2020-2021学年山东临沂市高一(下)期中数学复习卷(有解析)

2020-2021学年山东临沂市高一(下)期中数学复习卷
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 某市有大、中、小型商店共1500家，它们的家数之比为1︰5︰9，要调查商店的每日零售额情况，要求从中抽取30家商店进行调查，则大、中、小型商店分别抽取家数是( )
A. 2，10，18
B. 4，10，16
C. 10，10，10
D. 8，10，12
2. 化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A. OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗
C. AC ⃗⃗⃗⃗⃗
D. AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ −b
⃗ 的坐标为( ) A. (−5,3) B. (−1,5) C. (5,−3) D. (1,−5)
4. 从装有m 个红球，n 个白球(m,n ≥2)的袋中任取2个球，则互为对立事件的是( )
A. 至少有1个白球和至多有1个白球
B. 至少有1个白球和至少有1个红球
C. 恰有1个白球与恰有2个白球
D. 至少有1个白球与都是红球
5. 对于变量x ，y 有以下四个数点图，由这四个散点图可以判断变量x 与y 成负相关的是( ) A. B. C. D.
6. 已知向量a ⃗ =(1,√3),b ⃗ =(cos θ,sin θ)，若a ⃗ //b ⃗ ，则tanθ=( )
A. √33
B. √3
C. −√33
D. −√3
7. 已知一组数据(1,2)，(3,5)，(6,8)，(x 0,y 0)的线性回归方程为y ∧=x +2，则x 0−y 0的值为( )
A. −3
B. −5
C. −2
D. −1
8. 在△ABC 中，B ，C 为锐角，a =bsinB +csinC ，则△ABC 的形状为( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 以上都不对
9. 某校对该校的1200名高二学生进行了体检，将所得的体重(单位：kg)数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，其中体重在[65,75]内的学生人数大约为( )
A. 78
B. 222
C. 300
D. 540
10. 设a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 是非零向量，则下列命题中正确是( )
A. (a ⃗ ·b ⃗ )·c ⃗ =(c ⃗ ·b ⃗ )·a ⃗
B. |a ⃗ −b ⃗ |≤|a ⃗ +b ⃗ |
C. 若a ⃗ ·b ⃗ =a ⃗ ·c ⃗ ，则b ⃗ =c ⃗
D. 若a ⃗ //b ⃗ ,a ⃗ //c ⃗ ，则b ⃗ //c ⃗
11. 若函数y =sin2x 的图象向左平移π4个单位得到y =f(x)的图象，则( ) A. f(x)=cos 2x B. f(x)=sin 2x
C. f(x)=−cos 2x
D. f(x)=−sin 2x
12. 若ω>0，且函数f(x)=4sin ωx
2cos ωx 2在[−π4,π
3]上单调递增，则ω的取值范围是(
)．
A. (0,3
2] B. (0,3
2) C. (0,2] D. [2,+∞)
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知α,β为锐角，且cosα=17，cos(α+β)=−11
14，则cosβ= ．
14. 已知样本数据为7，8，10，12，13，则其方差的值为______．
15. 已知向量a ⃗ =(−2,1),b ⃗ =(1,0)，则|2a ⃗ −3b ⃗ |= ______ ．
16. 函数y =2cos(2x −π4)(x ∈[−π2,π
2])的单调递增区间是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 已知π2<α<π，cosα=−4
5．
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α+cos 2α的值．
18.同时抛掷2颗质地均匀的骰子，
求(1)点数和为8的概率；
(2)点数之和大于5小于10的概率；
(3)点数之和大于3的概率．
19.已知向量a⃗,b⃗ 不共线，c⃗=k a⃗+b⃗ ,d⃗=a⃗−b⃗ ．
(1)若c⃗//d⃗，求k的值，并判断c⃗，d⃗是否同向；
(2)若|a⃗|=|b⃗ |，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，求当k为何值时，．
20.设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB=√3b
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，c=2，求边a．
21.已知函数f(x)=1
2cos2x+√3
2
sinxcosx，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时x的集合；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．
22.已知向量a⃗=(cos3x
2−sin3x
2
),b⃗ =(cos x
2
,−sin x
2
),x∈[0,π
2
]，若函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −1
2
λ|a⃗+b⃗ |的
最小值为−3
2
求实数λ的值。

【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题考查了分层抽样，根据有大型、中型与小型商店共1500家，它们的家数之比为1：5：9.用分层抽样抽取其中的30家进行调查，做出中型商店所占的比例，得到结果．
解：∵有大型、中型与小型商店共1500家，它们的家数之比为1：5：9．
用分层抽样抽取其中的30家进行调查，
∴大型商店要抽取30×115=2，中型商店要抽取30×515=10，
小型商店要抽取30×915=18．
故选A ．
2.答案：D
解析：
本题主要考查向量的加减运算.属于基础题．
利用平面向量的加减法则，即可得答案．
解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．
3.答案：C
解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,4)，
∴a ⃗ −b ⃗ =(2,1)−(−3,4)=(5,−3)．
故选：C ．
利用向量的坐标运算即可得出．
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
4.答案：D
