安徽省皖江2018届高三最后一卷数学(理)试题(图片版)

D
O A B C
E 皖江名校数学参考答案（理科）
1.【解析】∵{3}A B = ，∴3m =-，即230x x --=，∴B =3,1-
2.【解析】设z a bi =+，则()12
z z a bi a bi i -=
-=+=-
，∴2b =-． 3.【解析】由1012162
a a =
+得1012212a a =+，812a =,又24a =，∴8216a a +=，即58a =. 4.【解析】由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误.
5.【解析】由双曲线的对称性可知()34,3P -，()44,3P
在双曲线上，且()14,2P 一定不再双曲线上， ∴()22,0P 也在双曲线上，∴2,a b ==c =e =
6.【解析】11,lg lg 31,3i S ===->-否；1313,lg +lg lg lg51,355i S ====->-否； 1515,lg +lg lg lg71,577i S ====->-否；1717,lg +lg lg lg91,799
i S ====->-否； 1919,lg +lg lg lg111,91111
i S ====-<-是，输出9,i =故选B ． 7.【解析】由(0)z ax by a b =+≥>，得1a z a y x b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点()6,2B 处取得最大值，
622a b +=，即： 31a b +=，直线10ax by +-=过定点()3,1.
8.【解析】如图，时间轴点所示，概率为55512111
P ==
9.【解析】如图，取BC 中点D ，13EB AB =，则2O B O C O D += ，∴()332A B O B O C O D =+= ，∵13E B A B =，∴EB OD = ，∴3ABC ABC BOC BEC
S S S S ∆∆∆∆==. 10.【答案】B 【解析】因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调，∴22T π≥，即202T πππωω≥⇒≥⇒<≤，
而()0T ππ--=≤；若T π=，则2ω=；若T π>，则2x π=-
是()f x 的一条对称轴，,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是其相邻的对称中心，所以34424
T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴2233T T ππω=⇒==.
11.【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，
外接球球心O 在过CD 中点E 且垂直于平面BCD 的直线l 上，
又点O 到,A D 距离相等，∴点O 又在线段AD 的垂直平分面α上，
故O 是直线l 与面α的交点，可知O 是直线l 与直线MN 的交点
（,M N 分别是左侧正方体对棱的中点） ∴32OE NE ==
，OD = 故三棱锥A BCD -外接球的半径R
=2
，表面积为11S π= 12.【解析】由()()2a u x v x x ⋅⋅=，得()()224ln
ln 0x a x m ex x m x ++-⋅+-=⎡⎤⎣⎦， 得1214ln 10m m a e x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++
-⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即121ln 12m m e x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 令1m t x =+，()()2ln g t e t t =-⋅，则()()22ln 11ln e e g t t t t t '=-+-=-+， 显然t e =是函数()g t '的唯一零点，易得()()m a x g t g e e ==，∴12e a
≤，即【解析】原式
()2cos 605cos5
-== cos5551cos5== 14.【答案】24【解析】()()4421211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，()()22
221421241T C x x +=-=-⎡⎤⎣⎦. 15.【答案】45
【解析】由抛物线的对称性不妨设()()111,0M x y y >，则112x +=，得()1,2M ， 法一：MF KF ⊥，在Rt MKF ∆中，2MF KF ==，所以MKO ∠=45 .
法二：因为()()1,0,0,0K O -，所以()()2,2,1,0K M K O == ，
可得2K M K O ⋅= ，1KM KO ==
cos cos ,2KM KO MKO KM KO KM KO
⋅∠===⋅ ，所以MKO ∠=45 . 16.【答案】30【解析】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴12(21)2,2221n n
n n n a S +-===--，∴122n n S -=-，()()112222n n n n S S --⋅+=-⋅， A D C
B E
O M N
∴()(
)222256
2562223022n n n n
n f n -+==-+≥=当且仅当216,n =即4n =时，等号成立，()min
30f n =
17.
【解析】(Ⅰ)由2222cos a c b ac B +-= ………………………………………………………………2分 2cos cos()sin cos ac B B ac A A
π--⇒= ………………………………………………………………4分 sin 21
A ∴=且02A π<<
4A π⇒= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）1350904590090B C B C C +=︒⎧⎪︒<<︒⇒︒<<︒⎨⎪︒<<︒⎩
………………………………………………………………8分 又2sin sin sin b c a B C A
===2sin ,2sin b B c C ∴== 2sin(135)2sin bc C C =︒-
⋅2sin(245)C =-︒ ……………………………………………10分
45245135sin(245)1C c ︒<-︒<︒⇒<-︒≤
，bc ∴∈ …………………………12分
18.【解析】(Ⅰ)如图1所示，连接11,AC AC 交于
M 点，连接MQ . ∵四边形11A ACC 是正方形，∴
M 是1AC 的中点 又已知Q 是1A B 的中点，∴1 2
MQ BC ∥ 又∵11B C BC ∥且11=2BC B C ，∴11 MQ B C ∥
即四边形11B C MQ 是平行四边形，∴11BQ C M ∥，
∵11C M AC ⊥，∴
11B Q AC ⊥ …………………………………………………………………………6分
(Ⅱ) 如图2所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，
令1122AC BC BC ===，
则)1,0A -
，)()()111,2,0,2,0,0,1,2A B B -，
∴)1,0CA =-
，)
112,0B A =- ，()10,1,2B B =- ，
设平面11A BB 的法向量为n (),,x y z =，则由n 11B A ⊥ ，n 1B B ⊥ ，
可得：2020
y y z -=-=⎪⎩
，可令y =
4,x z ==
∴平面11A BB 的一个法向量
n (=
设直线AC 与平面11A BB 所成角为α，
则
sin 31n CA n CA α⋅===⋅ . …………………………12分 19. 【解析】（Ⅰ）共8n +个城市，取出2个的方法总数是28n C +，其中全是小城市的情况有28C ， 故全是小城市的概率是()()28288748715
n C C n n +⨯==++， ∴()()872101514n n ++==⨯，∴7n +=，故7n =. …………………………………………4分
（Ⅱ）①0,1,2,3,4X =.
