T
x2
)
0
波程差
x x2 x1
第12章 机械波
两点的相位差
2 1
2π x2 x1
x 2π
32
3. 当x，t均变化时，y＝f（x, t）表示任一时刻在波的传播方 向上，任一质点的位移随时间的变化规律。（行波）
振动状态是由相位决定的，波的传播是“相位的传播”。
沿着波的传播方向，各质元的相位依次落后。 传播方向
a·
b·
x
x
b点比a点的相位落后
第12章 机械波
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b点和a点相位差
2 x
➢ a点在t时刻的相位经t的时间传给了b点。
➢ b点在t +t时刻的相位与a点在t时刻的情况相同
➢振动状态的传播速度
u
x t
机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出 去，就形成机械波。
｛ 1、 条件
波源：作机械振动的物体 弹性介质：承担传播振动的物质
如声带 如空气
真空
第12章 机械波
3
第12章 机械波
4
二、横波和纵波 横波
u
纵波
x
横波：介质质点的振动方向和波传播方向相互垂直的波；
纵波： 介质质点的振动方向与波传播方向相互平行的波；
x u
)
0 ]
y( x0 , t )
A cos[ (t
x0 u
)
0 ]
A cos[
t
2 x0
0 ]
摄
像
—— 坐标x0处的质点的振动方程（独舞）。
y(x0,t) y(x0,t T )
（波具有时间的周期性） x0点的振动只是在相位上比与o点落后(x0>0)
2π x0
第12章 机械波
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2.
振动曲线：y t曲线，反映某一质元的位移随t的变化。
不同质元的振动曲线不同，必须注明。
第12章 机械波
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不同质元的振动曲线） 1)由t 时刻的波形曲线,画出另一时刻的波形曲 线； 2)由t时刻的波形曲线,确定某质元的振动方向, 写出该质元的振动方程；
3)由某质元的振动曲线,画出某时刻的波形曲线。
O
b点的振动曲线 y
O
第12章 机械波
t
t
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c点的振动曲线 y
O
d点的振动曲线
y
O
第12章 机械波
t
t
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例2 已知x=0处质元的振动曲线如图，画出t = 0时刻的波
形曲线(设波沿 +x方向传播)。
y
x=0
解: 由振动曲线看出: x=0处质元
在零时刻的振动状态为
T
y 0, v 0
O
t
不论在振动曲线中,还是在波形图中,
因此，波速必定与介质的惯性及弹性有关
在弦中传播的横波波速
量纲分析：速率：L/T (m/s)
惯性：由弦的质量线密度表示（ m / l）（kg/m）
弹性：由弦的张力表示 F , 量纲（F=ma） （kg.m/s2）
显然： u C F
C为无量纲的常数，可以证明C=1
第12章 机械波
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波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。
u
x x （超前）
y 3cos[4 (t x L ) ]
u2
y
u t x L
L
u
A
ox
x （超前）
y 3cos[4 (t x L ) ]
u2
y 3cos[4 (t x L ) ]
u
2
第12章 机械波