【配套K12】2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十四大题冲关__圆锥曲线的综合问
2018年高考数学复习解决方案真题与单元卷重组十四大题冲关__圆锥曲线的综合问题试题文含答案
2
42－
2 k2＋ 1 2＝ 4
4k
2
＋
3
k2＋ 1 .(14 分 )
故四边形 MPNQ的面积
1 S＝ 2| MN|| PQ| ＝ 12
1 1＋ 4k2＋ 3.(15 分)
可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ面积的取值范围为 (12,8 3) ． (17 分 ) 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x＝ 1， | MN| ＝ 3， | PQ| ＝ 8，四边形 MPNQ的面积为 12.(19 分) 综上，四边形 MPNQ面积的取值范围为 [12,8 3) ． (20 分 ) 6．[2017 ·广州统测 ]( 本小题满分 20 分) 已知动圆 P 的圆心为点 P，圆 P 过点 F(1,0) 且
x2 y2 E 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝
1( y≠0) ． (8 分)
(2) 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝ k( x－ 1)( k≠0) ， M( x1，y1) ， N( x2， y2 ) ．
y＝ k x－ 1 由 x2 y2
＋ ＝1， 43
得 (4 k2＋3) x2－ 8k2x＋4k2－ 12＝0， (10 分 )
8
由 AB， F1F2 互相平分且 A， B， F1， F2 四点共圆，得 AF2⊥ BF2.
→
→
∵ F2A＝ ( x1－ 3， y1) ， F2B＝ ( x2－ 3， y2) ，
→→ 1
∴ F2A· F2B＝( x1－ 3)( x2－ 3) ＋ y1y2＝ 1＋8 x1x2＋ 9＝ 0，即
－ a2b2
8k 2
4k2－ 12
则 x1＋ x2＝ 4k2＋3， x1x2＝ 4k2＋3 ，
[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十大题冲关__数列与不等式的综合问
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重组十 大题冲关——数列与不等式的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <23.解 (1)设{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.(4分) 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1.(6分)(2)证明：因为S n ＝n 3＋3n2，(8分)所以1S n ＝2n3＋3n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.(10分)故1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1.(12分)因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是12≤1－1n ＋1<1， 所以13≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<23，即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <23.(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列；(2)记S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，若S n<100，求最大正整数n.解(1)证明：因为1a n＋1＝23＋13a n，所以1a n＋1－1＝13a n－13＝13⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1.又因为1a1－1≠0，所以1a n－1≠0(n∈N*)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列，且首项为23，公比为13.(7分)(2)由(1)，可得1a n－1＝23×⎝⎛⎭⎪⎫13n－1，所以1a n＝2×⎝⎛⎭⎪⎫13n＋1.所以S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n＝n＋2⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝n＋2×13－13n＋11－13＝n＋1－13n，若S n<100，则n＋1－13n<100，所以最大正整数n的值为99.(15分)3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝3，a3＋b5＝56，a5＋b3＝26.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若－x2＋3x≤2b n2n＋1对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．解(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d＋b1·q4＝56，a1＋4d＋b1·q2＝26，将a1＝2，b1＝3代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2d＋3·q4＝56，2＋4d＋3·q2＝26，消d得2q4－q2－28＝0，∴(2q2＋7)(q2－4)＝0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q＝2，所以d＝3，(4分)∴a n＝3n－1，b n＝3·2n－1.(8分)(2)记c n＝3·2n－12n＋1，c n＋1－c n＝3·2n－1·2n－12n ＋n ＋>0，所以c n最小值为c1＝1，(12分)因为－x 2＋3x ≤2b n 2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，所以－x 2＋3x ≤2，解得x ≥2或x ≤1， 所以x ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．(15分)4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，b n >0(n ∈N *)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3＋2成等比数列．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝abn ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋4nS n ＋2n>a n ＋t 对所有正整数n 恒成立，求常数t 的取值范围．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧＋d ＝2＋2q ，q2＝＋d 3＋2d ，解得d ＝q ＝3.(3分)∴a n ＝3n －2，b n ＝2·3n －1.(5分)(2)c n ＝3·b n －2＝2·3n－2.(7分) ∴S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2(31＋32＋ (3))－2n ＝3n ＋1－2n －3.(10分)∴S 2n ＋4n S n ＋2n ＝32n ＋1－33n ＋1－3＝3n ＋1.(11分) ∴3n＋1>3n －2＋t 恒成立，即t <(3n－3n ＋3)min .(12分)令f (n )＝3n－3n ＋3，则f (n ＋1)－f (n )＝2·3n－3>0，所以f (n )单调递增．(14分) 故t <f (1)＝3，即常数t 的取值范围是(－∞，3)．(15分)5．[2017·陕西西安模拟](本小题满分15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)．(1)求证：{S n －3n}是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．解 (1)证明：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝2S n ＋3n，所以S n ＋1－3n ＋1S n －3n ＝2S n ＋3n －3n ＋1S n －3n＝2S n －2×3nS n －3n＝2，且a 1－3≠0，所以{S n －3n}是以a 1－3为首项，2为公比的等比数列．(7分) (2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，所以S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －1＋3n －(a 1－3)×2n －2－3n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n－1.