高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式名师导航学案

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高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式名师导航学案
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3.1 不等关系与不等式
知识梳理
1.比较两实数大小的理论依据
a-b＞0a＞b;a-b=0a=b;a-b＜0a＜b.
2.不等式的性质
(1)对称性:a＞b b＜a.
(2)传递性:a＞b,b＞c a＞c.
(3)加法法则:a＞b a+c＞b+c.
推论1:a+b＞c a＞c-b;
推论2:a＞b,c＞d a+c＞b+d.
(4)乘法法则:a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bc.
推论1:a＞b＞0,c＞d＞0ac＞bd;
推论2:a＞b,ab＞0;
推论3:a＞b＞0a n＞b n(n∈N
,n＞1).
+
,n＞1).
(5)开方法则:a＞b＞0(n∈N
+
知识导学
两个实数比较大小和他们的差之间的关系是不等式性质的基础,也是两个实数比较大小的根据.不等式的性质是本章的理论基础,要求准确理解,否则会成为百错之源.通过对性质的证明,认真体会逻辑推理的严谨性.要善于用简洁精确的数学符号语言表达和推证数学结论,理清知识之间的逻辑因果关系.
疑难突破
1.作差法和作商法的适用范围.
剖析:作差法和作商法是比较实数大小或证明不等式的重要方法.
一般的实数大小的比较都可以采用作差法,但是要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解、配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系.
作商法主要使用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要使用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较.例如,比较a a b b与
大小就可以使用作商法.
在解决这些问题的时候,要根据题目的具体结构特点,选择其中一种合适的方法.如是和差的形式一般用作差法,乘除的形式一般用作商法.
2.证明或比较实数大小的方法及注意事项.
剖析:证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法.
实数比较大小,可采用作差或者作商法说明不等式两边的数或者式子的大小,从而得出结论.这里需要注意的是,使用作商法之前必须判断要证式子两边为正,才能进行下去.
在证明不等式时还可以利用已经证明的结论,或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小得出结论.需要注意的是,有些结论的递推是双向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的对称性就是双向的,而传递性就是单向的.在不等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符号.
有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明,它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.
要注意不等式与函数的结合,函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具,尤其是函数的单调性.如:a＞b
a3＞b3,可根据幂函数y=x3在R上是单调递增得到.。