2021-2022学年河北省石家庄市第九中学中考数学押题卷含解析

2021-2022学年河北省石家庄市第九中学中考数学押题卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元
B ．200元
C ．225元
D ．259.2元
2．如图，扇形AOB 中，OA=2，C 为弧AB 上的一点，连接AC ，BC ，如果四边形AOBC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
233
π
- B ．
2233π- C ．433
π- D ．4233π
- 3．如图，点A 是反比例函数y=k
x
的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，
BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．6
D ．﹣6
4．如图，AB 是
O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，点G 是AC 上的任意一点，延长AG 交DC 的延长线于点
F ，连接,,GC GD AD .若25BAD ∠=︒，则AGD ∠等于（ ）
A ．55︒
B ．65︒
C ．75︒
D ．85︒
5．若正比例函数y=3x 的图象经过A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）两点，则y 1与y 2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
6．如图，将函数y＝1
2
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平
移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A．y＝1
2
（x﹣2）2-2 B．y＝
1
2
（x﹣2）2+7
C．y＝1
2
（x﹣2）2-5 D．y＝
1
2
（x﹣2）2+4
7．计算-5+1的结果为（）
A．-6 B．-4 C．4 D．6
8．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，
是红球的概率为1
3
，则a等于（）
A．1B．2C．3D．4 9．下列计算，结果等于a4的是（）
A．a+3a B．a5﹣a C．（a2）2D．a8÷a2
10．3
-的倒数是（）
A．
1
3
-B．3 C．
1
3
D．
1
3
±
11．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于（）
A ．90°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
12．有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体，若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加小正方体的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．分解因式：4a 2﹣1＝_____．
14．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 ．
15．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____．
16．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin ∠EAB 的值为 ．
17．8的立方根为_______.
18．因式分解：212x x --= ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转37︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈2 1.4≈）
20．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=6，求AB的长．
21．（6分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：
组别成绩（分）频数（人数）频率
一 2 0.04
二10 0.2
三14 b
四 a 0.32
五8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：本次决赛共有名学生参加；直接写出表中a= ,b= ;请补全下面相应的频数分布直方图；
若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为．
22．（8分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE=83m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，求旗杆AB的髙．
23．（8分）如图1，图2…、图m是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
(1)图1中3条弧的弧长的和为，图2中4条弧的弧长的和为；
(2)求图m中n条弧的弧长的和(用n表示)．
24．（10分）如图，已知正比例函数y=2x与反比例函数y=k
x
（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=k
x
（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点
组成的四边形面积为224，求点P的坐标．
25．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交点G，求证：AG＝CG．
26．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD 于点E．
（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．
27．（12分）如图，在Rt△ABC的顶点A、B在x轴上，点C在y轴上正半轴上，且
A(－1，0)，B(4，0)，∠ACB＝90°.
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴l与BC边交于点D，若P是对称轴l上的点，且满足以P、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求P点的坐标；
(3)在对称轴l和抛物线上是否分别存在点M、N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由.
图1 备用图
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
设这种商品每件进价为x元，根据题中的等量关系列方程求解.
【详解】
设这种商品每件进价为x元，则根据题意可列方程270×0.8－x＝0.2x，解得x＝180.故选A.
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程.
