高中数学 课时跟踪检测(十五)一元二次不等式及其解法 新人教A版必修5

课时跟踪检测（十五） 一元二次不等式及其解法
层级一 学业水平达标
1．不等式6x 2
＋x －2≤0的解集为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－23≤x ≤
12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≤－23或x ≥
1
2 C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≥
1
2 D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≤－
2
3 解析：选 A 因为6x 2
＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－23
≤x ≤
1
2. 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a <0的解集为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x <a 或x >
1
a B ．{x |x >a }
C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x >a 或x <1
a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <1
a
解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a
>a ，
∴x >1
a
或x <a .
3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2
＋x －2<0， 所以－2<x <1.
4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫x <0或x >12，则f (10x
)>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >lg 2}
B ．{x |－1<x <lg 2}
C ．{x |x >－lg 2}
D ．{x |x <－lg 2}
解析：选D f (x )<0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x <0或x >12，
所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
0<x <12，
∴0<10x <1
2∴x <lg 12，即x <－lg 2.
5．函数y ＝17－6x －x
2
的定义域为( )
A ．[－7,1]
B ．(－7,1)
C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：选B 由7－6x －x 2
>0，得x 2
＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.
6．不等式－x 2
－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)
解析：先把原不等式可化为x 2
＋3x －4<0，再把左式分解因式得(x －1)(x ＋4)<0，所以不等式的解集为(－4,1)．
答案：(－4,1)
7．若二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2
＋bx ＋c <0的解集是________．
解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋2x ，x ≥0，－x 2
＋2x ，x <0.
若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．
解析：当a ≥0时，a 2
＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2
＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，
a 的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．解关于x 的不等式x 2
－3ax －18a 2
>0.
解：将x 2
－3ax －18a 2
>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .
所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }； 当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10．若函数f (x )＝
2 016
ax 2＋2ax ＋2
的定义域是R ，求实数a 的取值范围．
解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2
＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立； (2)当a ≠0时，有⎩⎪⎨
⎪
⎧
a >0，Δ＝4a 2
－8a <0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，0<a <2，
所以0<a <2.
综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．
层级二 应试能力达标
1．不等式x 2
＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－4,4) C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D ．[－4,4]
解析：选A 不等式x 2
＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2
＋ax ＋4<0有解，所以
Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.
2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )
A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B ．(－1,3)
C ．(1,3)
D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A 由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则
α，β，a ，b 的大小关系是( )
A ．a <α<β<b
B ．a <α<b <β
C ．α<a <b <β
D ．α<a <β<b
解析：选A ∵α，β为f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
4．若0<a <1，则不等式x 2
－3(a ＋a 2
)x ＋9a 3
≤0的解集为( ) A ．{x |3a 2
≤x ≤3a } B ．{x |3a ≤x ≤3a 2
} C ．{x |x ≤3a 2或x ≥3a }
D ．{x |x ≤3a 或x ≥3a 2
}
解析：选A 因为0<a <1，所以0<3a 2
<3a ，而方程x 2
－3(a ＋a 2
)x ＋9a 3
＝0的两个根分别为3a 和3a 2
，所以不等式的解集为{x |3a 2
≤x ≤3a }．
5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－4x ，x >0，0，x ＝0，
－x 2－4x ，x <0，
则不等式f (x )>x 的解集为________．
解析：由f (x )>x ，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
－4x >x ，
x >0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
－4x >x ，
x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原
不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
6．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *
)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2
－36[x ]
＋45<0的解集为______．
解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152
，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *
)时，[x ]＝n ，
所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．
答案：[2,8)
7．设f (x )＝(m ＋1)x 2
－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；
(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3，求m 的值． 解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2
－x >0，
因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. (2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2
－mx ＋m >0， 由题意知32
，3是方程(m ＋1)x 2
－mx ＋m ＝0的两根，
因此⎩⎪⎨⎪⎧
32＋3＝m m ＋1
，32×3＝m
m ＋1
⇒m ＝－9
7
.
8．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2
<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．
解：原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >3
2.
若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12
＝5
2
(－a ＋1)>5， 所以3－2a >
a ＋1
2
，
此时不等式的解集是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
a ＋1
2<x <3－2a ； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－5
4，
所以3－2a <
a ＋1
2
，
此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
3－2a <x <
a ＋1
2. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－2a ，a ＋12.。