【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件：1-4 转化与化归思想
江苏省2015年高考文科数学复习课件 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心
题型三
函数、方程、不等式之间的转化
所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．
a 所以函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(2－a)＝ (2－a)2，最大 6 1 a 2 － ， a 值为 max{f(1)，f(2)}＝max . 3 6 3
题型二
传统知识与向量间的转化
破题切入点
根据题目中的条件， 结合向量的有关运算， 取 F2P 的 → → → → 中点 M，可以得到OM⊥F2P，从而得到F1P⊥PF2，再结 合双曲线的定义即可得到 a 与 c 的关系， 从而求出双曲线 的离心率.
题型二
传统知识与向量间的转化
→ → → 则OP＋OF2＝2OM. → → → → 又由已知得OM· F2P＝0，∴OM⊥F2P. → → 又 OM 为△F2F1P 的中位线，∴F1P⊥PF2. → → → → 在△PF1F2 中，2a＝|PF1|－|PF2|＝( 3－1)|PF2|，2c＝2|PF2|. 2 ∴ e＝ ＝ 3＋1.转化
例2
x 2 y2 设 F1，F2 分别是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左，右焦 a b
→ → → 点，若双曲线右支上存在一点 P，使(OP＋OF2)· F2P＝0，O 为 → → 坐标原点， 且|PF1|＝ 3|PF2|， 则该双曲线的离心率为________．
{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
破题切入点
A∩B≠∅，所以A是方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实数解组成 的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负 根和一零根； (3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可 以从问题的反面考虑，采取 “ 正难则反 ” 的解题策略，即先由 Δ≥0，求出全集U，然后求①的两根均为非负时m的取值范围， 最后利用“补集思想”求解．
2015届高考数学(文科,通用)二轮专题复习配套课件 专题八 第4讲
1.转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象. (2)化归到何处去，即化归目标. (3)如何进行化归，即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一 种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决， 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成 功的思维方式.常见的转化方法有：
专题八 数学思想方法
第 4讲 转化与化归思想
思想方法概述 热点分类突破 真题与押题
思想方法概述
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得 到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容 易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题．
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或 使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问 题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与 空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.
答案 0
热点二 函数、方程、不等式之间的转化
例 2 (1)定义运算：(a b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于 x
的不等式(a b)⊗x<0 的解集为{x|1<x<2}，则关于 x 的
不等式(b a)⊗x<0 的解集为( )
A.(1,2)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.－23，1
D.－∞，－23∪(1，＋∞)
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价 命题，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化， 并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变 为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题是转化方法的一个重要途径.
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅．【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，a －，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。
(精品)【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件：2-1-1集合与常用逻辑用语
基
②空集和集合 A 本身都是集合 A 的子集．
础
记
忆
③遇到条件 A⊆B 时，注意分类讨论，不要忽略掉研究 A＝∅
提
能
时的情况．
专 训
④求解集合问题时一定要注意集合所表示的含义．
热 点 盘 点
[二轮备考讲义] 第二部分 专题一 第1讲 第27页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
[回访名题]
基
(1)(2014·新疆二次检测)设全集 U＝R，A＝{x|x2－9<0}，B＝
热 点
该类小题在平时训练时要达到 1 分钟内准确无误的解决.
盘
点
[二轮备考讲义] 第二部分 专题一 第1讲 第6页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
基 础 记 忆
基础记忆 试做真题
提 能
专
基础要记牢,真题须做熟
训
热 点 盘 点
[二轮备考讲义] 第二部分 专题一 第1讲 第7页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
点
[二轮备考讲义] 第二部分 专题一 第1讲 第19页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（文）
q 是假命题，所以(綈 p)∧(綈 q)是假命题，所以 C 错误；选项 D
基 础 记 忆
中，p∨(綈 q)是假命题，所以 D 错误．故选 A.
提 能
专
训
热 点 盘 点
[二轮备考讲义] 第二部分 专题一 第1讲 第20页
提
到以下技巧：
能
专
①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
训
热 点
②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
盘
点
③若已知的集合是抽象集合或整数集，用 Venn 图求解．
【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件：专题1 第4讲 转化与化归思想
第四讲 转化与化归思想
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1．转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用 某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种
数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将
难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通 过变换转化为已解决的问题．
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角度四
[例 4]
主与次的转化
已知函数 g(x)＝3x2－ax＋3a－5 对满足
－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)<0，则实数 x 的取 值范围为________．
[思维流程]
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[解析] 令 φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1. 对－1≤a≤1，恒有 g(x)<0，即 φ(a)<0， φ1<0， 3x2－x－2<0， 2 ∴ 即 2 解得－3<x<1. φ－1<0， 3x ＋x－8<0， 2 故当 x∈－3，1 时，对满足－1≤a≤1 的一切 a 的值， 都有 g(x)<0. 2 [答案] －3，1
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因为 h(3)＝ln
1 3 1 3－2＝lne· >ln ＝－1，h(4)＝ln e e
4－3＝
1 4 1 · lne e2<ln e ＝－1，且函数
h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所
以满足条件的最大整数 m 的值为 3. 答案：3
解析： g′(x)＝ 3x2＋(m＋ 4)x－2，若 g(x)在区间 (t,3)上总为单调函数，则① g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立． 2 2 2 由①得 3x ＋(m＋4)x－2≥0， 即 m＋4≥x－3x 当 x∈(t,3)时恒成立， ∴m＋4≥ t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1， 即 m≥－5； 2 2 37 由②得 m＋4≤x－3x 当 x∈(t,3)时恒成立，则 m＋4≤ －9，即 m≤－ . 3 3 37 ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－ <m<－5. 3 37 答案：－ 3 ，－5
高考数学(文科,人教)二轮专题整合突破复习课件：专题9第4讲化归思想课件(共49张PPT)
第4讲化归思想mm O以琴人的高考第亀研冗，准确括列存考方向O 1NGTI D1AOYAN M1NCX1 KAQXIA.NG真题试做jZHENTI SHIZUO1.（2013 •江西，文6）下列选项中，使不等式x<-<x2成立的兀的取值范围是(A )A.(-°°<1)解析:原不等式等价礼2咒;汽①或L% < 0,> 1 > %3,XB.(-l,0) C・(0,l) D.(l,+ oo)①无解，解②得1 •故选A.2.(2013 •辽宁，文8)执行如图所示的程序框图，若输入斤二&则输出s=( A )I yz/ 输A H /S=O9 i=2否/输出s/i=i+2A4D罟111/1 111111 1\ 2 \1 335577 97 499故选A.3.（2013 •山东，文 ⑵设正实数®忆满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当三取得xy最小值时.x+2y-z 的最大值为（C ）91111解析:当*8时,输出的S 二0+丙+丙+丙+茁1 1x3 + 1 3^5+1 5x7 + 1 9A.OB.-C.28解析:由 x 2-3xy+4y 2-z=0 得2“ 2。