2、D
【解析】
连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出
AD=OA•sin60°=2×
3
2
=3，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=
2
1202
360
π⨯
﹣2×
1
2
×2×3=
4
3
π
﹣23．
故选D．
点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．
3、D
【解析】
试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
4、B
【解析】
连接BD，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．
【详解】
连接BD，
∵AB是直径，∠BAD=25°，
∴∠ABD=90°-25°=65°，
∴∠AGD=∠ABD=65°，
故选B．
【点睛】
此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．
5、A
【解析】
分别把点A（−1，y1），点B（−1，y1）代入函数y＝3x，求出点y1，y1的值，并比较出其大小即可．
【详解】
解：∵点A（−1，y1），点B（−1，y1）是函数y＝3x图象上的点，
∴y 1＝−6，y 1＝−3， ∵−3＞−6， ∴y 1＜y 1． 故选A ． 【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 6、D 【解析】 ∵函数()2
1212
y x =-+的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m =
()211212-+=32，n =()2
14212
-+=3， ∴A （1，3
2
），B （4，3），
过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，32
）， ∴AC =4﹣1=3，
∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC •AA ′=3AA ′=9， ∴AA ′=3，即将函数()2
1212
y x =
-+的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是()2
1242
y x =-+． 故选D ．
7、B 【解析】
根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】
解：-5+1=-（5-1）=-1．
故选B ． 【点睛】
本题考查了有理数的加法． 8、A 【解析】
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：21
233
a =++， 解
得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A. 9、C 【解析】
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可． 【详解】
A ．a +3a =4a ，错误；
B ．a 5和a 不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C ．（a 2）2=a 4，正确；
D ．a 8÷a 2=a 6，错误． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则． 10、A 【解析】
解：3-的倒数是13
-． 故选A ． 【点睛】
本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键． 11、C 【解析】
解：∵A （0，1），B （0，﹣1），∴AB =1，OA =1，∴AC =1．在Rt △AOC 中，cos ∠BAC =OA AC =1
2
，∴∠BAC =60°．故选C ．
点睛：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC 、OA 的长．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧．
12、C
【解析】
若要保持俯视图和左视图不变，可以往第2排右侧正方体上添加1个，往第3排中间正方体上添加2个、右侧两个正方体上再添加1个，
即一共添加4个小正方体，
故选C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、（2a+1）（2a﹣1）
【解析】
有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【详解】
4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：（2a+1）（2a-1）.
【点睛】
此题考查多项式因式分解，根据多项式的特点选择适合的分解方法是解题的关键.
14、2
3π
.
【解析】
试题分析：连结OC、OD，因为C、D是半圆O的三等分点，所以，∠BOD＝∠COD＝60°，所以，三角形OCD为
等边三角形，所以，半圆O的半径为OC＝CD＝2，S扇形OBDC＝1204
360
π⨯
=
4
3
π
，S△OBC＝
1
231
2
⨯⨯＝3，S弓形CD
＝S扇形ODC－S△ODC＝6041
23
3602
π⨯
-⨯⨯＝
2
3
3
π
-，所以阴影部分的面积为为S＝
4
3
π
－3－（
2
3
3
π
-）＝
2
3
π
.
考点：扇形的面积计算.
15、1 3
【解析】
将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】
解：将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为3
9
＝
1
3
．
故答案为：1
3
．
【点睛】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16、3
5
．
【解析】
试题分析：设正方形的边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，
即（x+y）2=y2+（y-x）2，
由于y≠0，
化简得y=4x，
∴sin∠EAB=
33
55 BE y x x
AE y x x
-
===
+
．
考点：1．相切两圆的性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义17、2.
【解析】
根据立方根的定义可得8的立方根为2.
【点睛】
本题考查了立方根.
18、()()34x x +-；
【解析】
根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【详解】
x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x +3）．
故答案为（x ﹣4）（x +3）．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、1.4米.
【解析】
过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE=CM ，则EM=BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．
【详解】
过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE=CM ，如图所示，
∵AB=CD ，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1，
在Rt △ABE 中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin ∠A≈0.6，AE=AB•cos ∠A≈0.8，
在Rt △CDF 中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin ∠D≈0.7，DF=CD•cos ∠D≈0.7，
∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，
∴BE ∥CM ，
又∵BE=CM ，
∴四边形BEMC 为平行四边形，
∴BC=EM ，CM=BE ．
在Rt △MEF 中，EF=AD ﹣AE ﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴，
∴B 与C 之间的距离约为1.4米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．
20、（1）证明见解析（2）3
【解析】
（1）连接OC ，由C 为BE ∧的中点，得到12∠=∠，等量代换得到2ACO ∠=∠，根据平行线的性质得到OC CD ⊥，即可得到结论；
（2）连接CE ，由勾股定理得到222CD AC AD =-=，根据切割线定理得到2CD AD DE =⋅，根据勾股定理得到223CE CD DE =+=，由圆周角定理得到90ACB ∠=︒，即可得到结论.
