思维特训(十四) “四法”确定三角函数值

思维特训(十四) “四法”确定三角函
数值
方法点津 ·
1．直接运用定义求值，但往往需要先利用勾股定理求出所求锐角三角函数涉及的某些元素．
2．当条件为已知某两条线段的比或某一锐角的三角函数值，求图形中其他角的三角函数值时，通常设参数求解．
3．当直接运用三角函数的定义求某些锐角三角函数值有困难时，可通过相等角进行转换求值．
4．当某锐角不在直角三角形中，而要求其三角函数值时，可通过构造直角三角形求解． 典题精练 ·
类型一 回归定义
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，则cos B ＝________.
2．如图14－Y －1，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发(点P 与点O 不重合)，沿O －C －D 的路线运动，设AP ＝x ，sin ∠APB ＝y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是( )
图14－Y －1 图14－Y －2
3．如图14－Y －3所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4
5，AB ＝15，求△ABC 的周
长和tan A 的值．
图14－Y －3
类型二 巧设参数
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4
5，则tan B 的值为( )
A.43
B.34
C.35
D.45
5．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ∶BC ＝3∶4，则sin A ＝________．
6．如图14－Y －4，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，已知sin ∠ACD ＝2
3，那么
BC
AB
＝________． 图14－Y －4
7．如图14－Y －5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1
2
，求∠B 的正弦值和余弦值．
图14－Y －5
8．如图14－Y －6，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，sin B ＝5
13.求菱形ABCD
的周长．
图14－Y －6
9.如图14－Y －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为E .已知AC ＝15，cos A ＝35
.
(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．
图14－Y －7
10．如图14－Y －8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，F 恰好是AB 的一个三等分点(AF ＞BF )．
(1)求证：△ACE ≌△AFE ； (2)求tan ∠CAE 的值．
图14－Y －8
11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边，a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a )(c －a )．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．
类型三 等角代换
12．如图14－Y －9，点E ，B ，C 在⊙A 上，已知⊙A 的直径为1，BE 是⊙A 的一条弦，则cos ∠OBE 的值为( )
图14－Y －9
A ．O
B 的长 B ．BE 的长
C ．OE 的长
D ．OC 的长
13．如图14－Y －10，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3，则∠A 的正切值为( )
图14－Y －10
A.35
B.45
C.34
D.43
14．如图14－Y －11所示，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AC ＝2 2，BC ＝1，那么sin ∠ABD 的值是________．
图14－Y －11
15．如图14－Y －12，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则tan ∠BCD ＝________．
图14－Y －12
16．如图14－Y －13，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G .
(1)求证：△DCF ≌△ADG ；
(2)若E 是AB 边的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值．
图14－Y －13
类型四 构造直角三角形
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，1)和点B (3，0)，则sin ∠AOB 的值为( )
A.
55 B.52 C.32 D.12
18．如图14－Y －14，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，
则∠ABC 的正切值是( )
图14－Y －14
A ．2 B.2 55 C.55 D.1
2
19．如图14－Y －15，在边长相同的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则AP
PB
＝________，tan ∠APD ＝________.
图14－Y －15
20．已知：如图14－Y －16所示，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，EC ＝1
3AC ，BC
＝14，AD ＝12，sin B ＝4
5
.求tan ∠EDC 的值．
图14－Y －16
详解详析
1.45 [解析] 由勾股定理可求得BC ＝AB 2－AC 2＝52－32＝4，所以cos B ＝BC AB ＝45. 2．C [解析] 根据题意，得当点P 在OC 上运动时，sin ∠APB ＝OA
AP .∵OA ＝1，AP ＝x ，
sin ∠APB ＝y ，∴xy ＝1，即y ＝1
x (1＜x ＜2)；当点P 在CD ︵上运动时，∠APB ＝45°，所以sin
∠APB ＝
2
2
.故选C. 3．解：∵sin A ＝45＝BC
AB ，
∴BC ＝45AB ＝4
5×15＝12，
∴AC ＝AB 2－BC 2＝9，
∴△ABC 的周长为9＋12＋15＝36， tan A ＝BC AC ＝129＝4
3
.
4．B [解析] 由题意，设BC ＝4x ，则AB ＝5x ，AC ＝AB 2－BC 2＝3x ，∴tan B ＝AC
BC ＝
3x 4x ＝3
4
.故选B. 5.45 [解析] 设AC ＝3x ，BC ＝4x ，根据勾股定理可得AB ＝5x ，∴sin A ＝BC AB ＝4x 5x ＝45. 6.
5
3
[解析] ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ACD ＝∠B ， ∴sin B ＝sin ∠ACD ＝2
3.
设AC ＝2m ，AB ＝3m ，
则BC ＝（3m ）2－（2m ）2＝5m ， ∴BC AB ＝53
. 7．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝1
2，∴设BC ＝x ，则AC ＝2x ，
∴AB ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，
∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝5
5
.
8．解：在Rt △ABE 中，∵∠AEB ＝90°，sin B ＝513＝AE
AB ，∴设AE ＝5k ，AB ＝13k ，
∴BE ＝AB 2－AE 2＝（13k ）2－（5k ）2＝12k .
又∵AB ＝BC ＝13k ，
∴BC －BE ＝AB －BE ＝EC ， 即13k －12k ＝1，∴k ＝1， ∴AB ＝13，
∴菱形ABCD 的周长为52.
