专题10几何体的体积 2018年高考数学(文)(全国1专版)Word版含解析

【母题原题1】【2018新课标1，文10】在长方体中，，与平面
所成的角为，则该长方体的体积为（）
A． 8 B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式
详解：在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
【母题原题2】【2017新课标1，文16】已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是
球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π 【解析】
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
【命题意图】
1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．
2.了解球的表面积与体积的计算公式． 【命题规律】 一、空间几何体的体积
1．柱体: V 柱体＝Sh ；V 圆柱＝πr 2
h . 2．锥体:V 锥体＝13Sh ；V 圆锥＝13πr 2h .
3．台体:V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ；V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2
)．
二、球的体积与表面积
1．球的表面积公式：S ＝4πR 2
；的体积公式V ＝43πR 3
2．与球有关的切、接问题中常见的组合：
(1)正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝3
3
a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 2
3，解得R ＝6
4
a ，r ＝612
a .
(2)正方体与球：
①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a
2
(r 为内切球半径)．
②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO |＝R ＝22
a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝
3
2
a .
(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1­AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD ­A 1B 1C
1D 1的外
图2
图1
接球的球心重合．如图3，设AA 1＝a ，则R ＝
3
2
a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2
＝a 2＋b 2＋c 24
＝l 2
4
(l 为长方体的体对角线长)． 【方法总结】1．求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积． 2．“切”“接”问题的处理规律 （1）“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． （2）“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
1．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为
A ． 64
B ．
C ．
D ． 128
【答案】B 【解析】
【分析】
本题先由三视图可以得出几何体为三棱锥，再通过小正方形数出三棱锥高和底面的底和高的长度，最后通过三棱锥体积公式计算得出结果。

【详解】
由三视图可知，几何体是一个三棱锥，高为，底面面积为
几何体体积即为故选B。

【点睛】
三棱锥体积计算公式：。

2．将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与
所成的角为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】。