普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷五文

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．既不充分有不必要
D ．充要
【答案】B
【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ．
2．已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则a =（） A ．23
-
B ．13
-
C ．
13
D ．
23
【答案】A
【解析】复数11i z a =+，232i z =+，
()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．
若12z z ⋅是实数，则230a +=，解得2
3
a =-
．故选A ． 3．下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（）
A ．()22x
x
f x -=- B ．()21f x x =-
C ．()12
log f x x = D ．()sin f x x x =
【答案】B
【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．
4．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆy x =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：
则m =（） A ．0.8 B ．1.8C ．0.6 D ．1.6
【答案】B
【解析】，代入线性回归方程为 1.31ˆy
x =-，可得 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=，故选B ．
5．若变量x ，y 满足约束条件0
0340x y x y x y
+⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
≥≥≤，则32x y +的最大值是（）
A ．0
B ．2
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值，max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．
6．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等比数列，则
114
3
a a a +=（ ） A ．2 B ．3
C ．5
D ．7
【答案】C
【解析】由124a a a 、、成等比数列得2
214a a a =，()()2
1113a d a a d ∴+=+，2
1d a d ∴=，
0d ≠，1d a ∴=
C ． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（） A ．58 B ．59
C ．60
D ．61
【答案】C
【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选C ．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A
．2+B
．2+
C
．2+
D
．8+
【答案】A
【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为
2，表面积为
4223
++A ．
9．则（ ）
A ．()f x
B ．()f x
C ．()f x
D ．()f x 【答案】D
【解析】
∵函数()f x
又0πθ<<，∴，∴()2sin 2f x x =-． 对于选项A ，C 时，()20,πx ∈，故函数不单调，A ，C 不正确；
对于选项B ，D ()f x 单调递增，故D 正确．选D ． 10．已知A ，B 是函数2x
y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线1
2
y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),2-∞-
C ．()1,-+∞
D ．()2,-+∞
【答案】B
【解析】设()
,2a A a ，()
,2b B b ，则11
2222
a
b -
=-，因为a b ≠，所以221a b +=，由基
本不等式有222a b +>，故21<，所以2a b +<-，选B ．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）
A B C D 【答案】A
【解析】如图所示，三棱锥A BCD -中，AD a =，BC =
1AB AC BD CD ====，
则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD △看作底面，则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该
三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h =
△BCD 是等腰直角三角形，
综上可得，三棱锥的体积的最大值为1132212
⨯
⨯=．本题选择A 选项．
12．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为其左
右顶点，以线段1F ，2F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且
30MAB ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
B ．
3
C ．
3
D ．
2
【答案】B
【解析】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b
y x a =±，以1F ，2F 为直径的圆的方程为
222x y c +=，将直线b
y x
a
=
代入圆的方程，可得：x a ==（负的舍去），y b =，
即有()M a b ，，又()0A a -，，
30MAB ∠=︒，则直线AM 的斜率3k =
，又2b
k a
=，
则()
2222343b a c a ==-，即有2237c a =B ． 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=_________． 【答案】120︒
【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴222
222a c b c a b ac +-⨯
=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221
cos 22
a b c C ab +-=
=-，∴120C =︒． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．
【答案】
138
【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当1x =，1y =时，
220z x y =+=<，1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =，5y =；820z x y =+=<，5x =，8y =；1320z x y =+=<，
8x =，13y =；2120z x y =+=>，
138y x =运算程序结束，输出138，应填答案138
． 15．在ABC △中，22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，
若CO xCA yCB =+，则x y +=______________． 【答案】
13
6
【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则：
()
2
4CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()
2
CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，
如图所示，作OE BC E ⊥=，OD AC D ⊥=， 则212CO CA CA ⋅=
=，211
22
CO CB CB ⋅==， 42x y -=⎧x ⎧
=⎪
136x y +=．
16．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[
)1,4内，函数()()2g x f x
ax =-有两个不同零点，则a 的范围为__________． 【解析】
()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
，当[)2,4x ∈时，
，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，
，
作函数()f x 与2y ax =的图象如下，
过点()4,ln 2时，ln 28a ∴=，ln ln 2y x =-，1y x '=
