高中试卷-6.4 平面向量的应用 同步练习(Word版含解析)(含答案)

平面向量的应用 练习
一、选择题（共10题）
1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，3b =，2
sin 3
A =
，则B =( )A.π6
B.
π3
C.
π6或5π6
D.
π3或2π
3
2.如图，在重600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A. B.150N,150N
C.
D.300N,300N
3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b
c
=( )A.6 B.5 C.4 D.3
4.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △的形状为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小
110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)q q <<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos q 等于( )
A. B.25
-
C.35
-
D.45
-
6.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()4c a b =-+，π
3
C =，则ABC △的面积是( )
A.3 C.7.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若π
4
A =，5a =，4c =，则满足条件的ABC △的个数为( )A.0
B.1
C.2
D.无数多个
8.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且60m AB BC ==，则建筑物的高度为( )
A.m
B.m
C.m
D.m
9.若ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1
sin sin 2C A B -=，且
4b =，则22c a -=( )
A. 10
B. 8
C. 7
D. 4
10.在等腰梯形ABCD 中，//222AB DC AB BC CD ===，，P 是腰AD 上的动点，则|2PB PC -uuu r uuu r
|的最小值为（ ）
B.3
D.
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二、填空题（共4题）
11.在ABC △中，若30B =°，AB =2AC =，则AB 边上的高是_____________.12.一条两岸平行的河流，水速为1m /s ，小船的速度为2m /s ，小船欲到河的正对岸，为使所走路程最短，小船应朝_______的方向行驶.
13.在ABC △中，90ABC Ð=°，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上.若45BDC Ð=°，则
BD =______________，cos ABD Ð=____________.
14.设O 为ABC V 的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，则sin BAC Ð的值为___________.三、计算题
15.在ABC
△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知5
a=，1
c b
-=，
1 cos
7
C=.
（1）求B；
（2）若内角B的平分线交AC于点D，求ABD
△的面积.
答案解析
1.答案：A
解析：因为4a =，3b =，2sin 3A =
，所以由正弦定理sin sin a b A B
=，可得2
3sin 13sin 42b A
B a
´
×=
==，又b a <，可得B 为锐角，则π6
B =.2.答案：C
解析：作平行四边形OACB ，使30,60AOC BOC Ð=°Ð=°，如图.
在平行四边形OACB 中，60ACO BOC Ð=Ð=°，90OAC Ð=°
，
cos30OA OC °==u u r u u u r ，sin 30300N AC OC °==u u u r u u u r ，300N OB AC ==u u u r u u u r
.
3.答案：A
解析：由sin sin 4sin a A b B c C -=，结合正弦定理，得2224a b c -=，所以
2
2
2
2
3b c a c +-=-.由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-=
=-，即23124c bc -=-，整理得6b
c
=.故选A.4.答案：D
解析：由余弦定理得222
cos 2c b a A bc
+-=，
222cos 2c a b B ac +-=，代入原式得222222222
2222c a b c b a c b a a c bc c -++-+-=×-，
所以222222
22c a b c b a ac bc -++-=，所以222()()0a b c a b --+=，
解得a b =或2220c a b -+=，则ABC △为等腰三角形或直角三角形.5.答案：B
解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为a ，1AD =v u u u r ，2AC =v u u u r
.以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos a =v v
，
即21
2cos 5a =
=
v v .又πq a =-，所以2
cos cos(π)cos 5
q a a =-=-=-，故选B.6.答案：B
解析：由22()4c a b =-+可得22224c a b ab =+-+，又由余弦定理得22222π
2cos
3
c a b ab a b ab =+-=+-，所以24ab ab -+=-，解得4ab =.
则11sin 422ABC S ab C =
=´△.故选B.7.答案：B
4
sin C
=
，sin sin C A \=<=，C A \<，所以C 只有一
解，所以满足条件的ABC △只有1个，故选B.8.答案：D
解析：设建筑物的高度为m h .由题图知，2PA h =
，PB =
，PC =.在PBA △和PBC △
中，分别由余弦定理得，cos PBA Ð=
，①
cos PBC Ð=
.②180PBA PBC °Ð+Ð=Q ，cos cos 0PBA PBC \Ð+Ð=.③由
①②③，解得h =
h =-.
即建筑物的高度为m .9.答案：B
解析：11
sin()sin sin()22
C A B A C -==+，
即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，
由正弦定理和余弦定理得：222222
322b c a a b c c a bc ab +-+-×=×，
即222222333b c a a b c +-=+-
，
即22244221632c a b -==´=，则228c a -=，故选B.10.答案：C
解析：如图，以A 为原点，射线AB 为x
轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得
3(2,0),2B C æççè
，设()P a ，其1
02a ≤≤，
则3(2,),2PB a PC a æö=-=-ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，
所以52,2PB PC a æö-=-ç÷ç÷
uuu r uuu r ，所以2PB
-
uuu r ==
，所以当1
4a =时，|2|PB PC -uuu r uuu r ，
故选：C 11.答案：1
或2
解析：由正弦定理
sin sin AC AB
B C
=
，得sin 30sin AB C AC °===.0150C <<°°Q ，60C \=°或120C =°.
当60C =°时，90A =°，AB 边上的高为2；
当120C =°时，
30A =°，AB 边上的高为2sin 301´°=.12.答案：与水速成120°角
解析：如图，为使小船所走路程最短，+船水v v 应与岸垂直.
又|1,|||2,90AB AC ADC ====Ð=°v v u u u u r u u u r 船水
∣∣，所以30CAD Ð=°.
所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.
13.
解析：在BCD △中，由正弦定理得
sin sin BD BC C BDC =Ð
，即45BD =
BD =，则(
)43cos cos 4555ABD A Ð=-==°.14.
解析：设ABC △外接圆的半径为R ，
因为2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AC AO AB BO =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以11
22
AC BO R =
=，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ^，因为//AC BO ，所以OM BO ^，即π
2
BOM Ð=
，所以11π124cos cos sin 24AC R
MC BOC MOC MOC OC OB R æöÐ=+Ð=-Ð=-=-=-=-ç÷èø，在BOC △
中由余弦定理可得：
BC ===
，
在ABC △
中，由正弦定理可得：sin 2BC BAC R Ð===
15.答案：（1）π
3
B =（2
解析：（1）在ABC △中，由余弦定理得
2222225(1)1
cos 2107a b c b b C ab b +-+-+===，解得7b =，8c =.
由余弦定理得2222564491
cos 22582a c b B ac +-+-===´´.
因为(0,π)B Î，所以π3
B =
.（2）由（1）知，π
6ABD Ð=，22249642511cos 227814b c a A bc +-+-===´´
，sin A =在ABD △中，
ππsin sin πsin 66ADB A A æöæ
öÐ=--=+=ç÷ç÷èøè
øππ11113sin cos cos sin 6614214A A +=
´=.由正弦定理得
sin sin AB AD ADB ABD =
ÐÐ，所以8131142
AD =，得5613AD =.所以ABD △
的面积1156sin 82213S AD AB A =
×=´´=。