2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段课件新人教A版选修4_1

语言 PA· PB＝PC· PD 图形 语言
作用 证明线段成比例
3.切割线定理 文字 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 语言 与圆交点的两条线段长的比例中项 符号 从⊙O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，
语言 则PA2＝PB· PC
图形 语言 作用 证明线段成比例
4.切线长定理 文字 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
证明 连接PO. ∵P为弦AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB， ∵PE⊥OA，
∴在Rt△APO中，AP2＝AE· AO，由相交弦定
理得PD· PC＝PA· PB，∴PD· PC＝AP2， ∴PD· PC＝AE· AO.
规律方法 用相交弦定理解决此类问题的步骤： (1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；
五 与圆有关的比例线段
[学习目标]
1.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理以及切线
长定理.
2.能应用这些定理解决与圆有关的比例线段问题.
[知识链接]
1.如图所示，CD 是弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，则∠ACB＝________. 从而由________定理可得到 PC，PA，PB 之间有怎样的关系？
解析 ∵AE· EB＝DE· EC，∴2EB＝4×1.∴EB＝2. 答案 B
2.如图， P 是⊙O 外一点， PA 与⊙O 相切于点 A， 过点 P 的直线 l 交⊙O 于点 B，C，且 PB＝4， PC＝9，则 PA 等于( A.4 C.9 B.6 D.36 )
解析 ∵PA2＝PB· PC＝4×9＝36，∴PA＝6.
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要点三 例3
切线长定理的应用
如图所示，P 为⊙O 外一点，PA，PB 分别切
⊙O 于点 A，B，C 为AB上任意一点，过点 C 作 ⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于点 D，E，△PDE 的周长为 8 cm，且∠DOE＝70°.求： (1)PA 的长； (2)∠P 的度数.
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解 (1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE. 由切线长定理可知 PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC， 所以 PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋ (DC＋EC)， 即 2PA＝PD＋PE＋DE. 而△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm， 所以 2PA＝8 cm，所以 PA＝4 cm.
要点二 例2
切割线定理应用
如图，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与
BC 的延长线交于点 E，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D. 求证：ED2＝EC· EB.
证明
如题图，∵AE 是圆的切线，
∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD. ∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE ＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故 EA＝ED. ∵EA 是圆的切线，∴由切割线定理知， EA2＝EC· EB.而 EA＝ED，∴ED2＝EC· EB.
FC AF ＝2.由△AFC∽△ABD，可知BD＝AB， FC·AB 8 ∴BD＝ AF ＝ .由切割线定理得 DB2＝DC· DA，又 3 64 4 DA＝4CD，∴4DC ＝DB ＝ 9 ，∴DC＝3.
2 2
4 答案 3
4.如图， PA 与⊙O 相切于点 A， D 为 PA 的中点， 过点 D 引割线交⊙O 于 B， C 两点.求证： ∠DPB ＝∠DCP.
解析 ∵PA，PB，DE 分别切⊙O 于 A，B，C， ∴由切线长定理知：PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB； ∴△PDE 的周长 l＝PD＋DE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝ PA＋PB＝10，故△PDE 的周长为 10.
答案 10
1.相交弦定理的证明过程是利用分类讨论思
想进行分析的，也可以理解为是由特殊到
解
延长 DC 交⊙C 于 M，延长 CD 交⊙O 于 N.
∵CD2＝AD· DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6. 在⊙O，⊙C 中，由相交弦定理可知，PE·EQ＝ DE· EM＝CE· EN，设 CE＝x，则 DE＝6－x， 则(6－x)(x＋6)＝x(6－x＋6)，解得 x＝3. 所以 CE＝3，DE＝6－3＝3，EM＝6＋3＝9. 所以 PE· EQ＝3×9＝27.
(2)正确应用相交弦定理列出关系式；相交弦定理的运
用多是与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相 结合.
跟踪演练 1
如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C
为⊙O 上一点，CD⊥AB 于 D，AD＝9，BD＝4， 以 C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于 P， Q 两点，弦 PQ 交 CD 于 E，求 PE· EQ 的值.