【详解】
()1相切，连接OC ，
∵C 为BE 的中点，
∴12∠=∠，
∵OA OC =，
∴1ACO ∠=∠，
∴2ACO ∠=∠，
∴//AD OC ，
∵CD AD ⊥，
∴OC CD ⊥，
∴直线CD 与O 相切；
()2方法1：连接CE ，
∵2
AD=，AC=，
∵90
ADC
∠=，
∴CD==
∵CD是O的切线，
∴2
CD AD DE
=⋅，
∴1
DE=，
∴CE==
∵C为BE的中点，
∴BC CE
==
∵AB为O的直径，
∴90
ACB
∠=，
∴3 AB==．方法2：∵DCA B
∠=∠，易得ADC ACB
∽，
∴AD AC AC AB
=，
∴3
AB=．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键.
21、（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.
【解析】
试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.
试题解析：（1）2÷0.04=50
（2）50×0.32=16 14÷50=0.28
（3）
（4）（0.32+0.16）×
100%=48% 考点：频数分布直方图
22、 3．
【解析】
利用∠ECA 的正切值可求得AE ；利用∠ECB 的正切值可求得BE ，由AB=AE+BE 可得答案．
【详解】
在Rt △EBC 中，有BE=EC×
tan45°3m ， 在Rt △AEC 中，有AE=EC×
tan30°=8m ， ∴3+8（m ）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
23、 (1)π， 2π；(2)(n ﹣2)π．
【解析】
（1）利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；
（2）利用多边形的内角和公式和弧长公式计算．
【详解】
(1)利用弧长公式可得
312111180180180
n n n πππ⨯⨯⨯++＝π， 因为n 1+n 2+n 3＝180°． 同理，四边形的＝31241111180180180180
n n n n ππππ⨯⨯⨯⨯+++＝2π， 因为四边形的内角和为360度；
(2)n 条弧＝
31241111(2)1801 (180180180180180)
n n n n n πππππ⨯⨯⨯⨯-⨯⨯++++=＝(n ﹣2)π． 【点睛】 本题考查了多边形的内角和定理以及扇形的面积公式和弧长的计算公式，理解公式是关键．
24、（1）32；（2）x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）点P 的坐标是P （﹣；或P （．
【解析】
分析：（1）先将x=4代入正比例函数y=2x ，可得出y=8，求得点A （4，8），再根据点A 与B 关于原点对称，得出B 点坐标，即可得出k 的值；
（2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值．
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即1．可根据双曲线的解析式设出P 点的坐标，然后表示出△POA 的面积，由于△POA 的面积为1，由此可得出关于P 点横坐标的方程，即可求出P 点的坐标．
详解：（1）∵点A 在正比例函数y=2x 上，
∴把x=4代入正比例函数y=2x ，
解得y=8，∴点A （4，8），
把点A （4，8）代入反比例函数y=
k x ，得k=32， （2）∵点A 与B 关于原点对称，
∴B 点坐标为（﹣4，﹣8），
由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x 的取值范围，x ＜﹣8或0＜x ＜8；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，
∴OP=OQ ，OA=OB ，
∴四边形APBQ 是平行四边形，
∴S △POA =S 平行四边形APBQ ×=14
×224=1， 设点P 的横坐标为m （m ＞0且m≠4），
得P （m ，32m
）， 过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，
∵点P 、A 在双曲线上，
∴S △POE =S △AOF =16，
若0＜m ＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，∴S梯形PEFA=S△POA=1．
∴1
2
（8+
32
m
）•（4﹣m）=1．
∴m1=﹣7+37，m2=﹣7﹣37（舍去），
∴P（﹣7+37，16+48
7
7
）；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，∴S梯形PEFA=S△POA=1．
∴1
2
×（8+32
m
）•（m﹣4）=1，
解得m1=7+37，m2=7﹣37（舍去），
∴P（7+37，﹣16+48
7
7
）．
∴点P的坐标是P（﹣7+37，16+48
7
7
）；或P（7+37，﹣16+
48
7
7
）．
点睛：本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=k
x
中k的几何意义．这里体现了数形
结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积．
25、详见解析．
【解析】
