河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(文)试题 含解析

19届（高三）上期入学摸底测试
文科数学试题
附参考数据与参考公式：
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解绝对值不等式和分式不等式得集合A，B，再根据集合的运算法则计算．
【详解】由题意，由得，则或，∴，∴．
故选A．
【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素，然后再根据集合运算的定义求解．在解分式不等式时要注意分母不为0．
2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，
被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．
【详解】由题意，对应点为，在第二象限．
故选B．
【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．
3. 已知向量，条件，条件，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出两向量平行的充要条件，再判断．
【详解】，即，∴是的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】向量，则，．
4. 函数的一个对称中心是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解．
【详解】由题意，由得，
因此是一个零点，是一个对称中心．
故选D．
【点睛】对函数，由，，即对称中心为（），由，
，即对称轴为（）．
5. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（）
A. 90，86
B. 94，82
C. 98，78
D. 102，74
【答案】C
【解析】
执行程序：
,故输出的分别为
故选：C
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图还原出原几何体，再计算体积．
【详解】原几何体是一个圆柱与半个圆锥的组合体，体积为．
故选C．
【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．
7. 已知满足约束条件，若的最小值为，则（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
最值一定在可行域的顶点处取得，作出直线，作出可行域．分析最小值点的位置．
【详解】由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，
取得最小值，易知，∴，解得．
故选A．
【点睛】本题考查简单和线性规划问题，解题关键是作出可行域，分析最
优解在何处．可通过目标函数对应的直线分析可行域的形状、位置．
8. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函
数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
要使最小，则为函数的最小正周期．
【详解】由题意，．
故选A．
【点睛】本题考查的图象与性质．考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合．此类题常常与正弦函数的性质联系得解．
10. 函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
由图象可知，
当时，函数的图象在图像的下方，满足；
当时，函数的图象在图像的下方，满足；
所以满足的解集为或，故选D.
11. 已知点都在函数的图象上，则与的大小关系为（）
A. B. C. D. 与的大小与有关
【答案】D
【解析】
【分析】
求出，利用对数函数的性质比较与的大小．
【详解】由题意，∴，，显然，∴当时，，当时，．
故选D．
【点睛】本题考查对数函数的性质，特别是对数函数的单调性．对数函数，在时为增函数，在时为减函数．因此当两个对数的底数是参数时，需要分类讲座都才能比较大小．
12. 点为双曲线的右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 7
【答案】B
【解析】
试题分析：在双曲线中，为双曲线的右支上一点，所以
分别是圆和上的点，则
则
所以最大值为9.
考点：双曲线的定义的应用.
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，__________．
【答案】30
【解析】
【分析】
由和表示（凑配）出．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为30．
【点睛】本题考查不定方程中解的问题，在有三元方程组中，只有两个方程时，如果一个未知数已知，则此方程变为二元一次方程组，从而可出，再求值，也可用整体凑配法求解．
14. 设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，在三角形中求解．
【详解】如图，是棱锥的过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，是棱锥的高，是内切圆圆心，，由已知，，则，
由得，∴，
∴，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查正棱锥的外接球与内切球问题，解题关键是过球心作截面，
球心一定在正棱锥的高上，高与底面的交点是底面正三角形的中心．抓住这些性质变可以解决问题．
15. 抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为
__________．
【答案】13
【解析】
由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长
，填13.
【点睛】
解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。

如本题就利用抛物线的定义进行距离转化。

抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d，同时折线段和大于或等于垂线段距离，即点A到准线的距离。