解析：
本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
应用互斥事件和对立事件的定义求解．
解：对于A，都包含1个白球这种事件，不互斥，故A不对；
对于B，都包含1个白球这种事件，不互斥，故B不对；
对于C，是互斥事件，还有可能2个都是红球，不是对立事件，
对于D，至少有1个白球与都是红球是整个事件，不可能同时发生，是对立事件；
故选D．
5.答案：B
解析：
本题考查了通过散点图判断两个变量的相关关系的应用问题，是基础题．
观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，是负相关，
y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，是正相关．
解：对于A，散点图呈片状分布，不具相关性；
对于B，散点图呈带状分布，且y随x的增大而减小，是负相关；
对于C，散点图中y随x的增大先增大再减小，不是负相关；
对于D，散点图呈带状分布，且y随x的增大而增大，是正相关．
故选B．
6.答案：B
解析：
本题考查平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，涉及同角三角函数基本关系，属于基础题．
由平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，结合同角三角函数基本关系易得答案．
解：∵a⃗=(1,√3),b⃗ =(cosθ,sinθ)，a⃗//b⃗ ，∴1×sinθ−√3×cosθ=0．
即sinθ=√3cosθ，
∴tan θ=√3．
故选B．
7.答案：A
解析：
本题主要考查线性回归方程，属于基础题．
解：由题意知x=1
4(10+x0),y=1
4
(15+y0)，
样本中心点的坐标为(1
4(10+x0),1
4
(15+y0))，
∵线性回归方程为ŷ=x+2，
∴1
4(15+y0)=1
4
(10+x0)+2，
解得x0−y0=−3，
故选A．
8.答案：A
解析：解：∵A+B+C=π，
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
∴由正弦定理可得：a=bcosC+ccosB，
由于a=bsinB+csinC，B，C为锐角，
则：sinB=cosC，cosB=sinC，
所以：B=π
2
−C，
即：B+C=π
2
，
所以：A=π
2
．
则：△ABC为直角三角形．
故选：A．
利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=sinBcosC+cosBsinC，利用正弦定理即
本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
9.答案：C
解析：
本题考查频率分布直方图的识别和计算．属于基础题．
先求出体重在[65,75]内的学生的频率，再根据频数=总数×频率公式计算，即可得到答案．
解：体重在[65,75]内的学生的频率为(0.037+0.013)×5=0.25，
故人数大约为1200×0.25=300．
故选C．
10.答案：D
解析：
本题考查了向量的数量积、向量的模，向量平行，是基础题．
由平面向量的相关知识逐项判断即可得出正确结果．
解：向量的数量积不满足结合律，A错误；
当非零向量a⃗、b⃗ 方向相反时不满足|a⃗−b⃗ |≤|a⃗+b⃗ |，B错误；
若a⃗·b⃗ =a⃗·c⃗，则a⃗·(b⃗ −c⃗ )=0，
则a⃗与b⃗ −c⃗垂直时也满足上式，C错误；
因为a⃗、b⃗ 、c⃗是非零向量，故D正确．
故选D．
11.答案：A
解析：解：函数y=sin2x的图象向左平移π
4
个单位，得
y=sin2(x+π
4)=sin(2x+π
2
)=cos2x．
故选：A．
把函数y=sin2x的图象向左平移π
4个单位，只需要在函数解析式中以x+π
4
替换x，利用诱导公式化
本题主要考查三角函数的图象平移．三角函数的平移原则为“左加右减，上加下减”，属中档题． 12.答案：A
解析：
本题考查了二倍角公式与正弦函数的单调性，属于基础题．
利用二倍角公式与正弦函数的单调性即可得出．
解：∵ω>0，且函数f(x)=4sin
ωx 2cos ωx 2=2sinωx 在[−π4,π3]上单调递增， ∴−π2≤−ωπ4≤ωx ≤
ωπ3≤π2， 解得0<ω≤32．
故选A ．
13.答案：12
解析：
此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．
由α，β都是锐角，得出α+β的范围，由cosα和cos(α+β)的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和sin(α+β)的值，然后把所求式子的角β变为(α+β)−α，利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
解：∵α，β都是锐角，∴α+β∈(0,π)，
又cosα=17，cos(α+β)=−1114，
∴sinα=4√37，sin(α+β)=5√314
， 则cosβ=cos[(α+β)−α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=−
1114×17+5√314×4√37 =−11+6014×7=4914×7=12．
故答案为：1
2
．
14.答案：26
5
解析：
本题考查了方差的公式，属于基础题．
将数据直接代入方差计算公式可得答案．
解：因为样本平均数x=7+8+10+12+13
5
=10，
故方差s2=1
5
[(7−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]
=26
5
，
故答案为26
5
．
15.答案：√53
解析：解：∵向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，∴a⃗2=5，b⃗ 2=1，a⃗⋅b⃗ =−2+0=−2，
∴|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=√53，
故答案为√53．
求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，由|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2求得结果．
本题考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，是解题的关键．
16.答案：[−3π
8,π8 ]
解析：解：函数y=2cos(2x−π
4
)，
令−π+2kπ≤2x−π
4
≤2kπ，k∈Z，
解得−3π
8+kπ≤x≤π
8
+2kπ，k∈Z，
当k=0时，−3π
8≤x≤π
8
，
∴函数y =2cos(2x −π4)在x ∈[−π2,π2]的单调递增区间是[−
3π8,π8]. 故答案为：[−3π8,π8].
