2006年高考数学分类研究专题二次函数图像与性质

2006年高考数学分类研究专题 二次函数图像与性质
第1题. (2006 梅州课改)将抛物2(1)y x =--向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ． 答案：2y x =-
第2题. (2006 泰安非课改)下列图形：
其中，阴影部分的面积相等的是（ ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④①
答案：Ｃ
第3题. (2006 泰安非课改)抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
容易看出，()20-，是它与x 轴的一个交点，则它与x
轴的另一个交点的坐标为_________． 答案：()
30，
第4题. (2006 泰安非课改)如图，
Rt AOB △是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 与原点重合，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，OB =30BAO =∠．将Rt AOB △折叠，使BO 边落在BA 边上，点O 与点D 重合，折痕为BC ． （1）求直线BC 的解析式；
（2）求经过B ，C ，A 三点的抛物线2
y ax bx c
=++的解析式；若抛物线的顶点为M ，试判断点M 是否在直线BC 上，并说明理由．
2 1-
答案：解：（1）()11
90303022
OBC DBC OBA ==
=⨯-=∠∠∠， ∴在Rt COB △
中，tan 30313
OC OB ===， ∴点C 的坐标为()10，．
又点B 的坐标为(0
，∴设直线BC 的解析式为y kx =，
k ∴=k ∴=
则直线BC
的解析式为：y =
（2）
在Rt AOB △
中，33tan 30OB OA =
==．
()30A ∴，
，
又(0B ，()10
C ，，
0930a b c c a b c =++⎧∴==++⎩
，
，
．
解之得：a =
b =
c =
∴
所求抛物线的解析式为23y x =
配方得：)2
233y
x =
--，∴顶点为2M ⎛- ⎝
⎭，．
把2
x =代入
y =
y =． ∴顶点M 不在直线BC 上．
第5题. （2006 芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，二次函
数2
(0)y ax c a =+≠的图象过正方形A B O C 的三个顶点
A B C ，，，则ac 的值是
．
答案：2-
第6题. （2006 滨州非课改）已知抛物线2(1)(2)y x m x m =+-+-与x 轴相交于A B ，两点，且线段
2AB =，则m 的值为 ．
答案：1
5，
第7题. （2006 滨州非课改）已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 ． 答案：2y x x =-- 答案不唯一
第8题. （2006 河南课改）已知二次函数222y x x c =-++的对称轴和x 轴相交于点()0m ，，则m 的值为____________． 答案：1
第9题. （2006 临沂非课改）若()123135143A y B y C y ⎛⎫⎛⎫
-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，为二次函数245y x x =--+的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） Ａ．123y y y << Ｂ．321y y y << Ｃ．312y y y <<
Ｄ．213y y y <<
答案：Ｃ
第10题. （2006 枣庄非课改）已知关于x 的二次函数22
12m y x mx +=-+与22
22
m y x mx +=--，这
两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点； （2）若A 点坐标为()10-，，试求B 点坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？
x
答案：解：（1）对于关于x 的二次函数22
1
2
m y x mx +=-+，
由于()22
2
141202m m m ⎛⎫+∆=--⨯⨯=--< ⎪⎝⎭
，
所以此函数的图象与x 轴没有交点．
对于关于x 的二次函数22
2
2
m y x mx +=--，
由于()22
2
2413402m m m ⎛⎫+∆=--⨯⨯-=+> ⎪⎝
⎭，
所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．
故图象经过A ，B 两点的二次函数为22
2
2
m y x mx +=--．
（2）将()10A -，代入22
22m y x mx +=--
，得22
102
m m ++-=． 整理，得2
20m m -=． 解之，得0m =，或2m =．
当0m =时，2
1y x =-．令0y =，得2
10x -=．
解这个方程，得11x =-，21x =． 此时，B 点的坐标是()10B ，．
当2m =时，2
23y x x =--．令0y =，得2
230x x --=．
解这个方程，得11x =-，23x =． 此时，B 点的坐标是()30B ，．
（3）当0m =时，二次函数为2
1y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为0x =，所以当0x <时，函数值y 随x 的增大而减小．
当2m =时，二次函数为()2
22314y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为1x =，所以当1
x <时，函数值y 随x 的增大而减小．
第11题. （2006 北京非课改）已知：关于x 的方程2
1470mx x --=有两个实数根1x 和2x ，关于y 的方程
222(1)20y n y n n --+-=有两个实数根1y 和2y ，且1224y y -<≤≤．当
2121212
26
2(2)140y y x x x x -+-+=+时，
求m 的取值范围． 解：
答案： 解：
关于x 的方程2
1470mx x --=有两个实数根1x 和2x ，
2
10(14)280m m ≠⎧∴⎨∆=-+⎩，
．
≥ 解得7m -≥且0m ≠． ①
关于y 的方程2
2
2(1)20y n y n n --+-=有两个实数根1y 和2y ，
222[2(1)]4(2)4n n n ∴∆=----=． 2(1)2
112
n y n -±∴=
=-±．
即12y n =-，2y n =．
1224y y -<≤≤，
224n n ∴--<≤≤． 解得04n ≤≤．
由根与系数的关系得1214x x m +=，127x x m
=-．
2121212
26
2(2)140y y x x x x -+-+=+，
2
62[2(2)]14077m m n n ⎛⎫∴--+--+= ⎪⎝⎭
．
整理，得2
246m n n =--
．
由二次函数2246m n n =--的图象可得
当04n ≤≤时，810m -≤≤． ②
由①，②得m 的取值范围是710m -≤≤且0m ≠．
第12题. (2006 广东课改)求二次函数221y x x =--的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．
答案：解：221y x x =-- 2
212x x =-+- 2(1)2x =--.