16. 在中，内角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
已知条件结合余弦定理求出，然后得，再由余弦定理求得
【详解】∵，
∴，∴，．
又，即，当且仅当时取等号，
∴，即最大值为．
【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积，解题关键是由余弦定理求出，再由余弦定理得出关系式，然后由基本不等式得出的最大值．本题难度一般．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分
17. 已知等差数列中，，公差；数列中，为其前项和，满足.
（1）记，求数列的前项和；
（2）求数列的通项公式.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）数列是等差数列，因此数列的前项和可有用裂项相消法求得；
（2）时，，，由此可得通项公式．
【详解】（1）因为，所以，
则，
所以；
（2）因为，所以，
则，
当，满足上述通项公式，
所以数列的通项公式为．
【点睛】数列是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，用裂项相消法求和，
用错位相减法求和．这是常用的求和方法．
18. 2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
约定：此单位45岁59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2 人能胜任的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
【答案】(1) 抽出的青年观众为18人，中年观众12人(2) 没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关(3)
【解析】
【分析】
（1）分层抽样是按比例抽取样本数量；
（2）填写列联表，计算出可得结论；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，其余两人记为，则从中选两人，可用列举法列出所有可能的事件，从而得出概率．
【详解】（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；
（2）2×2列联表如下：
，
∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，其余两人记为，则从中选两人，一共有如下15种情况：
，
，
抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，
所以．
【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验，考查古典概型，在求古典概率时，一般用列举法列出所有基本事件，计数后求得概率．
19. 如图，在三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
20. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值.
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
（1）直线的方程为，代入椭圆方程可求得点坐标，从而得直线方程；
（2）当与轴垂直时，由对称性知，因此想象当与轴不重合也不垂直时，也应该有
，从而只要证，为此设的方程为，先求出，再把直线方程代入椭圆方程利用韦达定理求得，把代入即得．
【详解】（1）由已知得，的方程为，
由已知可得，点的坐标为或．
所以的方程为或；
（2）当与轴垂直时，由对称性知，
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，
当，直线的斜率之和为，
由得
，
将代入，得，
所以．
则，
从而，故的倾斜角互补，所以，
所以．
【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，在直线与椭圆相交时，常用“设而不求”思想．即设出参数表示出直线方程，设出交点坐标，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后再由韦达定理得，然后把题中的其他条件与要求的量用坐标表示，交代入，从而可化简变形求解．
21. 设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，，求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，按的范围分类讨论的正负，可得单调性；
（2）令，有，令，有
，由得，即单调递增，从而得，按和讨论的单调性和最值，从而得出结论．
【详解】（1）由题意得，
当时，当；当时，；
在单调递减，在单调递增，
当时，令得，
当时，；当时，；
当时，；
所以在单调递增，在单调递减；
②当时，，所以在单调递增，
③当时，；
当时，；当时，；
∴在单调递增，在单调递减；
（2）令，有，
令，有，
当时，单调递增．
∴，即．
当，即时，在单调递增，
，不等式恒成立，
②当时，有一个解，设为根，
∴有单调递减；当时，单调递增，有，∴当时，
不恒成立；
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立常常转化为求函数的最值，本题设，确定在上的最小值，如果此最小值则符合题意，若此最小值，则不合题意．当然在求的零点时，可能还要对求导，以确定零点．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，4为半径.
（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）试判定直线与圆的位置关系.
【答案】(1) （为参数）， (2) 直线与圆相离
【解析】
【分析】
（1）根据直线参数方程写出的标准参数方程，由可化直角坐标方程为极坐标方程；
（2）求出圆心到直线的距离，再与半径比较可得位置关系．
【详解】（1）直线的参数方程：（为参数），则（为参数），点的直角坐标为，
圆方程，且，
代入得圆极坐标方程；
（2）直线的普通方程为，
圆心到的距离为，
∴直线与圆相离．
【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查直线的参数方程，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．直角坐标方程与极坐标方程的互化公式为，直线与圆的位置关系可通过求出圆心与直线的距离然后与半径比较而确定．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，若的最小值为3，求实数的值；
（2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围.
【答案】(1) 或4 (2)
【解析】
试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到a的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数a的取值范围.
试题解析：
（1）当时，，
因为的最小值为3，所以，解得或4.
（2）当时，即，
当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，
即，故实数的取值范围是.。