2019年江西省抚州市金溪二中中考数学三模试卷 含解析

2019年中考数学三模试卷
一、选择题
1．实数a在数轴上的位置如图所示，则a的值可能为（）
A．﹣2021B．﹣2019C．﹣2032D．﹣2
2．在“创新活力之城，美丽幸福抚州”行动引领下，2018年抚州市GDP达到1382.40亿元，其中1382.40亿用科学记数法表示为（）
A．1.3824×1011元B．1.3824×1010元
C．1.3824×1012元D．1.3824×109元
3．如图是一个传统的陶瓷茶杯，其俯视图是（）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（）
A．（﹣2a﹣1）2＝4a2+4a+1B．2a2+3a3＝5a5
C．a3（﹣3a）2＝6a5D．a3÷a•＝a3
5．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的x与y部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345
y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当﹣＜x＜2时，y＜0；（3）c﹣a＜0；
（4）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧
则其中正确结论的个数是（）
A．4B．2C．3D．1
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
7．计算：＝．
8．分解因式：x2﹣9＝．
9．一组数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，则这组数据的中位数是．
10．如图，l1∥l2，菱形ABCD的顶点A、B分别在直线l1、l2上，直线l1过CD的中点E，AB⊥l2，AB＝4，则AE＝．
11．如图，矩形ABCD，E、F、H分别是AD、AB、CD的中点，∠FGH＝90°，CG＝3CH，AD＝10，AB＝6．则四边形EFGH的周长为．
12．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与直线AB交于点A（2，4），直线AB与x 轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是．
三、（共6小题，每小题3分，共30分）
13．计算：（﹣1）﹣1﹣|﹣|+sin30°+（+）0
14．如图，四边形ACEF为正方形，以AC为斜边作Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝8，BC ＝6，延长BC交FE的延长线于点D．求DF的长．
15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2019．
16．在一个不透明的布袋中装有3个小球，小球上分别标有数字﹣2、1、4，所有小球除了数字不同之外，其他都完全相同．
（1）随机从布袋中摸出一个小球，则摸出的小球标有数字﹣2的概率为；
（2）小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为a的值，不放回，再从布袋中随机模出另一个小球，记下数字作为b的值，请用列表法或画树状图法，求出坐标点（a，b）在第一象限的概率．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高；
（2）若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE．
18．为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中∠α的度数是，并把图2条形统计图补充完整．
（2）抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在级；
（3）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．
四、（共3小题，每小题8分，共24分）
19．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4S店的汽车销量自2017年起逐月增加．据统计，该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆．
（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率．
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种型号．已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售价为25万元/辆（根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍），假设所购进车辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进A，B两种型号车各多少辆？
最大利润为多少？
20．如图，直线y＝x+b与x轴，y轴分别交于A，B（0，2）两点，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点M，过M作MC⊥x轴于点H，且AB：AM＝1：2．
（1）求k、b的值；
（2）连接MN，点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，MN⊥AB，求N点坐标．