∴二次函数的顶点坐标是(1
2)-，． 设0y =，则2
210x x --=， 2(1)20x --=
2(1)21x x -=-=，
1211x x ==
二次函数与x
轴的交点坐标为(1．
第13题. (2006 河北非课改)在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2
y ax bx =+的图象可能为（ ）
答案：Ａ
第14题. (2006 江西非课改)一条抛物线
214y x mx n =
++
经过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，与342⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（2）现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，当
P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．
友情提示：抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a
a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，．
答案：解：（1）由抛物线过330422⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，两点，得
232
134442
n m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，．解得132m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，．
∴抛物线的解析式是213
42
y x x =-+． 由221311(2)4242y x x x =
-+=-+，得抛物线的顶点坐标为122⎛⎫
⎪⎝⎭
，． （2）设点P 的坐标为00()x y ，， 当
P 与y 轴相切时，有0||1x =，01x ∴=±．
由01x =，得20133
11424y =
⨯-+=； 由01x =-，得2
01311(1)(1)424
y =⨯---+=．
此时，点P 的坐标为123111144P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，． 当P 与x 轴相切时，有0||1y =．
抛物线的开口向上，顶点在x 轴的上方，0001y y >∴=，．
由01y =，得
20013
142
x x -+=
．解得02x =． x
y
O
此时，点P
的坐标为34(2)(2)P P ，． 综上所述，圆心P 的坐标为123111144P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，
，34(2)(2)P P ，．
第15题. (2006 南通非课改）已知二次函数22934y x x =++，当自变量x 取两个不同的值12x x ，时，函数值相等，则当自变量x 取12x x +时的函数值与（ ） Ａ．1x =时的函数值相等 Ｂ．0x =时的函数值相等 Ｃ．1
4x =
时的函数值相等
Ｄ．9
4
x =-
时的函数值相等 答案：B
第16题. (2006 南通非课改）已知抛物线2y ax bx c =++经过A B C ，，三点，当0x ≥时，其图象如图所示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线2y ax bx c =++当0x <时的图象； （3）利用抛物线2y ax bx c =++，写出x 为何值时，0y >．
答案：解：（1）由图象，可知(02)(40)(53)A B C -，，
，，，， 得方程组201643255c a b c a b c =⎧⎪
=++⎨⎪-=++⎩
，
，．
解得13
222
a b c =-==，，．
∴抛物线的解析式为213
222
y x x =-++．
顶点坐标为325
()28
，．
（2）所画图如图．
（3）由图象可知，当14x -<<时，0y >．
第17题. (2006 上海非课改)二次函数()2
13y x =--+图象的顶点坐标是（ ） Ａ．()13-， Ｂ．()13，
Ｃ．()13--，
Ｄ．()13-，
答案：Ｂ
第18题. (2006 烟台非课改)已知抛物线2y ax bx c =++过点312A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，其顶点E 的横坐标为2，此抛物
线与x 轴分别交于()10B x ，，()20C x ，两点()12x x <，且221216x x +=．
（1）求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；
（2）若D 是y 轴上一点，且CDE △为等腰三角形，求点D 的坐标．
答案：解：（1）设所求抛物线为2(2)y a x n =-+． 即2
44y ax ax a n =-++． 点3
(1
)2A ，在抛物线上，3
2
a n ∴=+．①
12x x ，是方程2440ax ax a n -++=的两实根，
121244a n
x x x x a
+∴+==
，． 又2
2
2
2
1212124()24216a n
x x x x x x a
++=+-=-⨯=，40a n ∴+=．② 由①②得 122
a n =-=，．
∴所求抛物线解析式为21(2)22y x =-
-+，即21
22
y x x =-+． 顶点E 的坐标为(22)，
． （2）由（1）知(00)(40)B C ，，
，． 又(22)E ，
，故BCE △为等腰直角三角形，如图． 由等腰CDE △知，CE 为腰或CE 为底．
①当CE 为腰时，又D 在y 轴上，则只能有DE EC =，显然D 点为(00)，或(04)，（这时D E C ，，共线，舍去）．
D ∴点只能取(00)，
． ②当CE 为底时，
设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，因CEF △为等腰直角三角形， 则线段CE 的垂直平分线过点F ，设交y 轴于点D ． 故45OFD =︒∠．2OD DF ∴==．