八宀妒 2*2・伊x +4y -3xy=z,— = --------------------- _宀 -------y yxy当且仅当x 2=4y 2即x=2y 时，三有最小值1,xy将x=2y 代入原式得z=2y 2, 所以 x+2y-z=2y+2y-2y 2=-2y 2+4y, 当y 二1时有最犬值2•故选C ・i.3>^_Z_.3=^.3=l, xy xy xy4.(2013 -福建，文22)已知函数»=x-l+4(t/GR,e为自然对数的底⑴若曲线y=f(x)在点(1*1))处的切线平行于x轴，求u的值；(2)求函数几x)的极值；(3)当*1时,若直线l:y=kx-\与曲线没有公共点，求k的最大值.解法一：⑴由/(兀)=x-1 +缶得f(x)= 1吕，又曲线y=f(X)在点(1*1))处的切线平行于X轴，得f(l) = O,即1上=0,解得a=e.(2)f(x)=l 吕，①当a<0时f(x)>Of(x)为(・x，+8)上的增函数，所以函数/(x)无极值.②当6/>0 时，令/(x)=0,得e x=a^=ln a.xG (-oojn a)f(x)vO;xG (In u,+oo)/r(x)>0,所以TOO在(-°°Jn a)上单调递减，在(In a，+°°)上单调递增，故斤无)在x=\n a处取得极小值，且极小值为f(\n a)=\n a,无极大值.综上，当a<0时，函数/(兀)无极值;当t/>0时/(兀)在x=\n a处取得极小值In%无极大值.1(3)当a=l时^x)=x-l+-.1令gW =f(x)-(kx-1)=(1-k)x+-,则直线l:y=kx-l与曲线y=f(x)＞殳有公共点，等价于方程g(x)二0 在R上没有实数解.假设Q1,此时g(O)=l＞O,g(占) = l+±vO,又函数gd)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)二0在R 上至少有一解，与“方程g(x)=O在R上没有实数解”矛盾，故ML1又£二1时,g(x)二三＞0,知方程g(x)二0在R上没有实数解.所以£的最犬值为1.解法二:⑴⑵同解法一.1(3)当a~\时f(x)=x-l+—.直线l:y=kx-l与曲线y=f(x)没有公共点,等价于关于x的方程1 1kx-1 =x-l +—在R上没有实数解，即关于X的方程:伙・1)无二一(*)e x e x在R上没有实数解.①当k=l时，方程(*)可化为右=0,在R上没有实数解.②当31时，方程(*)化为-^-=xe\令g(x)=x e',则有g\x)=(l+x)e x.令g'(x)=O,得x=・l,当x变化时,g(x)，g(x)的变化情况如下表:1当x--\时，g(x)min二■-，同时当x趋于+°°时，g(x)趋于+ °°,1从而g(x)的取值范围为・-,+-e1所以当厂7丘K-1(l-e,l).综上①②，得鸟的最大值为1.考向分析I jJCAOXIANG FENXI 高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.DEDIAN JUJIAO GUIN A TUOZHAN热点一等与不等的转化问题【例1】若夬劝是定义在R 上的函数，对任意实数 心+3)今＞)+3和沧+2)可＞)+2,且川)=1，则企014)= 热点例析. _____都有 2014解析:•・V(x+1)幼＞+3)-2 幼＞)+3-2=Ax)+1, 沧+1)幼＞+4)-3 幼＞+2)+2-3沁)+4-3g)+l,•g) +1 勿x+1 )*) +1..-.＞+l)=Ax)+l.・•・数列S")｝为等差数列.:寸Q 014)=/(l)+2 013x 1=2 014.规律方法本题恰当运用了题设函数的性质推得+ 1 </(%+ 1)</(%)+ 1, 即心+1)才>)+1,从而实现了由“不等嵋“等啲转化•在不等式中存在着相等的可能;反之，相等关系也必然是不等关系的临界情况•这也正是我们利用不等条件求值和利用相等条件求范围的出发点.》拓展训练1 "的取值范围.若a.b是正数，且满足ab=a+b+3.求解法一:（看成函数的值域）•・・“w+b+3,・・・"書・而Z?>0, •即4>1 或6/<-3.又4>0, • • 6/> 1.故a- 1 >0. •••必二“ •兰—9)2+5(7+4 a-14 =(6/-l)+—+5>9. a-1当且仅当a-l=—，即a=3时取等号.d-1：.ab的取值范围是［9,+oo）.解法二:（看成不等式的解集）•：ci、b为正数，.9.a+b>2y[ab.又ab=a+b+3, ab>2y[ab+3,即解得V O F>3或VaF<-l（舍去）,ab>9.ab的取值范围是[9，+°°）・解法三:若设db二氏则a+b=t-3,J.a.b可看成方程7■(九3)x+=0的两个正根.(A = (t-3)2-4t > 0, 从而有j a + b = t-3 > 0,I ab = t > 0,(t< l^t>9, 即t > 3,(t > 0.解得空9,即ab>9.•••肪的取值范围是［99+oo).热点二常量与变量的转化问题【例2】设冗0是定义在R上的单调增函数，若和“/）勺2⑷对任意uG[-l,l]恒成立，求兀的取值范围.9 解:因为介劝是R 上的增函数，所以 1 -ax-x 2<2-a,a G [-1,1 ].(*) 方法一:(*)式可化为6/(1-X )<X 2+1.①y2 I 1⑴当1讥>0时，①式变为* —・(1 <对任意t/G[-l,l]恒成立，只要｛— “(1-x > 0,所以0仝< 1或x<-\.11⑵当l-X<0时，①式变为6/>—1-x < 0,x 2+l -1 > —对任意d 丘卜1,1 ]恒成立，只要 所以x>\.1-x9⑶当1讥二0,①式显然成立.综上所述，实数x的取值范围是x<-l或x>0.方法二:(*)式可化为：6/(X-1)+X2+1>0,对6/^卜1」]恒成立・令g(cT)-(x-\}a+x +1.则当且仅当04)= %[x + 2 > °，解之得丘()或兀°1即实数兀I ^(l) = %2+x>0,的取值范围是%<-1或x>Q.规律方法通过以上两种方法的比较可以看出，若按常规方法求解，问题较麻烦;若将变量与参数变更关系皿为主元，转换思考的角度，使解答变得容易•这种处理问题的思想即为转化与化归的思想.热点三换元转化问题【例3］求函数f(x)=2-4asin x-cos lx的最大值和最小值.解- 2-4t/ sin x-(l-2 sin2x)二2sirTx・4dsin x+1=2(sin A:-6/)2+1-2U2.如图所示，设sin无二：则・1口<1，并且y=g(t)=2(t-a)2 + l-2t/2. 当a<-\时，如图，有y 最大二g(l)=3・4a，y 最小二g(・l)=3+4a;当-1<6/<1 时，有y 最小二g(d)二l・2a[ y最大为g(・l)和g(l)中的较大者，即y <k=3-4u(-l<u<0),或y 最大二3+4a(0Kl);当a>l时，有y最大=g(・l)二3+4a,y最小=g(l)=3-4“・规律方法本例考查的最值问题通过换元，将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意:①换元后所得f的函数的定义域为卜②应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间卜1,1］的位置，才能确定其最值.拓展训练2 设a，bWR，/+2庆二6,则a+b的最小值是（c ）A.-2V2B.-7C.-3D.--乙解析：(方法一)设a+b二仁与a2+2b?=6联立，得°十严7 '消a + b = k, 去b,得3/・4肋+2心6二0.由上述关于“的一元二次方程有解，故J=(-4^)2-4X3X(2^2-6)>0.解之，得-3<k<3・:.a+b的最小值为・3•故选C.2 7 2（方法二）由a2+2b2=6.得d --- = 1,6 3由椭圆的参数方程设u=V6cos 0,Z?=V3sin 0, 则有t/+Z?=V6cos 0+V3sin 0=3sin（0+（p）, 其中tan <P=鲁=V2.V-l<sin（0+（p）<l,:.a+b的最小值为3故选C・执占［正难则反的转化_〔例4】已知三条抛物轴叢,SX寫兽围TES“中至少有一条与乂解:令尸0,pi = (4a)2-4(3-4a) < 0, 由｛力2 =(3-l)2-4d2 < 0,(力3 = (2a)2 + 8a < 0,解得/<-1,乙•••满足题意的U的取值范围规律方法本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与兀轴相交''着手，求出“的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了•一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，在排列组合中有较多这样的问题.EE 易错题型盯ICUO TIXING易错点:转化不当致错【例5】已知1 >o ，g ；2盘？5>°，试判断卩是g 的 条件.错解油题意知：/>:5X 2-4X -1C0,所以q:-5<xvl ，于是得”是g 的既不充分也不必要条件.… 1 所以1 ^*X 2+4X -5<0.件. 正解:充分不必要由5X2-4X-1>0得或兀>1，即或兀>1由 ---- >0 得x<-5或兀>1，即a:x<-5或x>\.x z+4x-5易判断p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条反思提咼上述解法的错误在于由7諾亦〉。
高考数学大二轮复习冲刺经典专题第一编讲方法第4讲转化与化归的思想练习文
高考数学大二轮复习冲刺经典专题第一编讲方法第4讲转化与化归的思想练习文「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题． 常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6答案 C解析 解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C. 解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2， ∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A. 2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B. 热点2 函数、方程、不等式间的转化例 2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝±a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a.∵当a >1时，a －1<3a ， ∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a ) a －13a<－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x(x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2＋1，1e ＋2答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x⇒x e x >kx －2，设g (x )＝xex (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e.注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎪⎨⎪⎧g 2＞h 2，g3≤h 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e2＋1，故选C. 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a答案 B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22. 故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx2， 由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a＜c ，故选B.热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.① 令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.② 结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D. 2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1≤0，f 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )。
高考数学二轮复习第4讲 转化与化归思想