21．健腹轮是一种可锻炼肌肉、关节、减轻体重的小型推动器，由于锻炼时所需要的场地简单，所以深受广大健身者的喜爱，如下图，图1是健身爰好者小明在使用健腹轮锻炼的准备阶段，其侧面示意图下图图2，健腹轮圆O的直径为15cm，小明的身高166cm，下肢CD＝100cm，头部AB＝22cm，手臂长BO＝60cm，CD与地面所夹锐角成70°，手臂OB与水平面所夹锐角为80°．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34．）
（1）求此时小明的臀部C点与地面的距离；
（2）求此时小明的头部A点与地面的距离．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图，CD是⊙O的直径，∠A＝∠D，割线AB交⊙O于E点，交CD于F点，连接BC、DE、CE，CE＝EF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AE＝4．
①求证：BE是直径；
②求的长．（结果保留π）
．
23．如图，矩形ABCD中，AD＝8，AB＝2，P是AD上一动点，F是射线BC上一动点，tan∠BFP＝．
探究1：（1）若设AP＝x，BF＝y．
①用含x的式子表示PD的长为，用含y的式子表示CE、DE的长分别
为、；
②写出y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是．
探究2：（2）①列表：补全表格
x…12345678…
y……
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点；
③连线：在平面直角坐标系中，请画出该函数的图象；
探究3：（3）当△BPF是等腰三角形时，求AP的长．
六、（共1小题，共12分）
24．如图，已知∠OBB1＝30°，点A1、A2、A3、…在x轴上，点B1，B2，B3，…在射线BB1上，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，若OB＝1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过A n﹣1、B n、A n三点的抛物线称为y n．
（1）写出A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；
（2）求出抛物线y1和y2的解析式；
（3）若把△A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2019A′2019，点A2019与A′2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A′2019是什么特殊四边形？并说
明理由；
（4）若抛物线y n和y n+1的对称轴分别交x轴于点∁n和C n+1，连接B n﹣1∁n并延长交y n+1的对称轴于D，请判断△B n﹣1B n+1D的形状（不需证明），求出B n+1D的长，并说明理由．
参考答案
一、精心选一选（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）
1．实数a在数轴上的位置如图所示，则a的值可能为（）
A．﹣2021B．﹣2019C．﹣2032D．﹣2
【分析】直接利用实数与数轴得出a的可能的值．
解：如图所示：a的值可能为：﹣2019．
故选：B．
2．在“创新活力之城，美丽幸福抚州”行动引领下，2018年抚州市GDP达到1382.40亿元，其中1382.40亿用科学记数法表示为（）
A．1.3824×1011元B．1.3824×1010元
C．1.3824×1012元D．1.3824×109元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1382.40亿＝138240000000＝1.3824×1011．
故选：A．
3．如图是一个传统的陶瓷茶杯，其俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
解：俯视图如选项C示，
故选：C．
4．下列运算正确的是（）
A．（﹣2a﹣1）2＝4a2+4a+1B．2a2+3a3＝5a5
C．a3（﹣3a）2＝6a5D．a3÷a•＝a3
【分析】根据完全平方公式、合并同类项、积的乘方法则和单项式乘单项式、分式的乘除法法则计算，判断即可．
解：A、（﹣2a﹣1）2＝4a2+4a+1，计算正确；
B、2a2与3a3不是同类项，不能合并，计算错误；
C、a3（﹣3a）2＝9a5，计算错误；
D、a3÷a•＝a，计算错误；
故选：A．
5．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
【分析】根据题意可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则长为2a，大正方形的边长为4a，再根据勾股定理分别求出各个三角形的三条边，求出比值即可得四个三角形中是相似三角形的是图①与图④．
解：根据题意可知：
小长方形的长是宽的2倍，
设小长方形的宽为a，则长为2a，大正方形的边长为4a，
∴图①中三角形的三条边的长度分别为：
2a、＝2a、＝2a；
图②中三角形的三条边的长度分别为：
2a、a、5a；
图③中三角形的三条边的长度分别为：
2a、2a、4a；
图④中三角形的三条边的长度分别为：
a、a、5a；
∵＝＝＝，
∴四个三角形中是相似三角形的是图①与图④．
故选：D．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的x与y部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345