D ∴点坐标为(02)-，
． 综上所述，点D 的坐标为(00)，
或(02)-，．
第19题. (2006 广州课改)抛物线21y x =-的顶点坐标是（ ）
A ．(01)，
B ．(01)-，
C ．(10)，
D ．(1
0)-， 答案：B 第
20
题. (2006 肇庆课改)已知两个关于
x 的二次函数1y 与
222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，；当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称
轴是直线1x =-．
（1）求k 的值；
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
答案：解：（1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++，
得2222
2121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--． 又因为当x k =时，217y =，即2
61017k k ++=， 解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．
（2）由1k =，得222
2610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-，
所以函数2y 的图象的对称轴为26
2(1)
a x a +=-
-，
于是，有26
12(1)
a a +-
=--，解得1a =-，
所以2212212411y x x y x x =-++=++，．
（3）由21(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，；
由22224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)-，； 故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．
第21题. (2006 镇江课改)在平面直角坐标系中，已知二次函数2(1)y a x k =-+的图象与x 轴相交于点
A B ，，顶点为C ，点D 在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形ACBD 是一个边长为2且有一个内角为60︒的菱形．求此二次函数的表达式．
答案：解：本题共有4种情况．
设二次函数的图象的对称轴与x 轴相交于点E ．
（1）如图①，当60CAD =︒∠时，因为ACBD 是菱形，一边长为
所以1DE BE =，，
所以点B 的坐标为(1
，点C 的坐标为(1
1)-，， 解得1k =-，13
a =． 所以21
(1)13
y x =--
．
（2）如图②，当60ACB =︒∠时，由菱形性质知点A 的坐标为(00)，，点C 的坐标为．
解得k a == 所以21)y x =-
同理可得：22
1
(1)1
1)3
y x y x =--+=-+， 所以符合条件的二次函数的表达式有：
x
x
x
221
(1)11)3y x y x =--=-，
221
(1)11)3
y x y x =--+=-，
第22题. （2006 白银课改）二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表：
则使0y <的x 的取值范围为 ．答案：23
x -<<
第23题. （2006
海南课改）一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分．下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度()h 米与时间()t 秒之间变化关系的是（
）
答案：Ｄ
第24
题. （2006 梧桐非课改）二次函数2y ax bx =+和反比例函数b
y x =在同一坐标系中的图象大致是（ ）
答案：Ｂ
第25题. （2006 天津非课改）已知抛物线2
4113y x x =--． （I ）求它的对称轴；
（II ）求它与x 轴、y 轴的交点坐标． Ａ．
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ．
Ｂ． Ｄ．
Ｃ．
答案：解：（I ）由已知，411a b ==-，，得1111
288
b a --
=-=． ∴该抛物线的对称轴是11
8
x =
． （II ）令0y =，得2
41130x x --=，解得12134
x x ==-
，． ∴该抛物线与x 轴的交点坐标为1(30)(0)4
-，，
，． 令0x =，得3y =-，
∴该抛物线与y 轴的交点坐标为(03)-，
．
第26题. （2006 广东非课改）抛物线226y x x c =++与x 轴的一个交点为(10)，，则这个抛物线的顶点坐标是
．
答案：32522⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
第27题. （2006 菏泽非课改）若抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a >
Ｂ．1a <
Ｃ．1a ≥
Ｄ．1a ≤
答案：Ｂ
第28题. （2006 菏泽课改）二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ） Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象
限
答案：Ｂ
第29题. （2006 衡阳课改）抛物线2
(1)3y x =-+的顶点坐标为 ．
答案：(1
3)，
第30题. （2006 无锡课改）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的顶点是(01)C ，，直线:3l y ax =-+与这条抛物线交于P Q ，两点，与x 轴，y 轴分别交于点M 和N ．
（1）设点P 到x 轴的距离为2，试求直线l 的函数关系式；