规律方法 利用切割线定理证明乘积式成立
是一种重要的题型，是高考出题的热点之一，
在解决此类问题时，要分清切线与割线以及 相关图形的特点，结合三角形、四边形等图 形的性质加以论证.
跟踪演练 2
如图所示，PA 切⊙O 于点 A，点
M 为BC的中点，割线 PBC 交 AM 与点 D，交 ⊙O 于点 B，C.求证 PD2＝PB· PC.
(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是 割线定理的特例. (3)对于定理中涉及到的线段，在相交弦定理和 割线定理中，能实现知三求一，在切割线定理
中能实现知二求一.
1.如图，⊙O 的两条弦 AB 与 CD 相交于点 E， EC＝1，DE＝4，AE＝2，则 BE 等于( A.1 C.3 B.2 D.4 )
规律方法 解此题第(2)问时，注意四边形内
角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有
切线时，通常连接切点和圆心，以便使用 “垂直”这一结论，这也是切线问题常用的 辅助线.
跟踪演练 3
PA，PB 切⊙O 于 A，B，PA＝5，在劣弧AB上
︵
取一点 C，过 C 作⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于 D，E 两点，则△PDE 的周长等于________.
证明
因为 PA 与圆相切于点 A， 所以 DA2＝DB· DC.
因为 D 为 PA 中点，所以 DP＝DA.所以 DP2＝ PD DB DB· DC，即DC＝PD.又∠BDP＝∠PDC，所以 △BDP∽△PDC.所以∠DPB＝∠DCP.
答案 B
3.如图， 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦， 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E， 与 AB 相 3 交于点 F，AF＝3，FB＝1，EF＝2，则线段 CD 的长为________.
解析
AF·FB 由相交弦定理得 AF· FB＝EF· FC.∴FC＝ EF
(2)连接 OA，OB，OC， 则 PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC， 且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°. 由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8. 又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°， 所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8). 因为∠6＋∠7＝70°， 所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°， 所以∠P＝180°－140°＝40°.
一般的过程进行分析的. 2.割线定理是圆中的比例线段，在证明割线 定理时所用的构造相似三角形的方法十分 重要，应注意很好地把握.
3.要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理
叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两
条线段长”等关键字样.
4.(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直
关系中占有重要地位，故为重点.
提示
∠ACB＝90°，由射影定理得：PC2＝PA· PB.
2.若CD与AB不垂直，会有怎样的结论？ 提示 PC· PD＝PA· PB.
3.若从运动中变化的观点来看，将图①中的点P从⊙O内接
移到⊙O上(如图②所示)，再移到⊙O外(如图③所示)，则
相交弦PA，PB，PC，Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ之间有怎样的关系？
提示 PA· PB＝PC· PD仍然成立.
︵
证明
连接 AC.由题意知∠ADB＝∠C＋∠CAD，
1 ︵ ︵ ∴∠ADB 的度数＝2(AB的度数＋CM的度数). 1 ︵ ∵M 为BC的中点，∴CM＝BM，∴∠ADB 的度数＝ (AB的度数 2 1︵ ＋BM的度数)＝2AM的度数.∵PA 切⊙O 于点 A， ∴∠PAD 的度数 1︵ ＝2AM的度数.∴∠PAD＝∠PDA，∴PA＝PD. 由题意知 PA2＝PB· PC，∴PD2＝PB· PC.
[预习导引]
1.相交弦定理 文字 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长
语言
符号 语言
的积相等
⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，则PA· PB＝
PC· PD
图形
语言 作用 证明线段成比例
2.割线定理 文字 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与
语言 圆的交点的两条线段长的积相等 符号 从⊙O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则
语言 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 符号 PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，则PA＝PB， 语言 ∠OPA＝∠OPB 图形 语言 作用 证明角相等，线段相等
要点一 例1
相交弦定理的应用
如图所示，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，
过点 P 作半径 OA 的垂线分别交⊙O 于点 C， D，垂足是点 E.求证：PC· PD＝AE· AO.