y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当﹣＜x＜2时，y＜0；（3）c﹣a＜0；
（4）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧
则其中正确结论的个数是（）
A．4B．2C．3D．1
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点的纵坐标为0对各小题分析判断即可得解．
解：（1）由表可知，x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4，故本小题错误；
（2）若y＜0，则x的取值范围为﹣1＜x＜3，则当﹣＜x＜2时，y＜0，故本小题正确；
（3）由表可知抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴的交点为（0，﹣3），所以a＞0，c ＜0，则c﹣a＜0，故本小题正确；
（4）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0），（3，0），它们分别在y轴两侧，故本小题正确；
综上所述，正确结论的个数是3．
故选：C．
二、细心填一填（每小题3分，共18分）
7．计算：＝1．
【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，进而得出答案．
解：原式＝3﹣2
＝1．
故答案为：1．
8．分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
【分析】直接利用公式法分解因式得出答案．
解：x2﹣9＝x2﹣32＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
9．一组数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，则这组数据的中位数是5．【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据叫做众数得出x的值，将数据从小到大排列可得出中位数．
解：∵数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，
∴x＝8，
将数据从小到大排列为2，3，4，6，8，8，
则中位数是＝5．
故答案为：5．
10．如图，l1∥l2，菱形ABCD的顶点A、B分别在直线l1、l2上，直线l1过CD的中点E，AB⊥l2，AB＝4，则AE＝2．
【分析】由菱形的性质可得AB＝CD＝AD＝4，AB∥CD，可得CD⊥l1，由勾股定理可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD＝4，AB∥CD，
∵AB⊥l2，
∴CD⊥l1，
∵点E是CD中点，
∴DE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
故答案为：2．
11．如图，矩形ABCD，E、F、H分别是AD、AB、CD的中点，∠FGH＝90°，CG＝3CH，AD＝10，AB＝6．则四边形EFGH的周长为2+4．
【分析】如图，连接AC，BD，由矩形的性质可得AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，AC＝BD，由勾股定理可求AC的长，由三角形的中位线定理可求EF，EH的长，由勾股定理可求FG，GH的长，即可求解．
解：如图，连接AC，BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，AC＝BD，
∴AC＝BD＝＝＝2，
∵E、F、H分别是AD、AB、CD的中点，
∴BF＝CH＝3，EF＝BD＝，EH＝AC＝，
∵CG＝3CH，
∴CG＝9，
∴BG＝1，
∴FG＝＝＝，GH＝＝＝3，
∴四边形EFGH的周长＝EF+EH+GH+FG＝＝2+4，故答案为：2+4．
12．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与直线AB交于点A（2，4），直线AB与x 轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是（2，2）或（2，6）或（6，﹣2）．
【分析】先把A点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝，再利用反比例函数解析式确定C（4，2），讨论：当AB为边或AB为对角线，利用平行四边形的性质和点平移的坐标规律确定D点坐标．
解：把A（2，4）代入y＝得k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝4时，y＝＝2，则C（4，2），
当A点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到B点，则C点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到D点，D点坐标为（6，﹣2）；
当B点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到A点，则C点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到D点，D点坐标为（2，6）；
当C点先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到A点，则B点先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到D点，D点坐标为（2，2）；