第4讲转化与化归思想「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1特殊与一般的转化例1(1)(2020·全国卷Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＝215－25，则k＝()＋10A．2 B．3C．4 D．5答案 C＝2，∴数解析在等式a m＋n＝a m a n中，令m＝1，可得a n＋1＝a n a1＝2a n，∴an＋1an列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2×2n－1＝2n.∴a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋＝错误!＝错误!＝2k＋1·(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.故选10C．(2)在平行四边形ABCD中，|AB→|＝12，|AD→|＝8.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20 B．15C ．36D ．6答案 C解析 解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C ．解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C ．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析∵f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f(lg 2)＋f⎝⎛⎭⎪⎫lg12＝2，故选A．2．(2020·山东省泰安市高三四模)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1|AF|＋1|BF|＝________.答案2 1解析由p2＝1，得p＝2，当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以1|AF|＋1|BF|＝12＋12＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF||BF|＝错误!＝错误!＝错误!＝1.热点2函数、方程、不等式间的转化例2(1)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)答案 D解析∵f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，∴f′(x)＝3ax2＋(1－a)．若0<a≤1，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，此时方程f[f(x)]＝b不可能有9个不等实根，故a>1.令f′(x)＝0，得x＝±a－13a ，不妨令x1＝－a－13a，x2＝a－13a.∵当a>1时，a－1<3a，∴－1<x1<0，0<x2<1.f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x)＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又函数f(x)过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f(x)的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a )a －13a<－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D ．(2)(多选)(2020·山东省聊城市高三模拟)若实数a ≥2，则下列不等式中一定成立的是( )A ．(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1B ．log a (a ＋1)<log (a ＋1)(a ＋2)C ．log a (a ＋1)<a ＋1aD ．log (a ＋1)(a ＋2)<a ＋2a ＋1答案 AD解析 令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，可得函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∵实数a ≥2，∴a ＋1>e ，∴错误!>错误!，∴(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1，log (a ＋1)(a ＋2)<a ＋2a ＋1，可得A ，D 正确．∵错误!与错误!的大小关系不确定，∴C 不正确．对于B ，令g (x )＝log x (x ＋1)(x ≥2)，则g ′(x )＝错误!<0，∴函数g (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)(a ＋2)，B 不正确．综上可得，只有A ，D 正确．函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e2B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e4＋12，1e3＋23C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e3＋23，1e2＋1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2＋1，1e ＋2 答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒x ex >kx －2，设g (x )＝xex (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xex(x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：错误!⇒错误!⇒错误!＋23≤k ＜1e2＋1，故选C ．2．(2020·山东省临沂市高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x3＋3x2＋2，x≥0，－x2ex ，x<0，若方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案 {a |－6<a ≤－2或a ＝4e －2}解析 当x ≥0时，f (x )＝－x 3＋3x 2＋2，故f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，故函数在[0,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，f (0)＝2，f (2)＝6；当x <0时，f (x )＝－x 2e x ，故f ′(x )＝－x e x (x ＋2)，故函数在(－∞，－2)上单调递减，在[－2,0)上单调递增，f (－2)＝－4e －2.画出函数图象，如图所示：f (x )＋a ＝0，即f (x )＝－a ，根据图象知，2≤－a <6或－a ＝－4e －2，解得－6<a ≤－2或a ＝4e －2.热点3 正难则反的转化例3 (1)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2) 答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C ．(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.答案16 23解析 因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立， 则错误!解得错误!所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径．在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1.由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B ．(2)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________.答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABMI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1. (2020·山东省聊城市高三一模)点M，N分别为三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC，BB1的中点，设△A1MN的面积为S1，平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面面积为S，五棱锥A1－CC1B1NM的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，则V1V＝________，S1S＝________.答案7123 5解析如图所示，延长NM交C1C的延长线于点P，连接P A1交AC于点Q，连接QM.平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面为四边形A1NMQ.∵BB1∥CC1，M为BC的中点，则△PCM≌△NBM.∴点M为PN的中点．∴△A1MN的面积S1＝12S△A 1NP ，∵QC ∥A 1C 1，PC PC1＝13＝PQ PA1， ∴△A 1QM 的面积＝23S △A 1PM ，∴S1S ＝35.∵△BMN 的面积＝18S 四边形CC 1B 1B ，∴五棱锥A 1－CC 1B 1NM 的体积为V 1＝78V 四棱锥A 1－CC 1B 1B ，连接A 1B ，则三棱锥A 1－ABC 的体积＝13V ，∴V1V ＝78×⎝ ⎛⎭⎪⎫V －13V V ＝712. 2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是棱B 1C 1的中点，AB ＝AC ＝2，BC ＝BB 1＝2.(1)求证：AC 1∥平面A 1BD ；(2)求点D 到平面ABC 1的距离．解 (1)证明：如图，连接AB 1，交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点，连接OD ，又D 是B 1C 1的中点， ∴OD ∥AC 1，∵OD ⊂平面A 1BD ，AC 1⊄平面A 1BD ，∴AC 1∥平面A 1BD ．(2)由已知，AB ＝AC ，取BC 的中点H ，则BC ⊥AH ， ∵BB 1⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AH ，∵BC ∩BB 1＝B ，∴AH ⊥平面BCC 1B 1.又AB ＝AC ＝2，BC ＝2，∴AH ＝1，∵BB 1⊥C 1D ，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1， ∴V D －ABC 1＝VA －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13. ∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h ＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.。
2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件8.4化归与转化思想
Z 主 干考点 梳 理
栏 目 链 接
Z 主 干考点 梳 理
考点1 化归与转化的思想方法
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解 较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过 程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问
栏 目 链 接
题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的
问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目 的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想 方法”．
1 2 解析 ∵f(x)＝－2x ＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数， ∴f′(x)＝－x＋ b ＜0 在(－1，＋∞)上恒成立，即 b＜x(x x＋2
2
＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设 g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1) －1 在(－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞－1，∴当 b≤－1 时， 1 2 b＜x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，即 f(x)＝－ x ＋bln(x 2 ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．
随堂讲义· 第一部分
专题八
知识复习专题
思想方法专题
第四讲 化归与转化思想
化归与转化的思想在2015年高考中必然考到，主 要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几
何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中
求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等， 总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问 题的重要思想方法．
2
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π f(x)＝cos x＋sin x，x∈0， ， 2 π 1 2 5 π 1 2 ∴ f x－ ＝－ sinx－ － ＋ ＝－ cos x＋2 4 2 2 2 π 5 ＋ ，x∈ ，π. 4 2
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【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 第2讲 数形结合思想课件 文
log21－x＋1，－1≤x<k， 高三联考)已知函数f(x)＝ 3 x －3x＋2，k≤x≤a，
若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是 ( ) A．[ 3，＋∞) C．(0， 3]
b ∴a≥ 3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2.