（2）若线段MP 与PN 的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式．
答案：解：（1）抛物线的顶点是()01C ，，2011b c y ax ∴==∴=+，，
． 如图1，
0a >，直线l 过点()03N ，，
M ∴点在x 轴正半轴上． 点P 到x 轴的距离为2，即点P 的纵坐标为2
把2y =代入3y ax =-+得，1x a
=，
P ∴点坐标为12a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
直线与抛物线交于点P ，
∴点P 在21y ax =+上，2
121a a ⎛⎫
∴=+ ⎪⎝⎭
，
1a ∴=．
∴直线l 的函数关系式为3y x =-+．
（2）如图2，若点P 在y 轴的右边，记为1P ．过点1P 作1PA
x ⊥轴于A ，
1PMA NMO =∠∠，1Rt Rt MPA MNO ∴△∽△，11
P A MP ON MN
∴
=．
1
11111
1
3341MP MP PN MN MP PN PN PN =∴==+=，，， 1
34MP MN ∴
=，即134
P A ON =， 1934ON P A =∴=，，即点1
P 的纵坐标为9
4
． 把94y =代入3y ax =-+，得3
4x a
=，
∴点1P 的坐标为3944a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，． （图1）
又
点1P 是直线l 与抛物线的交点，∴点1P 在抛物线2
1y ax =+上，
2
93144a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭
，
9
20
a ∴=
． ∴抛物线的函数关系式为2
9120
y x =
+． 如图2，若点P 在y 轴的左边，记为2P ．作2P B x ⊥轴于
B ，
2P MB NMO =∠∠，2Rt Rt MP B MNO ∴△∽△，
22
P B MP ON MN
∴=．
22223
31
MP MP P N P N =∴=，， 2222322MP MN MP P N P N MN =-=∴
=，，即23
2
P B ON =2932ON P B =∴=，，即点2P 的纵坐标为9
2
．
由2P 在直线l 上可求得23922P
a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，， 又2P 在抛物线上，2
93912214a a a ⎛⎫
∴=-+∴= ⎪
⎝⎭
，． ∴抛物线的函数关系式为2
9114
y x =
+．
第31题. （2006 济宁课改）二次函数2
6y x x =+-的图象与x 轴交点的横坐标是（ ） A ．2和3- B ．2-和3
C ．2和3
D ．2-和3-
答案：A
第32题. （2006 荆州课改）已知y 关于x 的函数：()()2
2211y k x k x k =---++中满足3k ≤．
（1）求证：此函数图象与x 轴总有交点． （2）当关于z 的方程2233
z k
z z -=+--有增根时，求上述函数图象与x 轴的交点坐标． （图2）
答案：（1）当2k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点． 当2k ≠时，()()()2
41421412k k k k =---+=-+△ 当3k ≤时，0△≥，此时抛物线与x 轴有交点．
因此，3k ≤时，y 关于x 的函数()()22211y k x k x k =---++的图象与x 轴总有交点． （2）关于z 的方程去分母得：226z k z -=+-，4k z =-． 由于原分式方程有增根，其根必为3z =．这时1k =（6分）
这时函数为22y x =-+．它与x
轴的交点是()
和)
第33题. （2006 苏州课改）抛物线2245y x x =++的对称轴是x =______． 答案：1-
第34题. （2006 安徽课改）抛物线2
(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(03)，
点．
（1）求出m 的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？
（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【解】
答案：解：（1）由抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(03)，
，得：3m =． ∴抛物线为223y x x =-++．图象略． （2）由2230x x -++=，得1213x x =-=，． ∴抛物线与x 轴的交点为(1
0)(30)-，，，． 2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1
4)，． （3）由图象可知：
当13x -<<时，抛物线在x 轴上方． （4）由图象可知：
当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小．
x
第35题. （2006 贺州课改）已知抛物线268y ax x =+-与直线3y x =-相交于点(1)A m ，． （1）求抛物线的解析式；
（2）请问（1）中的抛物线经过怎样的平移就可以得到2y ax =的图象？
（3）设抛物线2y ax =上依次有点123
4P P P P ，，，，…，其中横坐标依次是2468，，，，…，纵坐标依次为1234n n n n ，，，，…，试求31003n n -的值．
答案：解：（1）
点(1
)A m ，在直线3y x =-上， 313m ∴=-⨯=-．
把1
3x y ==-，代入268y ax x =+-， 得683a +-=-．求得1a =-．
∴抛物线的解析式是268y x x =-+-．
（2）
2268(3)1y x x x =-+-=--+．
∴顶点坐标为(31)
，． ∴把抛物线268y x x =-+-向左平移3个单位长度得到21y x =-+的图象，再把21y x =-+的图象向下平
移1个单位长度得到2
y x =-的图象．
（3）由题意知，123
