高三数学一轮复习优质教案5：2.7 函数的图象教学设计

2.7 函数的图象
『知识能否忆起』
一、利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．
二、利用基本函数的图象作图 1．平移变换
(1)水平平移：y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．
(2)竖直平移：y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到．
2．对称变换
(1)y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． (2)y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． (3)y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．
(4)要得到y ＝|f (x )|的图象，可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．
(5)要得到y ＝f (|x |)的图象，可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0时的图象．
3．伸缩变换
(1)y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．
(2)y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1
a 倍，纵坐标不
变而得到．
『小题能否全取』
1．一次函数f (x )的图象过点A (0,1)和B (1,2)，则下列各点在函数f (x )的图象上的是( ) A ．(2,2) B ．(－1,1) C ．(3,2)
D ．(2,3)
2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )
3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝a x的图象可能是下列四个图象中的()
4．为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度．
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．
『注意』对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．
2．一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．
考点一作函数的图象
典题导入
『例1』分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
画函数图象的一般方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
以题试法
1．作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －x 2|； (2)y ＝x ＋2x －1.
考点二
识图与辨图
典题导入
『例2』 (2012·湖北高考)已知定义在区间『0,2』上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )
“看图说话”常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
以题试法
2.(1)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f 3的值等于________．
(2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )
考点三
函数图象的应用
典题导入
『例3』 (2011·新课标全国卷)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈『－1,1』时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
若本例中f (x )变为f (x )＝|x |，其他条件不变，试确定交点个数．
由题悟法
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
2．利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．
以题试法
3．已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x .若f (x )*g (x )＝min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是________．(注意：min 表示最小值)
1．函数f (x )＝2x 3的图象( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称
D ．关于原点对称 2．函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )
3．为了得到函数y ＝1
2log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )
A ．纵坐标缩短到原来的1
2，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B ．纵坐标缩短到原来的1
2，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
4．设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )
5．函数y ＝lg
1
|x ＋1|
的大致图象为( )
6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ，a －
b ≤1，b ，a －b >1.
设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，
x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
A.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，3
2 B.(]－∞，－2∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 C.⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭
⎫1
4，＋∞
D.⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭
⎫1
4，＋∞ 7.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log
2f (x )的定义域是________．
8．函数f (x )＝x ＋1x
图象的对称中心为________．
9．如图，定义在『－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．
10．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x 2，x ∈[－1，2]，
x －3，x ∈2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；
(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．
11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．
12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1
x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a
x
，g (x )在区间(0,2』上的值不小于6，求实数a 的取值范围．
1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈『－1,1』)之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为()
2．已知定义在区间『0,1』上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0<x1<x2<1的任意x1、x2，给出下列结论：
①f(x2)－f(x1)>x2－x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)；
③f x1＋f x2
2<f⎝
⎛
⎭
⎫
x1＋x2
2.
其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
答案
『小题能否全取』
1．
『解析』选D 一次函数f (x )的图象过点A (0,1)，B (1,2)，则f (x )＝x ＋1，代入验证D 满足条件．
2．
『解析』选A 函数y ＝x |x |为奇函数，图象关于原点对称． 3．
『解析』选B 因a >0且a ≠1，再对a 分类讨论． 4．
『答案』右 3 5．
『解析』由题意a ＝|x |＋x
令y ＝|x |＋x ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解则a >0.
『答案』(0，＋∞)
『例1』
『答案』 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ，x ≥1，
－lg x ，0<x <1.
图象如图1.
(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.
(3)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x －1，x ≥0，
x 2＋2x －1，x <0.图象如图3.
以题试法
1．
『答案』(1)y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －x 2，0≤x ≤1，－x －x 2，x >1或x <0，
即y ＝⎩⎨
⎧
－⎝⎛⎭⎫x －122＋1
4
，0≤x ≤1，⎝⎛⎭⎫x －122
－14
，x >1或x <0，
其图象如图1所示(实线部分)．
(2)y ＝
x －1＋3x －1＝1＋3x －1
，先作出y ＝3
x 的图象，再将其向右平移1个单位，并向上
平移1个单位即可得到y ＝x ＋2
x －1
的图象，如图2.