01874151(0)39C C P X C ===； 13874158(1)39C C P X C ===； (2)P X =22874152865
C C C ==； 318741556(3)195C C P X C ===； 43874152(4)39
C C P X C ===. 故X
012343939651953915
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………………8分
②若4球全是超大城市，共有4735C =种情况；若4球全是小城市，共有4870C =种情况；
故全为超大城市的概率为
47448735170353
C C C ==++. …………………………………………………12分
20.【解析】（Ⅰ）由已知，可得2
1()22
b c a c +=.又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，解得c a 2=
设椭圆C 方程：22
22143+=x y c c
， 当直线l 斜率不存在时，线段MN 长为c 32；………………………2分
当直线l 斜率存在时，设l 方程：c kx y +=，
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+c kx y c y c x 13422
22，得088)34(222=-++c kcx x k ，从而
3412164|34|1||22222
++⋅+⋅=+∆⋅+=k k k c k k MN c k c k k k c 32)
34(1132)34()24()44(32222222<+-⋅=++⋅+⋅=，…4分 易知当0=k 时，||MN 的最小值为c 3
64，从而1=c ，因此，椭圆C 的方程为：22143+=x y …6分 （Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，3
412164||222++⋅+⋅=k k k MN ，而 D
的半径=r ， 又直线OB 的方程为1=-y x k ，由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==+x k y y x 11342
2，得4312222+=k k x B ， 因此
4
3112||1)1(||222++⋅=⋅+-=k k x k OB B ， …………………………………………………………8分 由题意可知1sin 21∠==++POQ r OB r OB r
，要求∠POQ 的最大值，即求OB r 的最小值
而22
OB r
===342+=k u ，则)3
1,0(1,3∈>u u ， 因此
125)27(5743175)1()73(7
5||22≥+--=-+=-⋅+=u u u u u u r OB , ………………………10分 当且仅当
72=u ，即72=u 时等号成立，此时4
2±=k ， 所以1sin 22∠≤POQ ，因此26
π∠≤POQ ，所以∠POQ 的最大值为3π. 综上所述，∠POQ 的最大值为3
π，取得最大值时直线l 的斜率为4
2±=k .…………………………12分 21.【解析】（Ⅰ）由题意，()()()21212x x f x ax e ax x a e --⎡⎤'=+-++⎣⎦
()211212x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()1112
x e x ax a -=--+-.…………………………………………2分
①当0a =时，()()112
x f x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >， 所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减.所以()f x 的极大值为()15122f e e =
≠，不合题意.
②当0a >时，111a -<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a
<-或1x >， 所以()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()215122a f e e
+==，得2a =.综上所述2a =.…………………………………6分
（Ⅱ）令()
()2122x x x a x g a e e +=+，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，2102x x e +≥， 则()()ln 12b x g a +≤
对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()ln 102b x g a g +≤≤， 即()ln 1x x b x e
≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立. ①当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，
0x x e >，此时()ln 1x x b x e >+，不合题意. ②当0b >时，令()()ln 1x
x h x b x e =+-，[)0,x ∈+∞， 则()()()2111x x x x b be x h x e xe x x e
--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)2
1,0,x p x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增， 1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，
所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，
所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1x
b x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立. 01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <.
从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，
则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1x b x xe -+<，不符合题意.
综上所述，
1b ≥.………………………………………………………………………………………………12分22.
【解析】（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 0ρθ=，即2πθ=
()R ρ∈， 2C 的极坐标方程为((
22cos 21sin 30ρρθρθ--++=. ………………………………5分
（Ⅱ）2πθ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--++=，
得((22130ρρ-++=，解得11ρ=
4πθ=代入((22cos 21sin 30ρρθρθ--+++=，得
((
22130ρρ-++=，解得21ρ=故OAB ∆的面积为
(2
1sin 14142π⨯⨯=+………………………… 10分
23.【解析】（Ⅰ）233f x x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
，由条件得 3x 1t ≥-， 得 13t x -≤-或13t x -≥， …………………………………………………………………3分 ∴1133
t -=，即0t =或2t =. …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）原不等式等价于323133y y x x m ---+≤+⋅恒成立， 而
()()323132313x x x x --+≤--+=， ……………………………………………………………7分
∴333y y m -≤+⋅，则()3
33y y m ≥-恒成立， ∵()max 93334y y
⎡⎤-=⎣⎦，∴94m ≥，等号成立当且仅当33log 2
y =时成立. ………………………10分。