(2)(2014· 兰州、张掖高三联合诊断)已知x，y满足约束条件 x≥0， 3x＋4y≥4， y≥0，
16 答案：25
则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，
x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．
在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那 么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．
(1)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的 特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以 避免繁琐的运算，获得简捷地解答． (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常 联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、 最低点的纵坐标．
解析：由定义可知，
2x－1x，x≤0， f(x)＝ －x－1x，x>0.
作出函数f(x)的图象，如图所示． 由图象可知， 1 当0<m< 4 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3. 不妨设x1<x2<x3， 1 易知x2>0，且x2＋x3＝2× ＝1， 2
[回访名题] 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝
高中总复习二轮文科数学精品课件 第1部分 思想方法研析指导 四、转化与化归思想
所以当
1
φ'(x)=2-
1
0<x< 时,φ'(x)<0;当
2
所以 φ(x)在区间
所以 φ(x)≥φ
1
2
1
0, 2
=
2-1
.
1
x> 时,φ'(x)>0.
2
上单调递减,在区间
1
=1-ln2=1+ln
1
,
+∞
2
上单调递增,
2>0.所以,当 x>0 时,不等式 f(x)>g(x)恒成立.
1
h'(x)=1
=
-1
(x>0).
所以,当0<x<1时,h'(x)<0;
当x>1时,h'(x)>0.
所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
所以当x>0时,h(x)=(x-1)-ln x≥h(1)=0.
所以,当 x>0
e +(-1)-ln
时,
>0
恒成立,即 f(x)>g(x)恒成立.
题后反思 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、
不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目
时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.
(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.
(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问
【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 转化与化归思想提能专训
提能专训(四) 转化与化归思想一、选择题1．(2014·衡水二调)3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 [答案] D [解析]3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2s－12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D.2．(2014·南昌模拟)已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e ＝( )A.53 B.13 C.23 D.12[答案] A[解析] 由题意可知，∠F 1PF 2＝90°，不妨设|PF 1|＝2，则由tan ∠PF 2F 1＝2，得|PF 2|＝1，从而|F 1F 2|＝12＋22＝5，所以离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝53.3．(2014·福建质检)若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2 D ．6[答案] C[解析] ∵y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心为(1,1)，∴直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时取等号．故选C.4．(2014·益阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ．则角C 等于( )A.π6B.π4C.π3D.5π6 [答案] A[解析] 利用正弦定理，得到a 2＋b 2－c 2＝3ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴cos C ＝32，又0<C <π，∴C ＝π6.5．(2014·泉州质检)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，且a 2，a 1，a 3成等差数列，则其前5项的和S 5＝( )A ．31B ．15C ．11D ．5 [答案] C[解析] ∵a 2，a 1，a 3成等差数列，且a 1＝1，∴a 2＋a 3＝2a 1＝2，∴a 1q ＋a 1q 2＝2，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，∴S 5＝a 1－q 51－q＝1－－51－－＝11.故选C.6．(2014·兰州、张掖联考)下列5个命题中，正确命题的个数是( ) ①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为(4,5)，则回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4；⑤曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] A[解析] ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本中心点的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；⑤正确，由定积分的几何意义可知．7．(2014·锦州模拟)数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝cos 2n π3(n ∈N *)，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013的值为( )A ．2 013B ．671C ．－671D ．－6712[答案] D[解析] 因为a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5＋a 6＝…＝a 3n ＋1＋a 3n ＋2＋a 3n ＋3＝cos 2π3＝－12，所以a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝cos 2n π3(n ∈N *)以3为周期，所以S 2 013＝671×(a 1＋a 2＋a 3)＝671×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6712，故选D.8．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，向量BC →⊥(AB →＋3AC →)，则边BC 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D ．6 [答案] C[解析] 因为BC →＝AC →－AB →，BC →与AB →＋3AC →垂直，所以BC →·(AB →＋3AC →)＝0，所以(AC →－AB →)·(AB →＋3AC →)＝0，所以AC →·AB →－AB →2＋3AC →2－3AC →·AB →＝0，即AC →·AB →＝－12，所以|AC →|·|AB→|cos A ＝－12，所以cos A ＝－14，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2－2|AB |·|AC |cos A ＝4＋1＋2×2×1×14＝6，所以|BC |＝ 6.故选C.9．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，f (3α＋π)＝165，f ⎝⎛⎭⎪⎫3β＋5π2＝－2013，其中α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.6365 [答案] D[解析] 由f (3α＋π)＝165，得4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13α＋π＋π6＝165， 即4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝165，所以cos α＝45， 又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin α＝35. 由f ⎝⎛⎭⎪⎫3β＋5π2＝－2013，得4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3β＋5π2＋π6＝－2013， 即sin(β＋π)＝－513，所以sin β＝513.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos β＝1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.10．(2014·吉林实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x－m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)[答案] D[解析] 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，作出h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x＋x ，x >0的图象，观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0时或m >1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．11．(2014·长春二次调研)设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 012)B ．(－2 012,0)C ．(－∞，－2 016)D ．(－2 016,0) [答案] C[解析] 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0，得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，即[x 2f (x )]′<x 3<0，令F (x )＝x 2f (x )，则当x <0时，F ′(x )<0，即F (x )在(－∞，0)上是减函数．因为F (x ＋2 014)＝(2 014＋x )2·f (x ＋2 014)，F (－2)＝4f (－2)，所以原不等式即为F (2 014＋x )－F (－2)>0.因为F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以由F (2 014＋x )>F (－2)，得2 014＋x <－2，即x <－2 016，故选C.12．(2014·杭州二检)在△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5cos 2C2＝4，则tan C 的最大值为( ) A ．－34 B ．－43 C ．－24 D ．－2 2[答案] B[解析] 由已知3cos 2A －B2＋5cos 2C2＝4，得3·1＋A －B2＋5·1＋cos C 2＝4，则3cos(A －B )＋5cos C ＝0.3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，化简得，cos A cos B ＝4sin A sin B ，则tan A tan B ＝14，由此可知，tan A >0，tan B >0. 又tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－43(tan A ＋tan B )≤－43，其中tan A ＋tan B ≥2tan A tan B ＝1， 因此tan C 的最大值为－43，故选B.二、填空题13．(2014·大连模拟)设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c cos B －b cos C ＝35a ，则tan Btan C＝________. [答案] 14[解析] 由正弦定理，得sin C cos B －sin B cos C ＝35sin A ，sin C cos B －sin B cos C ＝35sin(B ＋C )，展开右边并整理，得2sin C cos B ＝8sin B cos C ，所以tan B tan C ＝14.14．(2014·苏州调研)在直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．[答案] 2[解析] 设P (x ，y )，又A (－1,0)，B (0,1)则|PA |2－|PB |2＝(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，化简得x ＋y －2＝0.问题可转化为直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点问题．由圆心(0,0)到直线的距离，得d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，故交点个数为2. 15．(2014·长春调研)已知数列{a n }(n ＝1,2,3，…，2 012)，圆C 1：x 2＋y 2－4x －4y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2a n x －2a 2 013－n y ＝0，若圆C 2平分圆C 1的周长，则{a n }的所有项的和为________．[答案] 4 024[解析] 设圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为：x 2＋y 2－4x －4y －(x 2＋y 2－2a n x －2a 2 013－n y )＝0，化简得，(a n －2)x ＋(a 2 013－n －2)y ＝0.又圆C 2平分圆C 1的周长，则直线AB 过C 1(2,2)，将C 1(2,2)代入AB 的方程得：a n ＋a 2 013－n＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2 012)＋(a 2＋a 2 011)＋…＋(a 1 006＋a 1 007)＝1 006×4＝4 024.16．(2014·宁德质检)若实数x ，y 满足1＋cos 2πx ＝x ＋2y 2＋1x ＋2y，则x 2＋(y ＋1)2的最小值为________．