(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习第三部分教材知识重点再现回顾3三角函数与平面向量练习(含解析)

回顾3 三角函数与平面向量
[必记知识]
1．诱导公式
[提醒] 奇变偶不变，符号看象限,“奇、偶”指的是
π
2
的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦（或余弦变正弦）.“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π
2±α（n ∈Z ）是第几象限角，从而得到等式右边
是正号还是负号.
2．三种三角函数的性质
[提醒] 求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解.
3．三角函数图象的变换
由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法
[提醒] 图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y 轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等.)
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2
α－sin 2
β(平方正弦公式)． cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2
α－sin 2
β. 5．二倍角、辅助角及半角公式 (1)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α. tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α
. ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2
. ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. (2)辅助角公式
y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中
角φ的终边所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝b a
(a ≠0)确定．
6．正、余弦定理及其变形
[提醒] 在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
7．平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(
x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．
与任意非零向量平行.
(2)a ·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；,a ·b ＜0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.
[必会结论]
1．降幂、升幂公式 (1)降幂公式
①sin 2α＝1－cos 2α2；②cos 2
α＝1＋cos 2α2；③sin αcos α＝12sin 2α.
(2)升幂公式
①1＋cos α＝2cos 2
α2；②1－cos α＝2sin 2α
2；③1＋sin α＝⎝
⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22；④1
－sin α＝⎝
⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22
.
2．常见的辅助角结论
(1)sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4.
(2)cos x ±sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∓π4. (3)sin x ±3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π3.
(4)cos x ±3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∓π3. (5)3sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π6.
(6)3cos x ±sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ∓π6. [必练习题]
1．已知tan α＝3，则cos （π－α）
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( )
A ．－1
3
B ．－3
C ．13
D ．3
解析：选A.cos （π－α）cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－1
3.
2．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2
x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )
A ．1
3
B ．－13
C ．3
D ．－3
解析：选A.由cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2
x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，
所以tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝
tan x －11＋tan x ＝13.
3．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A ．3
4 B ．1 C ．32
D ．2
解析：选C.y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2
x ＋2sin x ＋1.
设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2
＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
＋3
2
，所以当
t ＝12时，函数取得最大值32
.
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f ′(x )的图象
如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2的值为( )
A ．2 2
B ． 2
C ．－
22
D ．－
24
解析：选D.依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝
2π
ω＝4⎝
⎛⎭⎪⎫3π8
－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且
f ′⎝
⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－2
4
，故选D.
5．已知x ＝π
12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0＜φ＜x )图象的一条对称
轴，将函数f (x )的图象向右平移
3π
4
个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2
D ．－ 3
解析：选B.因为x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝k π
＋
π2(k ∈Z )，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以g (x )＝－
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝－1.
6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B
＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )
A ．4π
B ．8π
C ．9π
D ．36π
解析：选C.由题意知c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝1
3，再由正弦定
理可得2R ＝c
sin C
＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2
＝9π，故选C.
7．已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角可能是( ) A ．π6
B ．π3
C ．π4
D ．3π4
解析：选D.由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2
＝(a －b )2
，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2
＝－|a |2
＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，故选D.
8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________． 解析：a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.
答案：－6
9．已知向量a ＝(1，0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为________．
解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝（a －b ）2
＝a 2
＋b 2
－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2
－b 2
＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于
c ·d
|d |
＝－1. 答案：－1
10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图象上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________．
解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫T 22
＝22，解得T ＝4，所以ω
＝2π
T ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，所以f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12. 答案：1
2
11．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c
sin C
＝______．
解析：依题意得，12bc sin A ＝3
4
c ＝3，则c ＝4.由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝
13，因此a sin A ＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得c sin C ＝239
3
.
答案：2393。