上海娄山中学数学整式的乘法与因式分解单元测试卷(解析版)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
1．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．
解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0
∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；
（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．
【答案】(1)1；(2)3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．
【详解】
解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，
∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y=−1，
∴2x+y=2×1+(−1)=1；
(2)∵a−b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得
b 2+4b+
c 2−6c+13=0，
∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c−3)2=0，
∴b+2=0，c−3=0，
解得，b=−2，c=3，
∴a=b+4=−2+4=2，
∴a+b+c=2−2+3=3．
【点睛】
此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.
2．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：
()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣
⎦．
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；
（2）利用上面的式子计算：
222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；
（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）
12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =
12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12
×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，
故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12
[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =
12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =
12×（1+1+4） =12
×6 =3．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．
3．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.
（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.
【答案】（1）提公因式 ; （2）()20201x + ；（3）()11n x ++
【解析】
【分析】
（1）用的是提公因式法；
（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.
（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.
【详解】
解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()4
1x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……
由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +
（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，
=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，
=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，
=（1+x ）n +x （x+1）n ，
=（1+x ）n+1．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
4．（1）填空：()()a b a b -+= ；
22()()a b a ab b -++= ；
3223()()a b a a b ab b -+++= ．
（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且
2n ≥）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．
【答案】（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）342．
【解析】
试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．
试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；
3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；
3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；
故答案为22a b -，33a b -，44a b -；
（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为n n a b -；
（3）令98732222...222S =-+-+-+，
∴987321222...2221S -=-+-+-+-
=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．
考点：1．平方差公式；2．规律型．
5．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知22
4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22
(21)(44)0x x y y -++++=
即22(1)(2)0x y -++=
∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
∴1x y +=-.
题目：已知22
464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-
32
【解析】
【分析】 先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．
【详解】
解：将22464100x y x y +-++=，
化简得22694410x x y y -++++=，
即()()223210x y -++=．
∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，
∴3x = ，12y
， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-
=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
6．请你观察下列式子：
2(1)(1)1x x x -+=-
()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
根据上面的规律，解答下列问题：
（1）当3x =时，
计算201720162015(31)(333-+++…323331)++++=_________；
（2）设201720162015222a =+++…322221++++，则a 的个位数字为 ；
（3）求式子201720162015555+++…32555+++的和．
【答案】（1）20183
1-；（2）3；（3）2018554
- 【解析】
【分析】
（1）根据已知的等式发现规律即可求解；
（2）先根据x=2,求出a=20182-1，再发现2的幂个位数字的规律，即可求出a 的个位数字；
（3）利用已知的等式运算规律构造（5-1）×（2016201520142555...551++++++）即可求解.
【详解】
（1）∵2(1)(1)1x x x -+=- ()()23111x x x x -++=-
()()324111x x x x x -+++=-
()()4325111x x x x x x -++++=-
……
∴()()1122.1..11n n n n x x x x x x x --+-+++++=-+
故x=3时，201720162015(31)(3
33-+++…323331)++++=201831-
故填：201831-； （2）201720162015222a =+++…322221++++
=（2-1）201720162015(222+++…322221)++++=201821-
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64
∴2n 的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，
∵2018÷4=504…2，
∴20182的个位数为4，
∴201821-的个位数为3，
故填：3；
（3）201720162015555+++…32555+++ =
1(51)54-⨯⨯（201620152014555+++…2551+++） =
54×（5-1）（201620152014555+++…2551+++） =54
×（201751-） =2018554
- 【点睛】
此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.
7．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ；
（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
【答案】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848
【解析】
【分析】
（1）根据和平数的定义，即可得到结论；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ），即可得到结论．
（3）设这个“和平数”为abcd ，于是得到d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，求得2c+a=12k ，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】
解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设任意的两个“相关和平数”为abcd ，badc （a ，b ，c ，d 分别取0，1，2，…，9且a ≠0，b ≠0），则
abcd badc +=1100（a+b ）+11（c+d ）=1111（a+b ）；
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）设这个“和平数”为abcd ，则d=2a ，a+b=c+d ，b+c=12k ，
∴2c+a=12k ，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k ，
可知c+1=6k 且a+b=c+d ，
∴c=5则b=7，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k ，
可知c+2=6k 且a+b=c+d ，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为：2754和4848．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
8．阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．
（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．
（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．
（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？
【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个
【解析】
分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；
（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413
x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．
详解：（1）123123为六位连接数；
∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；
（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：
设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；
（3）设xyxy 为四位连接数，则
M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴
13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413
x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；
满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．
9．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得
()()2x 4x m x 3x n -+=++
则()22
x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34
m 3n +=-∴=．
解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．
【答案】()4,x + 20.
【解析】
【分析】
根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为()x a +，得
()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+
则()22
2x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 53
5a k -=∴-=-
解得：a 4=，k 20=
故另一个因式为()x 4+，k 的值为20
【点睛】
正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
10．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=
（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a 、b 、
m 、n 均为正整数）则有：=m 2+2n 2，所以a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明
就找到了一种把的式子化为平方式的方法．
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若（）2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a= ，b=
（2）若（2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），求a 的值．
【答案】（1）m 2+3n 2，2mn ；（2）13．
【解析】
试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a 、b 的表达式；（2）根据题意，4=2mn ，首先确定m 、n 的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a 的值．
试题解析：(1)∵)2，
∴2+3n 2
∴a=m 2+3n 2，b=2mn.
故a=m 2+3n 2，b=2mn ；
（2）由题意，得22
3{42a m n mn
=+= ∵4=2mn ，且m 、n 为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13。