[答案] 2[解析] ∵1≤1＋cos 2πx ≤2，∴x ＋2y ＞0，又x ＋2y 2＋1x ＋2y ＝x ＋2y ＋1x ＋2y≥2x ＋2y1x ＋2y＝2(当且仅当x ＋2y ＝1时取等号)， ∴1＋cos 2πx ＝x ＋2y 2＋1x ＋2y＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2πx ＝1，x ＋2y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧πx ＝k π，k ∈Z ，x ＋2y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝1－k 2(k ∈Z )，∴x 2＋(y ＋1)2＝k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3－k 22＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫k －352＋95，∵k ∈Z ，∴x 2＋(y ＋1)2≥54×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋95＝2，故x 2＋(y ＋1)2的最小值为2.三、解答题17．(2014·南充一诊)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n －5a n －85. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 56 1－a 118＋log 56 1－a 218＋…＋log 561－a n18，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝n －5a n －85，① 可得a 1＝S 1＝1－5a 1－85，a 1＝－14， 同时S n ＋1＝(n ＋1)－5a n ＋1－85.②②－①，可得a n ＋1＝1－5(a n ＋1－a n )，a n ＋1－1＝56(a n －1)．从而{a n －1}为等比数列，首项a 1－1＝－15，公比为56.故a n －1＝－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1，a n ＝1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1.(2)由(1)知，1－a n 18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56n，log 56 1－a n 18＝log 56 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56n＝n ，故b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2，1b n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 故T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 18．(2014·湖北八市联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM ⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且PM →＝2NM →.(1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)若A (2,1)，B (3,0)，过B 的直线与曲线C 相交于D ，E 两点，则k AD ＋k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：(1)设N (x ，y )，P (x 0，y 0)，则M (x 0,0)，PM →＝(0，－y 0)，NM →＝(x 0－x ，－y )， 由PM →＝2NM →，得⎩⎨⎧0＝2x 0－x ，－y 0＝－2y ，∴⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝2y .由于点P 在⊙O ：x 2＋y 2＝6上，则有x 2＋(2y )2＝6，即x 26＋y 23＝1.∴点N 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，过点B 的直线DE 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 26＋y23＝1消去y ，得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0，其中Δ＞0，∴x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，∴k AD ＋k AE ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝kx 1－k ＋x 1－2＋kx 2－k ＋x 2－2＝2kx 1x 2－k ＋x 1＋x 2＋12k ＋4x 1x 2－x 1＋x 2＋4＝2k ·18k 2－62k 2＋1－k ＋12k 22k 2＋1＋12k ＋418k 2－62k 2＋1－2·12k22k 2＋1＋4 ＝－4k 2＋42k 2－2＝－2， ∴k AD ＋k AE 是定值－2.。
高三数学二轮专题突破 专题七 第4讲转化与化归思想
第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解． 2． 常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 3． 转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.类型一 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB.12aC ．4aD.4a(2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 (1)C (2)992解析 (1)由x 2＝1a y (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则|PF |＝|FQ |＝12a ，即1p ＋1q＝4a . (2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， ∵f (x )＋f (1－x )＝a xa x ＋a ＋a 1－xa 1－x ＋a ＝a xa x ＋a ＋aa ＋a xa ＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x ＝a ＋a xa x ＋a＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100 ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫99100＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2100＋f ⎝⎛⎭⎫98100＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫49100＋f ⎝⎛⎭⎫51100＋f ⎝⎛⎭⎫50100＝1×49＋12＝992. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________.(2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 (1)45(2)0解析 (1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算． 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形， 且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45×0＝45.(2)因为xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )， 所以f (x ＋1)f (x )＝1＋x x ，使f (x )特殊化，可设f (x )＝xg (x )，其中g (x )是周期为1的奇函数，再将g (x )特殊化， 可设g (x )＝sin 2πx ，则f (x )＝x sin 2πx ， 经验证f (x )＝x sin 2πx 满足题意，则f ⎝⎛⎭⎫52＝0. 类型二 相等与不等的转化例2 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得 a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效．定义运算：(ab )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(ab )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 答案 D解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，∴(－31)x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.类型三 常量与变量的转化例3 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．本题若按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p 为主元，即可将原问题化归为在区间[0,4]上，一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0成立的x 的取值范围．这样，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x 的取值范围． 解 ∵f (x )在R 上是增函数， ∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]． ∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.类型四 正与反的相互转化例4 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 －373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围． 解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.1． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10等于( )A.49B.47C.463D.563答案 C解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得1S n －1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)， ∴S n ＝211－2n ，∴a 10＝S 10－S 9＝463.2． 方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 取得最大值( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2答案 A解析 由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝⎛⎭⎫t ＋122， ∴m ＝54－⎝⎛⎭⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数， ∴t ＝0时，m 的最大值为1.3． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A.4． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案1316解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.5． 已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是______________________________________________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－43，7 解析 g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎡⎭⎫－43，7. 故所求的a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－43，7. 6． 已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．解 因为f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得 f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1， 不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立．∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，且m >4－2 2.。
【最高考】2015届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第21讲 转化与化归思想