综上所述，D点坐标为（2，2）或（2，6）或（6，﹣2）．
三、（共6小题，每小题3分，共30分）
13．计算：（﹣1）﹣1﹣|﹣|+sin30°+（+）0
【分析】先计算负整数指数幂、绝对值、代入三角函数值并计算零指数幂，再进一步计算加减可得．
解：原式＝＝．
14．如图，四边形ACEF为正方形，以AC为斜边作Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝8，BC ＝6，延长BC交FE的延长线于点D．求DF的长．
【分析】证明△ABC∽△CED，推出＝，构建方程求解即可．
解：∵Rt△ABC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝10
∵正方形ACEF
∴AC＝CE＝10
∠CED＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE
∵∠B＝∠CED＝90°，
∴△ABC∽△CED
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．
15．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2019．
【分析】先把原式子化简，运算顺序是先计算括号内，再把除法化为乘法，计算出式子，最后代入a＝2019即可．
解：原式＝
＝
＝a﹣1．
当a＝2019时，原式＝2019﹣1＝2018．
16．在一个不透明的布袋中装有3个小球，小球上分别标有数字﹣2、1、4，所有小球除了数字不同之外，其他都完全相同．
（1）随机从布袋中摸出一个小球，则摸出的小球标有数字﹣2的概率为；
（2）小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为a的值，不放回，再从布袋中随机模出另一个小球，记下数字作为b的值，请用列表法或画树状图法，求出坐标点（a，b）在第一象限的概率．
【分析】（1）共有3种结果，其中标有数字﹣2的只有一种，可求出相应的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出（a，b）在第一象限的结果数，进而求出概率．
解：（1）袋中共有标有数字﹣2、1、4的3个小球，而标有﹣2的只有1个，
因此，随机从布袋中摸出一个小球，则摸出的小球标有数字﹣2的概率为，
故答案为：．
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
在这6种结果中，只有（1，4），（4，1）这两点在第一象限，
所以坐标点（a，b）在第一象限的概率为＝．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高；
（2）若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE．
【分析】（1）根据BC是圆的直径，直径所对圆周角是直角即可画出平行四边形ABCD 的边CD上的高；
（2）根据CD与圆相切，根据切线长定理可得AD＝DC，得平行四边形ABCD是菱形，
根据菱形对角线互相垂直平分，直径所对圆周角是直角即可画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE．
解：（1）如图①所示，AC为所求的高；
（2）如图②所示，AE为所求的高．
18．为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整．
（2）抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在C级；
（3）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出本次抽查的学生数，从而可以求得∠α的度数和C级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中补充完整的条形统计图和中位数的定义可以解答本题；
（3）根据题意和统计图中的数据可以计算出抽取的这部分学生体育的平均成绩．解：（1）本次抽查的学生有：12÷30%＝40（人），
∠α的度数是：360°×＝54°，
C级学生有：40﹣6﹣12﹣8＝14（人），补全的条形统计图如右图所示，
故答案为：54°；
（2）由统计图可得，
抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在C级，
故答案为：C；
（3）＝72（分），
答：抽取的这部分学生体育的平均成绩是72分．
四、（共3小题，每小题8分，共24分）
19．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某新能源汽车4S店的汽车销量自2017年起逐月增加．据统计，该店1月份销售新能源汽车64辆，3月份销售了100辆．
（1）求该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率．
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再购进300辆新能源汽车，分为A，B两种型号．已知A型车的进价为12万元/辆，售价为15万元/辆，B型车的进价为20万元/辆，售价为25万元/辆（根据销售经验，购进A型车的数量不少于B型车的2倍），假设所购进车辆能够全部售完，为使利润最大，该店应购进A，B两种型号车各多少辆？
最大利润为多少？
【分析】（1）利用增长率公式得出方程求出答案；
（2）利用A种和B种车的利润和等于总利润，进而得出答案．
解：（1）设该店从1月到3月的月均增长率为a，由题意可得：
64（1+a）2＝100，
解得：a1＝＝25%，a2＝﹣（不合题意舍去），