求出函数y =2cos(2x −π4)在R 上的单调增区间，再求函数y 在x ∈[−π2,π2]的单调递增区间．
本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
17.答案：解：(1)因为cosα=−45，π2<α<π，
所以sinα=35， 所以tanα=sinαcosα=−34
. (2)sin2α=2sinαcosα=−2425
. cos2α=2cos 2α−1=725， 所以sin2α+cos2α=−2425+725=−1725．
解析： 解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式与诱导公式．
(1)根据同角三角函数的基本关系可得答案．
(2)利用二倍角公式与诱导公式对已知进行化简，进而结合(1)可得答案．
18.答案：解：将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件，
(1)记“点数之和为8”为事件A ，则事件A 中含有
(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共5个基本事件，
故点数之和为8的概率为：P(A)=536；
(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B ，则事件B 中含有
(1,5)、(1,6)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、
(3,6)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、
(5,4)、(6,1)、(6,2)、(6,3)，共计20个，
故点数之和大于5小于10的概率为：P(B)=2036=59；
(3)记“点数之和大于3”为事件C ，则事件C 为：“点数之和不大于3”，
所以事件C 中含有(1,1)、(1,2)、(2,1)，共计3个，
则P(C)=1−P(C)=1−336=1112，
故点数之和大于3的概率为：P(C)=1112．
解析：由题意可知总的基本事件的个数有36个，通过列举的方式分别可得
(1)点数之和为8(2)点数之和大于5小于10(3)点数之和大于3所包含的基本事件数，由概率公式可得．
对于问题(3)，可先求出点数之和不大于3的概率．
本题考查古典概型的求解，列举对基本事件是解决问题的关键．
19.答案：解：(1)∵c⃗// d⃗，故c⃗=λ d⃗，
即k a⃗+b⃗ =λ(a⃗−b⃗ )．
又a⃗,b⃗ 不共线，
∴k=λ，1=−λ，即k=λ=−1，
即c⃗=− d⃗，
故c⃗与d⃗反向；
(2)c⃗⊥d⃗，
即c⃗⋅d⃗=(k a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )
=k a⃗2−b⃗ 2+(1−k)a⃗⋅b⃗
=(k−1)a⃗2+(1−k)|a⃗|2cos60°=0，
即k−1+1
2
(1−k)=0，
解得k=1，
则当k为1时，c⃗⊥d⃗．
解析：本题考查向量共线的坐标表示和垂直的条件：数量积为0，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
(1)运用向量共线定理，解方程即可得到所求k；计算可得c⃗, d⃗不同向；
(2)运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程即可得到所求值．
20.答案：解：(1)由正弦定理知a
sinA =b
sinB
，
又∵2asinB=√3b∴sinA=√3
2
，
因为A为锐角则A=60°，
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bc⋅cosA=32+22−2⋅3⋅2⋅1
2
=7，
故a =√7． 解析：(1)直接利用正弦定理，求出A 的正弦函数值，即可求角A 的大小； (2)利用(1)的结果，通过b =3，c =2，结合余弦定理直接求解即可得到求边a ． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力． 21.答案：解：(1)f(x)=12⋅1+cos2x 2+√32⋅12sin2x =12sin(2x +π6)+14，故[f(x)]min =−1
4． 令2x +π6=2kπ−π2，得x =kπ−π
3，k ∈Z ．
故f(x)取最小值时x 的集合为{x|x =kπ−π3,k ∈Z}．
(2)g(x)=f(x −π6)=12sin[2(x −π6)+π6]+14=12sin(2x −π6)+14
， 令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，
所以，g(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z
解析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最小值，得出结论．
(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数g(x)的单调递增区间．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最小值和单调性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．
22.答案：解：a ⃗ ⋅b ⃗ =cos2x,|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos2x =2|cosx |，
∵α∈[0,π2],∴|a ⃗ +b ⃗ |=2cosx ，
f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −2λ|a ⃗ +b ⃗ |=2(cosx −λ)2−1−2λ，
∵x ∈[0,π2].设，
g(t)=2(t −λ)2−1−2λ,t ∈[0,1],对称轴t =λ，
当λ<0时，符合，
当0≤λ≤1时，f(x)min =−1−2λ2=−32，解得λ=1
2．
当λ>1时，f(x)min =1−4λ=−32,解得λ=58不符合．
综上λ=1
．
2
解析：本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，以及二次函数的最值，属于基础题．
求出f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |=2(cosx−λ)2−1−2λ，令，则g(t)=2(t−λ)2−1−2λ,t∈[0,1],对称轴t=λ，分三种情况加以讨论．。