第21讲 转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式．应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等．分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等．1. 已知正实数x 、y 满足1x ＋1y＝1，则x ＋y 的取值X 围是________．答案：[4，＋∞)解析：1x ＋1y ＝1得x ＋y ＝xy ，由基本不等式得xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即x ＋y≥4.2. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，则实数a 的最小值为________．答案：－52解析：∵ x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，∴ a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，而y ＝－x －1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调增，y max ＝－52，故a min ＝－52.3. 已知平面向量a 、b 、e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝2，|a －b |＝2，则a·b 的最小值为________.答案：54解析：如图所示，建立直角坐标系． ∵ |e |＝1，∴不妨设e ＝(1，0)． ∵a ·e ＝1，b ·e ＝2，∴可设a ＝(1，m)，b ＝(2，n)．∴a －b ＝(－1，m －n)． ∵ |a －b |＝2，∴1＋（m －n ）2＝2，化为(m －n)2＝3，∴(m ＋n)2＝3＋4mn≥0，∴ mn ≥－34，当且仅当m ＝－n ＝±32时取等号．∴a ·b ＝2＋mn≥2－34＝54.4. 已知函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值X 围是________． 答案：0＜b ＜1解析：∵ f′(x)＝3x 2－3b ＝0，x ＝±b ，显然b ＞0，∴单调区间为(－∞，－b)，(－b ，b)，(b ，＋∞)，∴ x ＝b 时取极小值，即0＜b ＜1，则0＜b ＜1.题型一 把向量问题转化为三角和不等式问题例1 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA →·PB →的最小值．解：设∠APB＝θ，0＜θ＜π，则PA →·PB →＝|PA||PB|cos θ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1tan θ22cos θ＝cos2θ2sin2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2sin2θ2，换元：令x ＝sin 2θ2，0＜x ＜1，则PA →·PB →＝（1－x ）（1－2x ）x ＝2x ＋1x －3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22∈(0，1)时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，以点(x ，y)为圆心，R ＝xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为________．答案：(x －4)2＋(y －4)2＝256解析：∵ 32＋x ＋32＋y ＝1，∴ x ＝8＋yy －1.令z ＝y －1，则y ＝z ＋1，z>0，∴ xy ＝y 2＋8y y －1＝（z ＋1）2＋8（z ＋1）z ＝z 2＋10z ＋9z ＝z ＋9z＋10≥6＋10＝16，当且仅当z ＝9z，即z ＝3时，取等号．此时y ＝4，x ＝4，半径xy ＝16. ∴圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝256. 题型二 把不等式问题转化为函数问题例2 若不等式x 2＋px>4x ＋p －3对一切0≤p≤4均成立，某某数x 的取值X 围．解：不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3对一切0≤p≤4均成立，即(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)＞0对一切0≤p≤4均成立，令f(p)＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，4（x －1）＋（x 2－4x ＋3）＞0，解得x>3或x<－1，即实数x 的取值X 围是x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．已知p 、r 、q 成等比数列，p 、r （r －1）2、q 成等差数列，当1<p<3<q<7时，则实数r 的取值X 围为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 解析：由p ，r ，q 成等比数列，p ，r （r －1）2，q 成等差数列，得pq ＝r 2，p ＋q ＝r(r －1)，由此我们联想到韦达定理，即两根之和为r （r －1）2，两根之积为r 2，所以p ，q 为方程x 2－r(r －1)x ＋r 2＝0的两根，且一根在(1，3)内，另一根在(3，7)内．记f(x)＝x 2－r(r －1)x ＋r 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）>0，f （3）<0，f （7）>0，解得3<r<72，所以实数r 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 题型三 把数列问题转化为方程问题例3 在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2) 若S 1、t (S 1＋S 2)、3(S 2＋S 3) 成等差数列，某某数t 的值．解：(1) 由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n∈N *)，得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n∈N *)，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n .(2) 由(1)得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，且S 1＋3(S 2＋S 3)＝2t(S 1＋S 2)，则13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49×2，得t ＝2.已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，数列{b n }是等比数列，b 1b 2b 3＝27. (1) 若a 1＝b 2，a 4＝b 3，求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3是正整数且成等比数列，求a 3的最大值．解：(1) 由题得a 2＝5，b 2＝3，所以a 1＝b 2＝3，从而等差数列{a n }的公差d ＝2，所以a n＝2n ＋1，从而b 3＝a 4＝9，所以b n ＝3n －1.(2) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 1＝5－d ，b 1＝3q，a 3＝5＋d ，b 3＝3q.因为a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，所以(a 1＋b 1)·(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2＝64. 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝m ，a 3＋b 3＝n ，m 、n∈N *，mn ＝64,则⎩⎪⎨⎪⎧5－d ＋3q ＝m ，5＋d ＋3q ＝n ，整理，得d 2＋(m －n)d ＋5(m ＋n)－80＝0.解得d ＝n －m ＋（m ＋n －10）2－362(舍去负根).因为a 3＝5＋d ，所以要使得a 3最大，即需要d 最大，即n －m 及(m ＋n －10)2取最大值．因为m 、n∈N *，mn ＝64,所以当且仅当n ＝64且m ＝1时，n －m 及(m ＋n －10)2取最大值.从而最大的d ＝63＋7612，所以，最大的a 3＝73＋7612.题型四 函数综合问题的转化例4已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a ＞0，b ＞0.(1) 若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求a 、b 的值；(2) 令h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，－b 3，求：①函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；②若|h(x)|≤3在x∈[－2，0]上恒成立，求a 的取值X 围．解：(1) 由f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，P(2，c)为公共切点，可得f′(x)＝2ax ，k 1＝4a ，g ′(x)＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b.又f(2)＝4a ＋1，g(2)＝8＋2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174，b ＝5.(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则h′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，－b 3，∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3时，有3x 2＋2ax ＋b≤0恒成立．此时x ＝－b 3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根， ∴ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3＋b ＝0，得a 2＝4b ，∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.又函数h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞上单调递增，若－1≤－a 2，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a －a24；若－a 2＜－1＜－a 6，即2＜a ＜6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 若－1≥－a 6时，即a≥6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.综上所述，M(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0<a ≤2，1，a>2.②由①可知h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞上单调递增，∴ h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2为极大值，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6为极小值， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝－a 354＋1. ∵ |f(x)＋g(x)|≤3在x∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）≥－3，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6≥－3，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a 2＋4a －7≥－3，－a 354＋1≥－3， 解得⎩⎨⎧4－22≤a≤4＋22，a ≤6，∴ a 的取值X 围是4－22≤a ≤6.已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋lnx (a∈R )．(1) 当a ＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若x ∈[1，3]，使f(x)<(x ＋1)lnx 成立，某某数a 的取值X 围；(3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)上恒在直线y ＝2ax 下方，某某数a 的取值X 围．解：(1) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋lnx (a∈R )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝－12x 2＋lnx ，f ′(x)＝－x ＋1x ＝1－x2x.由f′(x)＞0，结合定义域，解得0＜x ＜1，故得函数f(x)的单调递增区间为(0，1)．(2) f(x)＜(x ＋1)lnx ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＜xlnx (a∈R )，∵ x ∈[1，3]，∴ a ＜lnx x ＋12.令g(x)＝lnx x ＋12，则x ∈[1，3]，使f(x)＜(x ＋1)lnx 成立，等价于a ＜g(x)max .∵ g ′(x)＝1－lnx x2，由g′(x)＝0，结合x∈[1，3]，解得x ＝e.当1≤x＜e 时，g ′(x)≥0；当e ＜x ≤3时，g ′(x)＜0.故得g(x)max ＝g(e)＝1e ＋12，∴实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ＋12. (3) 令h(x)＝f(x)－2ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2－2ax ＋lnx ，h(x)的定义域为(0，＋∞)．函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)上恒在直线y ＝2ax 下方，等价于h(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立，即h(x)max ＜0.h ′(x)＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝（x －1）[（2a －1）x －1]x.①若a ＞12，令h′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝12a －1.当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(1，x 2)上，h ′(x)＜0，即h(x)为减函数，在(x 2，＋∞)上，h ′(x)＞0，即h(x)为增函数，故h(x)的值域为(h(x 2)，＋∞)，不合题意；当x 2≤x 1＝1，即a≥1时，同理可得在(1，＋∞)上，h ′(x)＞0，即h(x)为增函数，故h(x)的值域为(h(x 1)，＋∞)，也不合题意．②若a≤12，则有2a －1≤0，此时，在区间(1，＋∞)上，恒有h′(x)＜0，从而h(x)为减函数，h(x)max ＝h(1)＝－a －12≤0，结合a≤12，解得－12≤a ≤12.综合①②，可得实数a 的取值X 围是－12≤a ≤12.1. (2014·全国卷Ⅰ)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：由a ＝2且 (2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，即(a ＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，由正弦定理得(a ＋b)(a －b)＝(c －b)c, ∴ b 2＋c 2－a 2＝bc ，故cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴∠A ＝60°，∴ b 2＋c 2－4＝bc ，4＝b 2＋c 2－bc≥bc，∴ S △ABC ＝12bcsinA ≤ 3.2. (2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值X 围是________．答案：(－1，3)解析：因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x －1)>0f(|x －1|)>f(2)．因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x －1|<2，解得－1<x<3.3. (2014·某某卷)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值X 围为________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66解析：当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x>2a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，由f(x)＝x －3a 2，x>2a 2，得f(x)>－a 2；当a 2<x ≤2a 2时，f(x)＝－a 2；由f(x)＝－x ，0≤x ≤a 2，得f(x)≥－a 2.