P P P ，，，…的横坐标是连续偶数，所以n P 的横坐标是2n ，纵坐标为31003n n ，所对应的纵坐标依次是22
62006--，
． 22310036(2006)n n ∴-=---
(20066)(20066)4024000=+-=．
第36题. （2006 湖南永州非课改）观察下列四个函数的图象（ ）
x
将它们的序号与下列函数的排列顺序：正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，对应正确的是（ ） A ．①②③④ B ．②③①④ C ．③②④① D ．④②①③ 答案：C
第37题. （2006 沈阳非课改）抛物线()2
361y x =-+-的对称轴是直线（ ） Ａ．6x =- Ｂ．1x =-
Ｃ．1x =
Ｄ．6x =
答案：Ａ
第38题. （2006 兰州A 课改）请选择一组你喜欢的a b c ，，的值，使二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当2x <时，y 随x 的增大而增大；当2x >时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ．
答案：答案不唯一，只要满足对称轴是2x =，0a <．
第39题. （2006 兰州A 课改）已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）． Ａ．22(2)2y x =-+ Ｂ．22(2)2y x =+-
Ｃ．2
2(2)2y x =--
Ｄ．2
2(2)2y x =++
答案：Ｂ
第40题. （2006 兰州A 课改）已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，则下列结论中正确的是（ ）． Ａ．0ac > Ｂ．0b < Ｃ．2
40b ac -<
Ｄ．20a b +=
答案：Ｄ
第41题. （2006 辽宁十一市课改）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．
答案：1x =-
2
x
(24)C -，三点，且与x 轴的另一个交点为E ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积．
答案：解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过(20)(04)(24)A B C ---，，
，，，三点 4204424
a b c c a b c -+=⎧⎪
∴=-⎨⎪++=-⎩解得1214a b c ⎧
=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪
⎩
∴抛物线解析式：2
142
y x x =--． （2）221194(1)222
y x x x =
--=-- ∴顶点坐标912D ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，，对称轴：1x =． （3）连结OD ，对于抛物线解析式2
142
y x x =
-- 当0y =时，得2280x x --=，解得：12x =-，24x = (40)4E OE ∴=，，
42915AOB BOD EOD ABDE S S S S ∴=++=++=△△△四边形．
第43题. （2006 浙江湖州课改）已知二次函数()2
111y x bx b =-+-≤≤，当b 从1-逐渐变化到1的过
程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） Ａ．先往左上方移动，再往左下方移动 Ｂ．先往左下方移动，再往左上方移动 Ｃ．先往右上方移动，再往右下方移动 Ｄ．先往右下方移动，再往右上方移动 答案：Ｃ
第44题. （2006 江西课改）二次函数2
23y x x =--的最小值是 ． 答案：4- A
B C
D
O
E
x
y
A
B
C
D
O
E
x
y
第45题. （2006 长春课改）如图，P 为抛物线2331
424
y x x =
-+上对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作PA 垂直x 轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形PAOB ．若1AP =，求矩形PAOB 的面积．
答案：PA x ⊥轴，1AP =，∴点P
当1y =时，
2331
1424
x x -+=，即2210x x --=．
解得1211x x ==．
抛物线的对称轴为1x =，点P 在对称轴的右侧，
1x ∴=+
∴矩形PAOB 的面积为(1个平方单位．
第46题. （2006 山西非课改）二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象如图所示．
有下列结论：①2
40b ac -<；②0ab >；③0a b c -+=；④40a b +=；⑤当2y =时，x 只能等于0．其
中正确的是（ ）
Ａ．①④ Ｂ．③④ Ｃ．②⑤ Ｄ．③⑤
答案：Ｂ
第47题. （2006 威海非课改）抛物线2
=y ax bx c ++(0)a ≠过点(1
3)(33)(15)A B C ---，，，，，，顶点为M 点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90˚． 若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标． （3）试判断抛物线上是否存在一点K ，使∠OMK ＝90˚， 说明理由．
答案：解：（1）根据题意，得
33935a b c a b c a b c -=++⎧⎪
-=++⎨⎪=-+⎩，
，．
解，得 140a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，，．
∴ 抛物线的解析式为24y x x =-． （2）抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90˚．
x =2242=--=-a b ，44
16442-=-=-=a b ac y .
