高考数学基础知识总结：第十四章 导数

高中数学：第十四章 导数
考试内容：
导数的背影． 导数的概念．
多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．
（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
§14.导数 知识要点
1.导数（导函数的简称）的定义：
设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相
应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值
x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即
)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.
②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.
2.函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：
⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .
于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000
00
x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→
).
()(0)()(lim lim )
()(lim )]()()([
lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆ ⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.
例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为
x
x x y ∆∆=
∆∆|
|，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x
y ，故x y
x ∆∆→∆0lim
不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3.导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为
).)((0'0x x x f y y -=-
4.求导数的四则运算法则：
''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒
''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）
)0(2'''
≠-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设x x x f 2sin 2)(+
=，x
x x g 2
cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.
5.复合函数的求导法则：
)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ）=0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7.极值的判别方法：
极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理 当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 8.极值与最值的区别：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9.几种常见的函数导数：
I.0'=C （C 为常数）x x cos )(sin '
=2
'
11)(arcsin x
x -=
1')(-=n n nx x （R n ∈）x x sin )(cos '-=2
'11)(arccos x
x --
=
II.x x 1)(ln '=
e x x a a log 1
)(log '=1
1)(arctan 2
'+=x x x x e e =')(a a a x x ln )('=1
1)cot (2'+-
=x x arc
III.求导的常见方法： ①常用结论：x
x 1
|)|(ln '=.
②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(()
)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求
代数和形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导
可得x x x x x y y x y y x
x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.
兰亭序
永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。

群贤毕至，少长咸集。

此地有崇山峻岭，茂林修竹；又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。

虽无丝竹管弦
之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。

是日也，天朗气清，惠风和畅，仰观宇宙之大，俯察品类之盛，所以游目骋怀，足以极视听之娱，信可乐也。

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，晤言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。

虽取舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。

及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。

向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。

况修短随化，终期于尽。

古人云：“死生亦大矣。

”岂不痛哉！每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。

固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。

后之视今，亦犹今之视昔。

悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。

后之览者，亦将有感于斯文。