∴当x>0时，f(x)min ＝－a 2. ∵函数f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)max ＝a 2.∵对x ∈R ，都有f(x －1)≤f(x)，∴2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 故实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66. 4. (2014·某某卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案：1＋7解析：因为C 坐标为(3，0)且|CD|＝1，所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，所以设D 的坐标为(3＋cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，则|OA →＋OB →＋OD →|＝（3＋cos θ－1）2＋（sin θ＋3）2＝8＋2（2cos θ＋3sin θ）.因为2cos θ＋3sinθ的最大值为22＋（3）2＝7，所以|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为8＋27＝1＋7.5. (2014·某某卷)若实数x 、y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案：2 26. (2013·某某卷)设函数f(x)＝lnx －ax ，g(x)＝e x－ax ，其中a 为实数．(1) 若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值X 围；(2) 若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．(1) 解：由f′(x)＝1x －a≤0即1x ≤a 对x∈(1，＋∞)恒成立，∴ a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x max ， 而由x∈(1，＋∞)知1x<1，∴ a ≥1.由g′(x)＝e x－a ，令g′(x)＝0，则x ＝lna. 当x<lna 时g′(x)<0，当x>lna 时g′(x)>0， ∵ g(x)在(1，＋∞)上有最小值， ∴ lna>1，∴ a>e.综上所述，a 的取值X 围为(e ，＋∞)．(2) 证明：∵ g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，∴ g ′(x)＝e x －a≥0即a≤e x对x∈(－1，＋∞)恒成立，∴ a ≤[e x]min ，而当x∈(－1，＋∞)时，e x >1e ，∴ a ≤1e . 分三种情况：当a ＝0时，f ′(x)＝1x>0，∴ f(x)在x∈(0，＋∞)上为单调增函数．∵ f(1)＝0，∴ f(x)存在唯一零点．当a<0时，f ′(x)＝1x－a>0，∴ f(x)在x∈(0，＋∞)上为单调增函数．∵ f(e a )＝a －ae a ＝a(1－e a)<0且f(1)＝－a>0. ∴ f(x)存在唯一零点．当0<a≤1e 时，f ′(x)＝1x－a ，令f′(x)＝0得x ＝1a.∵当0<x<1a 时，f ′(x)＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x >0；当x>1a 时，f ′(x)＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x<0，∴ x ＝1a 为最大值点，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a·1a ＝－lna －1. ①当－lna －1＝0时，a ＝1e ，f(x)有唯一零点x ＝1a ＝e ；②当－lna －1>0时，0<a ≤1e，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a≤1e ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e －a·1e ＝－1－a e <0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a·1a ＝－lna －1>0， 且函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1a 上的图象不间断， ∴函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1a 上存在零点． 另外，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，f ′(x)＝1x －a>0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调增，∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上只有一个零点．下面考虑f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上的情况，先证f(ea －1)＝lnea －1－aea －1＝a －1lne －aea －1＝a(a－2－ea －1)<0.为此我们要证明：当x>e 时，e x >x 2，设h(x)＝e x －x 2，则h′(x)＝e x－2x ，再设l(x)＝e x －2x ，∴l′(x )＝e x－2.当x>1时，l ′(x)＝e x －2>e －2>0，l(x)＝e x－2x 在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h ′(x)＝e x －2x>h′(2)＝e 2－4>0.从而h(x)＝e x －x 2在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e 时，h(x)＝e x －x 2>h(e)＝e e－e 2>0.即当x>e 时，e x >x 2.当0<a<1e时，即a －1>e 时，f(ea －1)＝lnea －1－aea －1＝a －1lne －aea －1＝a(a －2－ea －1)<0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a·1a ＝－lna －1>0，且函数f(x)在[]a －1，ea －1上的图象不间断，∴函数f(x)在(a －1，ea －1)上存在零点．又当x>1a 时，f ′(x)＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x<0，故f(x)在(a －1，＋∞)上是单调减函数，∴函数f(x)在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综上所述，当a≤0时，f(x)的零点个数为1；当0<a≤1e 时，f(x)的零点个数为2.(本题模拟高考评分标准，满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，离心率为22.分别过O 、F 的两条弦AB 、CD 相交于点E(异于A 、C 两点)，且OE ＝EF.(1) 求椭圆的方程；(2) 求证：直线AC 、BD 的斜率之和为定值．(1) 解：由题意，得c ＝1，e ＝c a ＝22，故a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. ①(5分)(2) 证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，② 直线CD 的方程为y ＝－k(x －1)，③(7分)由①②，得点A 、B 的横坐标为±22k 2＋1， 由①③，得点C 、D 的横坐标为2k 2±2（k 2＋1）2k 2＋1，(9分) 记A(x 1, kx 1)，B(x 2, kx 2)，C(x 3, k(1－x 3))，D(x 4，k(1－x 4))， 则直线AC 、BD 的斜率之和为kx 1－k （1－x 3）x 1－x 3＋kx 2－k （1－x 4）x 2－x 4＝k·（x 1＋x 3－1）（x 2－x 4）＋（x 1－x 3）（x 2＋x 4－1）（x 1－x 3）（x 2－x 4）＝k·2（x 1x 2－x 3x 4）－（x 1＋x 2）＋（x 3＋x 4）（x 1－x 3）（x 2－x 4）(13分)＝k·2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k 2＋1－2（k 2－1）2k 2＋1－0＋4k 22k 2＋1（x 1－x 3）（x 2－x 4）＝0.(16分)1. 已知△ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3OA →＋4OB →－5OC →＝0.则∠C＝__________．答案：π4解析：3OA →＋4OB →－5OC →＝0，∴ 3OA →＋4OB →＝5OC →，∴ 9OA →2＋16OB →2＋24OA →·OB →＝25OC →2.又OA ＝OB ＝OC ，∴ OA ⊥OB ，即∠C＝π4.(注意结合图形，把问题转化)2. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数．已知对任意正整数n 、m ，当n ＞m 时，S n －S m ＝q m·S n －m 总成立．(1) 求证：数列{a n }是等比数列；(2) 若正整数n 、m 、k 成等差数列，求证：1S n ＋1S k ≥2S m.证明：(1) 因为对任意正整数n 、m ，当n ＞m 时，S n －S m ＝q m·S n －m 总成立，所以当n≥2时，S n －S n －1＝q n －1S 1，即a n ＝a 1·q n －1，且a 1也适合．又a n ＞0，故当n≥2时，a n a n －1＝q(非零常数)，即{a n }是等比数列．(2) 若q ＝1，则S n ＝na 1，S m ＝ma 1，S k ＝ka 1，所以1S n ＋1S k ＝n ＋k nka 1＝2m nka 1≥2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋k 22·a 1＝2mm 2a 1＝2ma 1＝2S m； 若q≠1，则S n ＝a 1（1－q n）1－q ，S m ＝a 1（1－q m）1－q ，S k ＝a 1（1－q k）1－q ，所以1S n ＋1S k≥21S n S k＝2（1－q ）2（1－q n ）（1－q k ）a 21. 又(1－q n)(1－q k)＝1－(q n＋q k)＋q n ＋k≤1－2q n ＋k＋q n ＋k＝1－2q m＋q 2m＝(1－q m )2，所以1S n ＋1S k ≥21S n S k ＝2（1－q ）2（1－q n ）（1－q k ）a 21≥2（1－q ）2（1－q m ）2·a 21＝2S m.综上可知，若正整数n 、m 、k 成等差数列，不等式1S n ＋1S k ≥2S m(当且仅当n ＝m ＝k 时取“＝”)总成立．3. 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2图象上一点P(1，b)的切线斜率为－3，g(x)＝x 3＋t －62x 2－(t＋1)x ＋3(t ＞0)．(1) 求a 、b 的值；(2) 当x∈[－1，4]时，求f(x)的值域；(3) 当x∈[1，4]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，某某数t 的取值X 围．解：(1) f′(x)＝3x 2＋2ax ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝－3，b ＝1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增．又f(－1)＝－4，f(0)＝0，f(x)min ＝f(2)＝－4，f(x)max ＝f(4)＝16，∴ f(x)的值域是[－4，16]．(3) 令h(x)＝f(x)－g(x)＝－t 2x 2＋(t ＋1)x －3，x ∈[1，4]．∴ 要使f(x)≤g(x)恒成立，只需h(x)≤0，即t(x 2－2x)≥2x－6.①当x∈[1，2)时，t ≤2x －6x 2－2x，解得t≤2＋3；②当x ＝2时，t ∈R ；③当x∈(2，4]时，t ≥2x －6x 2－2x ，解得t≥14.综上所述，所某某数t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2＋3.。
【金版学案】2015届高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第四讲 化归与转化思想检测试题
第四讲 化归与转化思想一、选择题 1．若集合M 是函数y ＝lg x 的定义域，N 是函数y ＝1－x 的定义域，则M∩N 等于( ) A ．(0，1] B ．(0，＋∞)C ．D ．[1，＋∞)答案：A2．在复平面内，复数11－i＋i 3对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D3．下列命题正确的是( ) A ．x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x ∈N ，x 3＞x 2C ．x ＞1是x 2＞1的充分不必要条件D ．若a ＞b ，则a 2＞b 2答案：C4．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B(如图)，要测算A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案：A5．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案：C二、填空题6．已知函数f(x)＝2x，等差数列{a x }的公差为2.若f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2 [f(a 1)f(a 2)f(a 3)…f(a 10)]＝_______________．解析：由f(x)＝2x和f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2，log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3)…f(a 10)]＝log 2f(a 1)＋log 2f(a 2)＋…＋log 2f(a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝2(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)－5×2＝－6.答案：－67．已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．解析：∵f(3x )＝4xlog 23＋233＝4log 23x＋233， ∴f(t)＝4log 2t ＋233，则f(2)＋f (4)＋f(8)＋…＋f(28)＝(4log 22＋233)＋(4log 24＋233)＋(4log 28＋233)＋…＋(4log 228＋233)＝4(1＋2＋3＋…＋8)＋8×233＝2 008.答案：2 0088．若数列{a n }满足1a n －1－1a n＝d(n∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________．解析：根据调和数列的定义知：数列{a n }为调和数列，则1a n －1－1a n＝d(n ∈N *，d 为常数)，也就是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列．现在数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，则数列{x n }为等差数列，那么由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，得x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 5＋x 16)＝200，x 5＋x 16＝20.答案：209．如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为________．解析：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段AP ，则AB ＝π，BP ＝3，AP ＝π2＋9.答案：π2＋9三、解答题10．设函数f(x)＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数．(1)已知函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f′(x)＞x 2－x －a ＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围．解析：(1)f′(x)＝ax 2－3x ＋(a ＋1)，由于函数f(x)在x ＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1.(2)解法一 由题设知：ax 2－3x ＋(a ＋1)＞x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，即a(x 2＋2)－x 2－2x ＞0对任意a∈(0，＋∞)都成立．设g(a)＝a(x 2＋2)－x 2－2x(a∈R)，则对任意x ∈R ，g(a)为单调递增函数(a∈R)，所以对任意a∈(0，＋∞)，g(a)＞0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，即－x 2－2x≥0，∴－2≤x ≤0，于是x 的取值范围是{x|－2≤x ≤0}．解法二 由题设知：ax 2－3x ＋(a ＋1)＞x 2－x －a ＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，即a(x 2＋2)－x 2－2x ＞0对任意a∈(0，＋∞)都成立．于是a ＞x 2＋2xx 2＋2对任意a∈(0，＋∞)都成立，即x 2＋2x x 2＋2≤0， ∴－2≤x≤0，于是x 的取值范围是{x|－2≤x≤0}．。
