3.2导数的计算练习

正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导 ，以减少运算量．
考点2 求曲线的切线方程
例例2：求曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程．
[解： y′＝(x3－2x)′＝3x2－2， ∴y′|x＝1＝3×12－2＝1. 即在点(1，－1)处的切线的斜率是1. 由点斜式得切线方程为y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
答案：C
二5.若、函填数空f题(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2 ，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2， 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)， 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得解－得1x0－＝(1x－或2x0x＝0)＝－(312x－，2)(1－x0)， 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－ 4 (x－1)，
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示 ，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由图象可知f′(1)＝0，f′(2)＝0. ∴3a＋2b＋c＝0，① 12a＋4b＋c＝0，② 又函数f(x)的图象过点(1,5)， ∴f(1)＝5，即a＋b＋c＝5③ 由①②③可得a＝2，b＝－9，c＝12. ∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.
即x－y－2＝0或55x＋4y－1＝0.
求曲线的切线方程要注意区分以下两点：
(1)求曲线在点P处的切线方程，则P点在曲线上，一定为切点． (2)求过点P与曲线相切的直线方程则P点不一定在曲线上，不一 定为切点．
2．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，若直线l：y＝kx与曲线C相切于点 (x0，y0)(x≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
(4)[cf(x)]′＝
．
(g(x)≠0)．
课堂合作探究
1.函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax、f(x)＝ex与f(x)＝ax的导数公式之 间各有什么内在联系？
提示：f(x)＝ln x的导数是函数f(x)＝logax的导数的特例； f(x)＝ex的导数是函数f(x)＝ax的导数的特例，即a＝e时，函数 f(x)＝logax的导数就是f(x)＝ln x的导数，函数f(x)＝ax的导数就是 f(x)＝ex的导数．
2
练习二：
一、选择题
2．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，
则f(x)与g(x)满足
()
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
解析：由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
2．下列关系式成立吗？
提示：由导数的运算法则知，这三个关系式都成立．
3．你能求出函数y＝tan x的导数吗？
考点1 求函数的导数
例1：求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcos
x；(2)y＝lg
x－
1 x2
；
(3)y＝ ；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择
1
f′(x)= x ln a
1
f′(x)= x
. . . . (a>0). . (a＞0，且a≠1)
.
2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[ f (x )] ′＝
g (x )
cf′(x)
练习一：
2．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为
()
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋1. 则切线斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线方程为y＝x－1.
答案：C
3．(重庆高考)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
1.基本初等函数的导数公式
函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax
f(x)=ln x
导数 f′(x)= 0 f′(x)= nxn－1
f′(x)= cos x
f′(x)=－sin x f′(x)= axln a f′(x)= ex
课前预习导学
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学习目标
1.会应用导数的定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=1的导数;
x
2.能记住基本初等函数的导数公式; 3.能记住导数的运算法则,并能应用基 本初等函数求导公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数.
重点、难点
重点:1.利用求导公式 求函数的导数; 2.运用四则运算法则求复 杂函数的导数; 3.注意区分 y=ax 与 y=ex,y=logax 与 y=ln x,y=sin x 与 y=cos x 的导数 公式; 难点:复杂函数的求导.
答案：－2
7．过点(－1,0)与曲线y＝ex相切的直线方程是________．
8．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ________．
三、解答题
9．已知曲线y＝x2－x在x＝x0点处的切线与曲线y＝ln x在x＝1点处的切线互 相垂直．
(1)求x0的值； (2)求两条切线的方程．
(1)物体被抛出t s后的速度； (2)物体在t＝2 s时的速度．
解：(1)∵s＝10t－5t2，∴s′＝10－10t. ∴物体被抛出t s后的速度为10－10t. (2)∵s′＝10－10t， ∴s′|t＝2＝10－10×2＝－10. 即物体在t＝2 s时的速度为－10 m/s.
已知函数f(x)＝ x ，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y ＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求 a的值及该切线的方程．
()
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x
解析：依题意得，y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切 线的斜率等于3，故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.
答案：A
4．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是______，切线的方程为________． 5．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′( )＝ 1 ，则a＝________，b＝________.
作业：Leabharlann 考点3 导数的综合应用例3：在抛物线y＝x2上求点P，使该点到直线x－y－2＝0的距 离最短，并求出最短距离．
利用导数的几何意义即切线的斜率建立方程是解决此类问 题的关键．
3．以初速度10 m/s向上抛出一个物体，其上升的高度s(单位：m)与 时间t(单位：s)的关系为s＝10t－5t2(取重力加速度g＝10 m/s2)，求：