先证明△ADF≌△CDE，由此可得∠DAF＝∠DCE，∠AFD＝∠CED，再根据∠EAG＝∠FCG，AE＝CF，∠AEG＝∠CFG可得△AEG≌△CFG，所以AG＝CG．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∵E、F分别是AB、BC边的中点，
∴AE ＝ED ＝CF ＝DF ．
又∠D ＝∠D ，
∴△ADF ≌△CDE （SAS ）．
∴∠DAF ＝∠DCE ，∠AFD ＝∠CED ．
∴∠AEG ＝∠CFG ．
在△AEG 和△CFG 中
EAG FCG AE CF
AEG CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEG ≌△CFG （ASA ）．
∴AG ＝CG ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是要灵活运用全等三角形的判定方法．
26、 (1) 2
;(2)见解析 【解析】
分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，
设ED=x ，则CD=2x
，求得x 的值，可得BD 的长；
（2）如图2，连接CM ，先证明△ACE ≌△BCF ，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C 、M 、B 、F 四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM ．
详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC ，
∴∠CAB=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠CAE=45°﹣15°=30°，
Rt △ACE 中，CE=1，
∴AC=2CE=2，
Rt △CED 中，∠ECD=90°﹣60°=30°，
∴CD=2ED ，
设ED=x ，则CD=2x ，
∴
x ，
∴3x=1，
x=
3
3
，
∴CD=2x=23
3
，
∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣23
3
；
（2）如图2，连接CM，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠BFC=∠AEC=90°，
∵∠CFE=45°，
∴∠MFB=45°，
∵∠CFM=∠CBA=45°，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=45°，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵AC=BC，
∴AM=BM．
点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE≌△BCF是关键．
27、见解析
【解析】
分析：(1)根据OAC OCB
∽求出点C的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)分两种情况进行讨论即可.
(3)存在. 假设直线l 上存在点M ，抛物线上存在点N ，使得以A 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形.分当平行四边形AOMN '是平行四边形时，当平行四边形AONM 是平行四边形时，当四边形AMON 为平行四边形时，三种情况进行讨论.
详解：(1)易证OAC OCB ∽，得OA OC OC OB =，2· 4.OC OAOB == ∴OC =2，∴C (0，2),
∵抛物线过点A (-1，0)，B (4，0)
因此可设抛物线的解析式为(1)(4),y a x x =+-
将C 点(0，2)代入得:42a -=，即1,2a =- ∴抛物线的解析式为213 2.22
y x x =-++ (2)如图2，
当1CDP CAO ∽时，1CP l ⊥，则P 1(32
，2), 当2P DC CAO ∽ 时，2P ACO ，
∠=∠ ∴OC ∥l,
∴225
OC OA P H AH ==， ∴P 2H ＝
52·OC ＝5， ∴P 2 (32
，5) 因此P 点的坐标为(
32，2)或(32，5). (3)存在.
假设直线l 上存在点M ，抛物线上存在点N ，使得以A 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形.
如图3，
当平行四边形AOMN'是平行四边形时，M(3
2
，
21
8
)，N'(
1
2
,
21
8
),
当平行四边形AONM是平行四边形时，M(3
2
，
21
8
)，N(
5
2
,
21
8
),
如图4，当四边形AMON为平行四边形时，MN与OA互相平分，此时可设M(3
2
，m)，则
5
(,)
2
N m
--，
∵点N在抛物线
1
(1)(4)
2
y x x
=-+-上，
∴-m＝-1
2
·(-
5
2
+1)( -
5
2
-4)=-
39
8
,
∴m=39 8
,
此时M(3
2
，
39
8
)，N(-
5
2
,-
39
8
).
综上所述，M(3
2
，
21
8
)，N(
1
2
,
21
8
)或M(
3
2
，
21
8
)，N(
5
2
,
21
8
) 或M(
3
2
，
39
8
)，N(-
5
2
,-
39
8
).
点睛：属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式等，注意分类讨论的思想方法在数学中的应用.。