9．解：(1)∵在Rt △ABC 中，AC ＝15，cos A ＝AC AB ＝15AB ＝3
5，∴AB ＝25.
∵△ACB 为直角三角形，D 是斜边AB 的中点， ∴CD ＝12AB ＝25
2
.
(2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝252－152＝20. 又AD ＝BD ＝CD ＝25
2，
设DE ＝x ，EB ＝y ，则 在Rt △BDE
中，x 2＋y 2＝
⎝⎛⎭
⎫2522
①， 在Rt △BCE 中，⎝⎛⎭⎫x ＋25
22
＋y 2＝202②， 联立①②，解得x ＝7
2，
∴sin ∠DBE ＝DE BD ＝7
2252
＝7
25
.
10．解：(1)证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AB ， ∴CE ＝FE .
在Rt △ACE 与Rt △AFE 中，
⎩
⎨⎧CE ＝FE ，AE ＝AE ， ∴Rt △ACE ≌Rt △AFE (HL)． (2)由(1)可知△ACE ≌△AFE ， ∴AC ＝AF .
∵F 是AB 的一个三等分点(AF >BF )， 设BF ＝m ，则AC ＝AF ＝2m ，AB ＝3m ， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝9m 2－4m 2＝5m ， ∴在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝2m 5m ＝2
5，
在Rt △EFB 中，EF ＝BF ·tan B ＝2m
5，
∴CE ＝EF ＝2m
5
.
在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC ＝2m 52m ＝5
5
.
11．解：根据b 2＝(c ＋a )·(c －a )，可得b 2＝c 2－a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°. ∵5b －4c ＝0，∴5b ＝4c ，∴b ∶c ＝4∶5， 设b ＝4k ，则c ＝5k ，
根据勾股定理可得a ＝3k ， ∴sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝3k 5k ＋4k 5k ＝7
5
.
12．D [解析] 连接CE ，必过点A ，由同弧所对的圆周角相等可得∠ECO ＝∠OBE ，所以cos ∠OBE ＝cos ∠ECO ＝OC
CE
＝OC .
13．D [解析] 过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接OB ，OC ，则∠A ＝1
2∠BOC .
∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，
∴∠BOD ＝1
2∠BOC ，∴∠A ＝∠BOD .
在Rt △BOD 中，OB ＝5，OD ＝3， 根据勾股定理可得BD ＝OB 2－OD 2＝4， ∴tan A ＝tan ∠BOD ＝BD OD ＝4
3.
14.2 23
15.3
4 [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°.
∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A ，
∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝3
4
.
16．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC ＝90°. ∵CF ⊥DE ，
∴∠DFC ＝∠CFG ＝90°.
∵AG ∥CF ，∴∠AGD ＝∠CFG ＝90°， ∴∠AGD ＝∠DFC .
又∵∠ADG ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，∠DCF ＋∠CDE ＝90°， ∴∠ADG ＝∠DCF .
在△DCF 和△ADG 中，∵⎩⎨⎧∠DFC ＝∠AGD ，
∠DCF ＝∠ADG ，DC ＝AD ，
∴△DCF ≌△ADG (AAS)．
(2)设正方形ABCD 的边长为2a . ∵E 是AB 边的中点， ∴AE ＝1
2
×2a ＝a .
在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（2a ）2＋a 2＝5a ， ∴sin ∠ADG ＝AE DE ＝a 5a ＝5
5
.
∵∠ADG ＝∠DCF ＝α， ∴sin α＝
55
. 17．A [解析] 根据题意可画图如下，根据勾股定理，得OA ＝5，则sin ∠AOB ＝AC
OA ＝
15＝5
5
.故选A. 18．D [解析] 如图，连接AC .
由勾股定理，得AC ＝2，AB ＝2 2，BC ＝10. ∵AC 2＋AB 2＝BC 2，
∴△ABC 为直角三角形， ∴tan ∠ABC ＝AC AB ＝1
2
.
故选D.
19．3 2 [解析] 如图，连接BE ，交DC 于点F . ∵四边形BCED 是正方形， ∴DB ∥AC ，
∴△CAP ∽△DBP ， ∴
AP PB ＝AC
DB
＝3. ∵四边形BCED 是正方形，
∴DF ＝CF ＝12CD ，BF ＝1
2BE ，CD ＝BE ，
BE ⊥CD ，
∴BF ＝CF .
∵△DBP ∽△CAP ，
∴DP ∶CP ＝BD ∶AC ＝1∶3， ∴DP ∶DF ＝1∶2， ∴DP ＝PF ＝12DF ＝1
2BF .
在Rt △PBF 中，tan ∠BPF ＝
BF
PF
＝2. ∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2. 故答案为3，2.
20．解：如图，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F .
在Rt △ABD 中，sin B ＝AD AB ＝12AB ＝4
5，∴AB ＝15.
在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9. ∵BC ＝14，
∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5.
∵EF ⊥BC ，AD 是边BC 上的高， ∴∠ADC ＝∠EFC ＝90°.
又∵∠C 为公共角，∴△EFC ∽△ADC ， ∴
EF AD ＝CF CD ＝EC AC ＝13
， ∴EF ＝13AD ＝4，CF ＝13CD ＝5
3，
∴DF ＝CD －CF ＝5－53＝10
3
.
∴在Rt △DEF 中，tan ∠EDC ＝EF DF ＝4103
＝6
5
.。