微点3 阿波罗尼斯圆与向量(学生版)

专题1
阿波罗尼斯圆及其应用微点3阿波罗尼斯圆与向量专题1
阿波罗尼斯圆及其应用微点3阿波罗尼斯圆与向量
【微点综述】
涉及线段定比的有些平面向量题，或是涉及数量积的等式，可以转化成三点共线问题，构造阿波罗尼斯圆，建立平面直角坐标系，利用阿波罗尼斯圆解决问题．
【典例刨析】
例1
1．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足1||2
c a -= ，则||2||a b c c b +-+- 最小值为__________.
例2
2．已知6BC =，2AC AB =，点D 满足()
22x y AD AB AC x y x y =+++ ，设(),f x y AD = ，若()()00,,f x y f x y ≥恒成立，则()00,f x y 的最大值为______________．
例3（2022浙江省宁波市鄞州中学高三其他）
3．已知向量,,a b c 满足1||||||1,12
a b c a b ===⋅= ，则11||22c a c b ++- 的取值范围是_______.例4
4．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足210PA PB λ⋅-+= 的点P 恰有两
个，则实数λ的取值范围是__________．
例5
5．已知,A B 是平面上两个定点，平面上的动点,C D 满足||||CA DA CB DB
m == ，若对于任意的
3m ≥，不等式k CD AB ≤ 恒成立，则实数k 的最小值为______．
例6
6．已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若||2||AD BD ≤ 恒成立，则
最小正整数t =__________.
【针对训练】
（2022·广东广州·高二期末）
7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A 、
B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）
的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，点P 满足3PA
PB =，则点P 的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），PA PB ⋅ 的最小值为___________.
（2022·江苏·高邮一中高二期末）
8．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P 到两定点A ，B 的距离之比满足PA t PB =(0t >且1t ≠，t 为常数)，则P 点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0)A -，(30)B ,，动点P 满足2PA PB =，则P 点的轨迹Γ为圆，该圆方程为_________；过点A 的直线交圆Γ于两点,C D ，且AC CD = ，则CD =_________．
9．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距
离为4，动点P 满足
PA
PB =则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为___________；PA PB ⋅ 最大值是___________.
10．在平面四边形ABCD 中，90BAD ︒
∠=，2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ ，则12
CB CD +的最小值为____．
11．在ABC ∆中，120A =︒，26AB AC ==，点D 满足233x y AD AB AC x y x y
=+++ ，则AD uuu v 的最小值为______.
12．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：0x y -=截得的弦
长为（1）求圆C 的方程；
（2）设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB = ，记点M 的轨迹为Γ.
①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；
②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT
为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.。