∴ 顶点M 的坐标为(24)-，
． 设抛物线上存在一点P ，满足OP ⊥OM ，其坐标为2(4)a a a -，． 过P 点作PE ⊥y 轴，垂足为E ；过M 点作MF ⊥y 轴，垂足为F ． 则 ∠POE ＋∠MOF ＝90˚，∠POE ＋∠EPO ＝90˚． ∴ ∠EPO ＝∠FOM ．
∵ ∠OEP ＝∠MFO ＝90˚， ∴ Rt △OEP ∽Rt △MFO ． ∴ OE ∶MF=EP ∶OF ． 即2(4)24a a a -=::． 解，得10a =（舍去），29
2
a =． ∴ P 点的坐标为9924⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
（3）过顶点M 作MN ⊥OM ，交y 轴于点N ．则 ∠FMN ＋∠OMF ＝90˚． ∵ ∠MOF ＋∠OMF ＝90˚， ∴ ∠MOF ＝∠FMN ．
又∵ ∠OFM ＝∠MFN ＝90˚， ∴ △OFM ∽△MFN ．
∴ OF ∶MF ＝MF ∶FN ． 即 4∶2＝2∶FN ．∴ FN ＝1． ∴ 点N 的坐标为（0，-5）． 设过点M ，N 的直线的解析式为y kx b =+．
425k b b -=+⎧⎨-=⎩， 解，得1
25k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
，．
直线的解析式为521
-=x y ．
∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-=②
①，.452
12x x y x y 把①代入②，得 052
9
2=+-x x ．
2
981145200244⎛⎫
∆=--⨯=-=> ⎪⎝⎭
．
∴ 直线MN 与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M ）．
∴ 抛物线上必存在一点K ，使∠OMK ＝90˚．
第48题. （2006 资阳课改）已知函数222y x x =--的图象如图3所示，根据其中提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） Ａ．13x -≤≤ Ｂ．31x -≤≤ Ｃ．3x -≥ Ｄ．1x -≤或3x ≥ 答案：Ｄ
第49题. （2006 安徽非课改）请你写出一个b 的值，使得函数
22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是
．
答案：答案不唯一，如0；1；2等
第50题. （2006 南充课改）二次函数2
y ax bx c =++中，2
b a
c =，且0x =时4y =-，则（ ）
A ．4y =-最大
B ．4y =-最小
C ．3y =-最大
D ．3y =-最小
答案：C
第51题. (2006 徐州非课改)下表给出了代数式2
x bx c ++与x 的一些对应值：
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设2
y x bx c =++，则当x 取何值时，0y >？
（3）请说明经过怎样平移函数2
y x bx c =++的图象得到函数2
y x =的图象．
答案：（1）0，0；
（2）当1x <或3x >时，0y >．（写出1x <或3x >中的一个得1分）
（用1x <和3x >中的特殊值说明得1分，只用1x <或3x >中的特殊值说明不得分） （3）由（1）得243y x x =-+，即2(2)1y x =--，
将抛物线243y x x =-+先向左平移2个单位（1分），再向上平移1个单位（1分）即得抛物线2y x =． （配方正确，并说明将抛物线243y x x =-+的顶点移到原点得2分；不配方，但说明将抛物线
243y x x =-+的顶点(21)-，
移到原点得2分；不配方，只说明将抛物线的顶点移到原点不得分）
第52题. （2006 龙岩三县非课改）已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：Ｄ
第53题. （2006 岳阳课改）小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：
①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（ ） Ａ．2 Ｂ．3
Ｃ．4
Ｄ．5
答案：Ｃ。