2e >4x =，故实数a
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =． （1）求角A ，B ，C 的大小；
（2）设数列{}n a 满足n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值．
【答案】（1
π3B =，π
2
C =；（2）4n =或5n =． 【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以2c a =，
2b ，
（2 ，*
k ∈N ，
由2224
203
k n S +-=
=，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求m 的值及这50名同学数学成绩的平均数x ；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]
130,140的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在[]
130,140的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．
【答案】（1）0.008m =（2）()4
5
P A =
． 【解析】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，
1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．
（2）由频率分布直方图可知，成绩在[]
130,140的同学有0.01210506⨯⨯=（人）， 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A 、B 、C 、D ；女生分别为x 、y ，
则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC 、ABD 、AB x 、AB y 、ACD 、AC x 、AC y 、AD x 、AD y 、BCD 、BC x 、BC y 、BD x 、BD y 、CD x 、CD y 、A xy 、B xy 、C xy 、D xy ——共20种，其中不含女生的有4种ABC 、ABD 、ACD 、BCD ；
设：至少有一名女生参加座谈为事件A ，则()44
1205
P A =-
=． 19．如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱
E 为AB 的中点．
（1）在侧棱VC 上找一点F ，使BF ∥平面VDE ，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下求三棱锥E BDF -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）E BDF V -= 【解析】（1）F 为VC 的中点． 取CD 的中点为H ，连BH HF 、，
ABCD 为正方形，E 为AB 的中点，
BE ∴平行且等于DH ，//BH DE ∴，
又
//FH VD ，
∴平面//BHF 平面VDE ，
//BF ∴平面VDE ．
（2）
F 为VC 1
8
E BD
F F BDE V ABCD V V V ---∴==，
V ABCD -为正四棱锥，
V ∴在平面ABCD 的射影为AC 的中点O ，
5VA =AO =VO ∴=，
V ABCD V -∴
6
E BD
F V -∴=
．
20．已知椭圆1C ：22
221x y a b +=(0)a b >>的离心率为，焦距为，抛物线2C ：
22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点．
（1）求1C 与2C 的标准方程；
（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．
【答案】（1）22
1124
x y +=，28x y =；（2
． 【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为
2c ，依题意有2c =
，c a =
， 解得a =2b =，故椭圆1C 的标准方程为22
1124
x y +=． 又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴，4p ∴=，
故抛物线2C 的标准方程为28x y =．
（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-，
()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，
即()
()()22121212440k
x x km k x x m m ++-++-+=()*， y 整理得，()
()2223163120**k x kmx m +++-=． 依题意1x ，2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，
122631
km x x k -∴+=+，212231231m x x k -⋅=+， 将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=，
解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去）
联立218y kx x y
=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=， 令264320k '∆=-=，解得212k =
． 经检验，212
k =，1m =-符合要求．
21 （1）求证：()21f x x x -++≥；
（2）当[]
1,0x ∈-时，函数()2f x ax +≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）1a ≥． 【解析】（1）原不等式等价于4310x x x --+≥，设()43
1g x x x x =--+， 所以()()()
322431141g x x x x x x '=--=-++，
当(),1x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．
又因为()()min 10g x g ==，所以()0g x ≥．所以()21f x x x -++≥． （2）当[]1,0x ∈-时，()2f x ax +≥恒成立，即 当0x =时，2
201x x -=+； 当[)1,0x ∈-时，而 所以1a ≥．
（二）选考题（共
10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l
t 为参数），直线2l 的参数m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ． （1）求出曲线1C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C
的极坐标方程为Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值． 【答案】（1）1C 的普通方程为()2
2103
x y y +=≠；（2）d
的最小值为 【解析】（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；
(1:l y k x =
，①)
21
:3l y x k =，② ①×②消k 可得：2
213
x y +=， 因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()2
2103
x y y +=≠． （2）直线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=．
由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，
由于1C
a 为参数，πa k ≠，k ∈Z ）， 所以曲线1C
80x y +-=的距离为：
d
的最小值为 23
（1）当2a =
（
2M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦．
【解析】（1）当2a =
时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当23
x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤． ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥， 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．
（2
11,32
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦恒成立，
即11a x a -+≤≤，所以
a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。