答：该店1月份到3月份新能源汽车销售的月均增长率为25%；
（2）设购进A种车x辆，则购进B种车（300﹣x）辆，设总利润为y，
由题意可得：x≥2（300﹣x），
解得：x≥200，
则y＝（15﹣12）x+（25﹣20）（300﹣x）
化简得：y＝﹣2x+1500，
则y随着x的增加而减小，
故当x＝200时，利润y最大，将x＝200代入式中，可得利润最大值为：y＝1100．20．如图，直线y＝x+b与x轴，y轴分别交于A，B（0，2）两点，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点M，过M作MC⊥x轴于点H，且AB：AM＝1：2．
（1）求k、b的值；
（2）连接MN，点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，MN⊥AB，求N点坐标．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝x+b可得b＝2，则A（﹣2，0），证明△AOB∽△ACM，利用相似比得到MC＝4，OC＝2，则M（2，4），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值；
（2）过N作ND⊥MC，如图，先证明△MND为等腰直角三角形得到DM＝DN，设N （m，），所以m﹣2＝4﹣，然后解关于m的方程即可．
解：（1）把B（0，2）代入y＝x+b得b＝2，
∴直线解析式为y＝x+2，
当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，则A（﹣2，0），
∵MC⊥x轴，
∴MC∥OB
∴△AOB∽△ACM，
∴＝，
∴MC＝2OB＝4，AC＝2OA＝4，
∴OC＝2，
∴M（2，4），
∴k＝2×4＝8，
即k＝8，b＝2；
（2）过N作ND⊥MC，如图，
∵MC＝AC，
∴△ACM为等腰直角三角形，
∴∠AMC＝45°，
∴∠NMD＝45°，
∴△MND为等腰直角三角形，
∴DM＝DN，
设N（m，），而M（2，4），
∴m﹣2＝4﹣，
整理得m2﹣6m+8＝0，解得：m1＝4，m2＝2（舍去），
∴N（4，2）．
21．健腹轮是一种可锻炼肌肉、关节、减轻体重的小型推动器，由于锻炼时所需要的场地简单，所以深受广大健身者的喜爱，如下图，图1是健身爰好者小明在使用健腹轮锻炼的准备阶段，其侧面示意图下图图2，健腹轮圆O的直径为15cm，小明的身高166cm，
下肢CD＝100cm，头部AB＝22cm，手臂长BO＝60cm，CD与地面所夹锐角成70°，手臂OB与水平面所夹锐角为80°．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34．）
（1）求此时小明的臀部C点与地面的距离；
（2）求此时小明的头部A点与地面的距离．
【分析】（1）过C点作CE⊥DE于E点，根据三角函数即可求解；
（2）过A作AM⊥CE于M，过O作ON⊥CE于N过B作BG⊥ON交AM、ON于F、G点，可以证明△ABF∽△ACM，对应边成比例可得CM＝3BF，再根据三角函数即可求解．
解：（1）如图，
过C点作CE⊥DE于E点
在Rt△CDE中
sin70°＝，
∴CE＝CD sin70°≈94（cm）
此时小明的臀部C点与地面的距离94cm；
（2）过A作AM⊥CE于M，
过O作ON⊥CE于N
过B作BG⊥ON交AM、ON于F、G点
在Rt△BOG中
BG＝OB sin80°≈60×0.98＝58.8，
∵BF∥CM，
∴△ABF∽△ACM
∴＝，
∵AB＝22，AC＝166﹣100＝66，
∴CM＝3BF，
∵FB+FG＝OB•sin80°≈58.8
CM+MN＝CE﹣NE＝94﹣7.5＝86.5，
∴FB＝13.85，MC＝3BF＝41.55
ME＝94﹣41.55＝52.45（cm）
答：小明的头部A点与地面的距离为52.45cm．
五、（共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图，CD是⊙O的直径，∠A＝∠D，割线AB交⊙O于E点，交CD于F点，连接BC、DE、CE，CE＝EF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，AE＝4．
①求证：BE是直径；
②求的长．（结果保留π）
．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CED＝90°，求得∠ECF＝∠CFE，根据切线的性质健康得到结论；
（2）解：①∠B根据三角形的内角和得到∠BCD＝30°，求得∠ECF＝60°，根据圆周角定理得到BE是⊙O的直径；
②根据三角形的内角和得到∠ACE＝30°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵CE＝EF，
∴∠ECF＝∠CFE，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠EFC＝90°，即CD⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：①∠B＝∠D＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝90°，
在△ABC中
∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BCD＝30°，
∵∠A+∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝60°，
∴∠ECF＝60°，
∴∠ECB＝60°+30°＝90°
∴BE是⊙O的直径；
②∵BE是⊙O的直径，