典题导入
『例2』
『解析』 法一：由y ＝f (x )的图象知
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0≤x ≤1，1
1<x ≤2.
当x ∈『0,2』时，2－x ∈『0,2』，
所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10≤x ≤1，2－x 1<x ≤2，
故y ＝－f (2－x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－10≤x ≤1，
x －21<x ≤2.
法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.
『答案』 B
以题试法
2.
『解析』(1)∵由图象知f (3)＝1， ∴
1
f 3
＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f 3＝f (1)＝2. (2)∵对∀x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )是奇函数．f (0)＝0，y ＝f (x )的图象关于原点对称，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x ＋1)＝－ln(1－x )，由图象知符合上述条件的图象为D.
『答案』(1)2 (2)D
典题导入
『例3』
『解析』 根据f (x )的性质及f (x )在『－1,1』上的解析式可作图如下：
可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；0<x <10时，|lg x |<1；
x >10时|lg x |>1.
结合图象知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象交点共有10个．
『答案』 A
『答案』根据f (x )的性质及f (x )在『－1,1』上的解析式可作图如下：
由图象知共10个交点．
以题试法
3．『解析』画出示意图(实线部分)，
f (x )*
g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x 2x ≤－2，x －2<x <1，
2－x 2x ≥1，
其最大值为1.
『答案』1
1．
『解析』选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称．
2．
『解析』选B 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y
轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
3．
『解析』选A 本题考查图象的平移和伸缩．将y ＝log 2x 的图象横坐标不变，纵坐标缩
短到原来的12，得y ＝12log 2x 的图象，再将y ＝12
log 2x 的图象向右平移1个单位长度即可． 4．
『解析』选B 表达式“f (x )＝f (－x )”，说明函数是偶函数，表达式“f (x ＋2)＝f (x )”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B.
5．
『解析』选D 由题知该函数的图象是由函数y ＝－lg|x |的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D 中的图象．
6．
『解析』选B
由题意可知
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2，x 2－2－x ＋x 2≤1，x －x 2，x 2－2－x ＋x 2>1 ＝⎩⎨⎧ x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32作出图象，由图象可知y ＝f (x )与y ＝c 有两个交点时，c ≤－2
或－1<c <－34
，即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(－∞，－2』∪⎝
⎛⎭⎫－1，－34.
7.
『解析』当f (x )>0时，函数g (x )＝log
2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x
∈(2,8』．
『答案』(2,8』
8．
『解析』f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x 的图象向上平移1个单位，即得函数f (x )的图
象．由y ＝1x
的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0,1)． 『答案』(0,1)
9．
『解析』当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1.
当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1，
∵图象过点(4,0)，
∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14
. 『答案』f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，－1≤x ≤0，14
x －22－1，x >0 10．
『答案』(1)函数f (x )的图象如图所示．
(2)由图象可知，
函数f (x )的单调递增区间为『－1,0』，『2,5』．
(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，
当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.
11．
『答案』当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，
由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12
. 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，
由已知可得0＜2a ＜1，
即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅. 综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，12. 12．
『答案』(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，
∴2－y ＝－x ＋1－x
＋2， ∴y ＝x ＋1x
， 即f (x )＝x ＋1x
. (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x
， 且g (x )＝x ＋a ＋1x
≥6，x ∈(0,2』． ∵x ∈(0,2』，
∴a ＋1≥x (6－x )，
即a ≥－x 2＋6x －1.
令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2』，
q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，
∴x ∈(0,2』时，q (x )max ＝q (2)＝7，
故a 的取值范围为『7，＋∞)．
1．
『解析』选C 如图平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除D ；当t ＝－12
时，S >14
S max ，排除A 、B.
2．
『解析』①错误，①即为f x 2－f x 1x 2－x 1
>1，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0<x 1<x 2<1
时，f x 1x 1>f x 2x 2
，②正确；图象是上凸的，③正确． 『答案』②③。