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a ∴f′(x)＝2x－x ≥0在[3,5]上恒成立． ∴a≤2x2在[3,5]上恒成立． ∵y＝2x2在[3,5]上的最小值为18，
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∴a≤18. ∴a的取值范围为(－∞，18]．
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
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[命题意图]
思 想 方 法
本题主要考查等差数列的概念及运算求解能
力、逻辑推理能力及综合运用知识解决问题的能力，考查由特 殊到一般的转化能力． [思路方法] (1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn的关系构造方程组可得
提 能 专 训
到证题的结论；(2)根据等差数列的定义，由所给出的递推关系
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(2)由(1)，得 g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋aln x＝x2＋2x＋aln x，
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
第20页
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a 故g′(x)＝2x＋2＋ (x>0)， x
思 想 方 法
若g(x)在(0,1)上单调， 只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,1)上恒成立， 即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0恒成立，
提 能 专 训
热 点 盘 点
数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有 时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归 为一般问题．
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
第15页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（文）
[回访名题]
思 想 方 法
(2014· 山西质检)定义在R上的函数f(x)的图象既关于点(1,1) 对称，又关于点(3,2)对称，则f(0)＋f(2)＋f(4)＋„＋f(14)＝ ( ) A．16 B．24 C．32 D．48
提 能 专 训
热 点 盘 点
可得a2＝λ－1.
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
第13页
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由(1)知，a3＝λ＋1.
思 想 方 法
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得，{a2n－1}是首项为1，公差为4的 等差数列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，
提 能 专 训
热 点 盘 点
答案：C
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
第16页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（文）
解析：根据一般性，可构造特殊函数求解．
思 想 方 法
易知过两点(1,1)，(3,2)的直线满足题意，故可构造函数f(x) 1 1 ＝2(x＋1)，则f(0)＋f(2)＋f(4)＋„＋f(14)＝2×(1＋3＋5＋„＋15) ＝32，故选C.
提 能 专 训
热 点 盘 点
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
第 5页
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2．转化与化归的基本类型
思 想 方 法
(1)正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原 则． (2)常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的 常量(或参数)当“主元”，其他的变量看作常量．
热 点 盘 点
(1)求函数f(x)的解析式； (2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋aln x在区间(0,1)上单调， 求实数a的取值范围； 1 (3)函数h(x)＝ln(1＋x )－2f(x)－k有几个零点？
2
[二轮备考讲义]
第一部分 第4讲
第18页
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提 能 专 训
热 点 盘 点
解析几何语言进行转化． (4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等 比数列求解．
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第一部分 第4讲
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(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值
思 想 方 法
(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式 问题求解． (6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间 进行转化.
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思 想 方 法 提 能 专 训
第四讲
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转化与化归思想
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思 想 方 法
思想方法
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归纳概括
提 能 专 训
高三冲刺,给你一颗勇敢的心
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第一部分 第4讲
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(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式
思 想 方 法
转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方 法． (3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知 识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、
提 能 专 训
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思 想 方 法
热点盘点
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细研深究
提 能 专 训
必须回访的热点名题
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具体与抽象、特殊与一般的转化
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思 想 方 法 提 能 专 训
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思 想 方 法 提 能 专 训
第一部分
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数学思想方法专题大突破
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x－1，函数F(x)＝a
提 能 专 训
(1)如果f(x)在[3,5]上是单调递增函数，求实数a的取值范
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围； fx (2)当a＝2，x>0且x≠1时，比较 与F(x)的大小． x－1
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解：(1)∵f(x)＝x2－aln x－1在[3,5]上是单调递增函数，
[思路方法]
思 想 方 法
(1)由F(x－5)＝F(5－x)可知F(x)为偶函数，故
可确定b的取值；(2)由不等式恒成立可转化为a≥－(2x2＋2x)或 a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立，故可构造函数求最值确定a的 范围；(3)结合函数单调性确定出极值，由数形结合可求得结 论．
提 能 专 训
思 想 方 法
1 (3)令y＝ln(1＋x )－2f(x)，
2
x＋1xx－1 2x 则y′＝ －x＝－ . 1＋x2 1＋x2 令y′＝0，则x＝－1,0,1，列表如下.
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x
思 想 方 法
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1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题
思 想 方 法
时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到 解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简 单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将 未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
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求出a1，a2，a3的值，利用2a2＝a1＋a3可先确定λ的取值，再回 归到一般性的证明求解中．
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[解析]
思 想 方 法
(1)证明：由题设知，
anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，
思 想 方 法
[试题调研] [例1] (2014· 全国新课标Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，
提 能 专 训
a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ；
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(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
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第一部分 第4讲
题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等． (5)相等与不等之间的转化． (6)实际问题与数学模型的转化． 3．转化与化归思想在解题中的应用
提 能 专 训
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(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与 化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到 化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、 变形用)、角度的转化、函数的转化等．
提 能 专 训
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a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
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思 想 方 法
当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观 察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然 后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解 答的过程，这就是特殊化的化归策略．