1.2.2行列式的性质
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应的元素上，行列式不变, 即
a11 ... ai1 ... a j1 ... an1 a12 ... ai 2 ... ... ... a1n ... ... ... ain ... ... ... ... a11 ... a12 ... ai 2 ... ... an 2 ... ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ... ann
ห้องสมุดไป่ตู้
a12
a1n
a j 2 a jn ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1i a1n
a j 2 a jn an 2 ann
a1 j a1n
a21 a2i a2 j a2 n an1 ani anj ann
行列式的性质
性质3 行列式可以按行(列)提取公因子，即
a11 kai1 an1 a12 a1n a11 a12 a1n kai 2 kain k ai1 an 2 ann an1 ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1n j a2 n a21 a2 ann an1 anj
性质5 行列式两行(列)互换，行列式变号，即
a11 ai1 a j1 an1
a11 a1i
a12 ai 2
a1n ain
a11 a j1 ai1 an1
a j 2 ... a jn an 2 ... ann
ai1 ... a j1 kai1 ... an1
a j 2 kai 2 ... a jn kain
则行列式可分成两个行列式之和。即
a11 ... ai1 ai1 ... an1 a12 ... ... an 2 ... ... ... ... a1n ... ... ann a11 ... ... an1 a12 ... ai 2 ... ... a1n ... ... ... ... a11 a12 ... ai2 ... ... a1n ... ... ... ... ain ... ... ... ain ai1 ... an1
ai1 ai 2 ai2 ... ain ain
an 2 ... ann
an 2 ... ann
a11 a1 j a1 j a1n j a2 n a21 a2 j a2 ann an1 anj anj
a11 a1 j a1n a21 a2 j a2 n an1 anj ann
a 11 ... a i1 a j1 A j1 a j2 A j2 ... a jn A jn ... a j1
a 12 ... a i2 ... a j2
... a 1n ... ... ... a in ... ... ... a jn ... ... ... a nn ... a 1n ... ... ... a in ... ... =0 ... a in ... ... ... a nn
a21 a2 j a2i a2 n an1 anj ani ann
推论 行列式两行(列)完全相同, 则行列式为零.
推论 行列式两行(列)对应成比例, 则行列式为零. 推论 行列式某行(列)元素与其它行(列)元素的代数余
子式乘积之和等于零. 即, 若D＝|aij|, 则
a1n ann
a11 ka1 j an1 kanj
a1n ann k
a11 a1 j an1 anj
a21 ka2 j a2 n
a21 a2 j a2 n
推论 行列式中某一行(列)元素全为零时, 其值为零。
性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,
a
k 1 n k 1
n
ik
Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn D ij Akj a1i A1 j a2i A2 j ani Anj D ij
a
ki
其中, ij
实际上，
1, i j 0 , i j
... ... a n1 a n 2 a 11 a 12 ... a i1 a i1 A j1 a i 2 A j2 ... a in A jn ... a i1 ... a n1 ... a i2 ... a i2 ... a n2
性质6 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对
a11 ... ai1 ... a j1 ... an1 a12 ... ai 2 ... ... ... a1n ... ... ... ain ... ... ... ... a11 ... a12 ... ai 2 ... ... an 2 ... ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ... ann
ห้องสมุดไป่ตู้
a12
a1n
a j 2 a jn ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1i a1n
a j 2 a jn an 2 ann
a1 j a1n
a21 a2i a2 j a2 n an1 ani anj ann
行列式的性质
性质3 行列式可以按行(列)提取公因子，即
a11 kai1 an1 a12 a1n a11 a12 a1n kai 2 kain k ai1 an 2 ann an1 ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1n j a2 n a21 a2 ann an1 anj
性质5 行列式两行(列)互换，行列式变号，即
a11 ai1 a j1 an1
a11 a1i
a12 ai 2
a1n ain
a11 a j1 ai1 an1
a j 2 ... a jn an 2 ... ann
ai1 ... a j1 kai1 ... an1
a j 2 kai 2 ... a jn kain
则行列式可分成两个行列式之和。即
a11 ... ai1 ai1 ... an1 a12 ... ... an 2 ... ... ... ... a1n ... ... ann a11 ... ... an1 a12 ... ai 2 ... ... a1n ... ... ... ... a11 a12 ... ai2 ... ... a1n ... ... ... ... ain ... ... ... ain ai1 ... an1
ai1 ai 2 ai2 ... ain ain
an 2 ... ann
an 2 ... ann
a11 a1 j a1 j a1n j a2 n a21 a2 j a2 ann an1 anj anj
a11 a1 j a1n a21 a2 j a2 n an1 anj ann
a 11 ... a i1 a j1 A j1 a j2 A j2 ... a jn A jn ... a j1
a 12 ... a i2 ... a j2
... a 1n ... ... ... a in ... ... ... a jn ... ... ... a nn ... a 1n ... ... ... a in ... ... =0 ... a in ... ... ... a nn
a21 a2 j a2i a2 n an1 anj ani ann
推论 行列式两行(列)完全相同, 则行列式为零.
推论 行列式两行(列)对应成比例, 则行列式为零. 推论 行列式某行(列)元素与其它行(列)元素的代数余
子式乘积之和等于零. 即, 若D＝|aij|, 则
a1n ann
a11 ka1 j an1 kanj
a1n ann k
a11 a1 j an1 anj
a21 ka2 j a2 n
a21 a2 j a2 n
推论 行列式中某一行(列)元素全为零时, 其值为零。
性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,
a
k 1 n k 1
n
ik
Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn D ij Akj a1i A1 j a2i A2 j ani Anj D ij
a
ki
其中, ij
实际上，
1, i j 0 , i j
... ... a n1 a n 2 a 11 a 12 ... a i1 a i1 A j1 a i 2 A j2 ... a in A jn ... a i1 ... a n1 ... a i2 ... a i2 ... a n2
性质6 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对