∴O与F点重合，
∴∠BOD＝60°，
∵∠ACF＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴CE＝AE＝4，
在Rt△BCE中，
∵∠B＝30°，
∴BE＝2CE＝8，
∴BD的长为＝π．
23．如图，矩形ABCD中，AD＝8，AB＝2，P是AD上一动点，F是射线BC上一动点，tan∠BFP＝．
探究1：（1）若设AP＝x，BF＝y．
①用含x的式子表示PD的长为8﹣x，用含y的式子表示CE、DE的长分别为y ﹣2、4﹣y；
②写出y与x的函数关系式为y＝x+，自变量x的取值范围是0≤x≤8．
探究2：（2）①列表：补全表格
x…12345678…
y……
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点；
③连线：在平面直角坐标系中，请画出该函数的图象；
探究3：（3）当△BPF是等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）①利用矩形的性质求出PD，解直角三角形求出EC，DE即可．
②如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出FH，证明四边形ABHP是矩形，利用矩形的性质解决问题即可．
（2）利用函数关系式求出x＝2或x＝5时的函数值，利用描点法画出函数图象即可．（3）由题意：BP＝，BF＝x+，PF＝，分三种情形，当BP＝BF时，当BP＝BF时，当BF＝PF时，分别求解即可解决问题．
解：（1）①∵四边形ANCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝2，∠BCD＝∠ECF＝90°，
在Rt△ECF中，∵tan∠EFC＝＝，
∴EC＝（y﹣8）＝y﹣2，
∴DE＝CD﹣CE＝2﹣（y﹣2）＝4﹣y，PD＝8﹣x 故答案为8﹣x，y﹣2.4﹣y．
②如图1中，作PH⊥BC于H．
∵∠A＝∠ABH＝∠PHB＝90°，
∴四边形ABHP是矩形，
∴BH＝PA＝x，AB＝PH＝2，
在Rt△PHF中，∵tan∠PFH＝＝，
∴FH＝，
∵BH＝BH+HF＝y，
∴y＝x+（0≤x≤8）．
故答案为y＝x+，0≤x≤8．
（2）∵y＝x+，
∴x＝2时，y＝，
x＝5时，y＝
故答案为，．
函数的图象如图所示：
（3）∵BP＝，BF＝x+，PF＝，
当BP＝BF时，
＝x+，
解得x＝﹣（舍弃）
当BP＝BF时，
＝
x＝
当BF＝PF时，
x+＝
x＝
当△BPF是等腰三角形时，AP的长为或．
六、（共1小题，共12分）
24．如图，已知∠OBB1＝30°，点A1、A2、A3、…在x轴上，点B1，B2，B3，…在射线BB1上，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，若OB＝1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过A n﹣1、B n、A n三点的抛物线称为y n．
（1）写出A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；
（2）求出抛物线y1和y2的解析式；
（3）若把△A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2019A′2019，点
A2019与A′2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A′2019是什么特殊四边形？并说明理由；
（4）若抛物线y n和y n+1的对称轴分别交x轴于点∁n和C n+1，连接B n﹣1∁n并延长交y n+1的对称轴于D，请判断△B n﹣1B n+1D的形状（不需证明），求出B n+1D的长，并说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的三边相等可以推知点A1、A2、A3的坐标，由解直角三角形可以求得B1、B2、B3的坐标．
（2）设抛物线y1的解析式为y1＝ax（x﹣1）把B1（，）代入y1得：a＝﹣2，即可解决问题，同法可得y2的解析式．
（3）结论：四边形A2018A2019B2019A′2019是菱形．根据四边相等的四边形是菱形证明即可．
（4）结论：△B n﹣1B n+1D是等边三角形．利用等边三角形的性质，探究规律解决问题即可．
解：（1）∵OB＝1，△OA1B1是等边三角形，
∴∠A1OB1＝60°，
∵∠A1OB1＝∠OBB1+∠BB1O＝60°，∠OBB1＝30°，
∴∠OBB1＝∠OB1B＝30°，
∴OB＝OB1＝OA1＝1，
∴A1（1，0）同法可得：A2（3，0）、A3（7，0），
由等边三角形的性质可知：B1（，）、B2（2，）、B3（5，2）．
（2）设抛物线y1的解析式为y1＝ax（x﹣1）
把B1（，）代入y1得：a＝﹣2
∴y1＝﹣2x2+2x，
同理可得：y2＝﹣x2+4x﹣3．
（3）结论：四边形A2018A2019B2019A′2019是菱形．
由折叠性质可知：△A2018B2019A′2019是等边三角形，
∵△A2018B2019A2019是等边三角形，
∴A′2019B2019＝B2019A2019＝A2018A2019＝A2018A′2019
∴四边形A2018A2019B2019A′2019是菱形．
（4）结论：△B n﹣1B n+1D是等边三角形．
由意可得：B n﹣1（3×2n﹣3﹣1，2n﹣3）、B n+1（3×2n﹣1﹣1，2n﹣1），过B n﹣1作B n﹣1E⊥B n+1D，
∵△B n﹣1B n+1D是等边三角形，
∴B n﹣1E＝DE，
∴B n﹣1E＝2n﹣1﹣2n﹣3＝3×2n﹣3
∴B n+1D＝2B n﹣1E＝3×2n﹣2．。