(10分)若{a n }为递增数列，则a n ＋1>a n ，对n ∈N *恒成立． 当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，则2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a 1－3>0对n ≥2，n ∈N *恒成立，则a 1>－9.又a 2＝a 1＋3>a 1，所以a1的取值范围为(－9,3)∪(3，＋∞)．(15分)6．[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{a n}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n ∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n·21an＝1a2n－1(n∈N*)，T n＝b1＋b2＋…＋b n，写出T n关于n的表达式，并求满足T n>52时n的取值范围．解(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝n－1(n≥2)．两式相减得a n＝1n(n≥2)，(4分)又a1＝1满足上式，∴a n＝1n(n∈N*)．(5分)(2)由(1)知b n＝2n－12n，(6分)T n＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，12T n＝122＋323＋524＋…＋2n－12n＋1.两式相减得12T n＝12＋2⎝⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n－2n－12n＋1，12T n＝12＋2×122－12n·121－12－2n－12n＋1，(9分)T n＝1＋4⎝⎛⎭⎪⎫12－12n－2n－12n＝3－2n＋32n，(10分)由T n－T n－1＝3－2n＋32n－⎝⎛⎭⎪⎫3－2n＋12n－1＝2n－12n得，当n≥2时，T n－T n－1>0，所以数列{T n}单调递增．(12分)T4＝3－1116＝3716<52，又T5＝3－2×5＋325＝8332>8032＝52，所以n≥5时，T n≥T5>52，故所求n≥5，n∈N*.(15分)7．[2016·吉林二模](本小题满分20分)已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n＋a n＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋11＋a n 1＋a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.解 (1)因为2S n ＋a n ＝1，所以2S n ＋1＋a n ＋1＝1. 两式相减可得2a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0，即3a n ＋1＝a n ， 即a n ＋1a n ＝13，(4分) 又2S 1＋a 1＝1，∴a 1＝13，所以数列{a n }是公比为13的等比数列．(6分)故a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(8分)(2)证明：∵b n ＝2a n ＋11＋a n 1＋a n ＋1，∴b n ＝2·3n 3n＋n ＋1＋＝13n ＋1－13n ＋1＋1.(11分) ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫131＋1－132＋1＋(132＋1－133＋1 )＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋1＋1＝14－13n ＋1＋1<14.(18分) ∴T n <14.(20分)8．[2016·浙江高考](本小题满分20分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.(2分)又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，(6分) 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(8分)(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.(12分)设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.(14分) 当n ≥3时，T n ＝3＋－3n －21－3－n ＋n －2＝3n －n 2－5n ＋112，(18分)所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.(20分)9．[2016·金丽衢十二校联考](本小题满分20分)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝ca n ＋1a n(c 为正实数，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明：当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n －1(n ∈N *)；(2)求实数c 的取值范围，使得数列{a n }是单调递减数列．解 (1)证明：易得a n >0(n ∈N *)，由a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得a n ＋1a n ＝2＋1a n 2>2，所以{a n }是递增数列，从而有a n ≥2，故a n ＋1a n ≤2＋14<3，(2分) 由此可得a n ＋1<3a n <32a n －1<…<3n a 1＝2·3n， 所以S n ≤2(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝3n－1，(4分)又有a n ＋1>2a n >22a n －1> (2)a 1＝2n ＋1，所以S n ≥2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，(6分)所以，当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n－1(n ∈N *)成立．(8分)(2)由a 1＝2可得a 2＝2c ＋12<2，解得c <34，(10分)若数列{a n }是单调递减数列，则a n ＋1a n ＝c ＋1a n 2<1， 得a n >11－c，记t ＝11－c，①又a n ＋1－t ＝(a n －t )⎝⎛⎭⎪⎫c －1ta n ，因为a n －t (n ∈N *)均为正数，所以c －1ta n >0，即a n >1tc.②由①a n >0(n ∈N *)及c ，t >0可知a n ＋1－t <c (a n －t )<…<c n (a 1－t )＝c n(2－t )， 进而可得 a n <cn －1(2－t )＋t .③由②③两式可得，对任意的自然数n ，1tc<c n －1(2－t )＋t 恒成立．因为0<c <34，t <2，所以1tc <t ，即1c <t 2＝11－c ，解得c >12.(14分)下面证明：当12<c <34时，数列{a n }是单调递减数列．当c >12时，由a n ＋1＝ca n ＋1a n 及a n ＝ca n －1＋1a n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝(a n －a n －1)⎝⎛⎭⎪⎫c －1a n －1a n .由a n ＋1＝ca n ＋1a n ，有a n ≥2c 成立，则a n －1a n >4c >1c ，即c >1a n －1a n.又当c <34时，a 2－a 1<0成立，所以对任意的自然数n ，a n ＋1－a n <0都成立．综上所述，实数c 的取值范围为12<c <34.(20分)倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组三导数及其应用课件理
对于 C 选项，f′(x)＝ ex>0，显然 k1· k2＝ ex1 · ex2＝－ 1 无 解， 故该函数不具有 T 性质； 对于 D 选项， f′(x)＝ 3x2≥0，
2 显然 k1· k2＝ 3x2 · 3 x 1 2＝－ 1 无解，故该函数不具有 T 性质．故
选 A.
mex 12．[2016· 河南八市联考 ]已知函数 f(x)＝ 与函数 g(x) 2 ＝－2x2－ x＋1 的图象有两个不同的交点，则实数 m 的取值 范围为( )
1 C.1， ＋1 e
2e ，1 2e
解析
－x 当 x≤0 时， f(x)＝ 为减函数， f(x)min＝ f(0) x e x
1－ 2x 1 ＝ 0 ；当 x>0 时 ， f(x) ＝ x ， f′(x) ＝ x ， 则 x> 2 时 ， e 2 xe
1 1 f′(x)<0,0< x< 时 ， f′(x)>0 ， 即 f(x) 在 0， 上递 增 ， 在 2 2 1 1 ，＋ ∞ 上递减， f ( x ) ＝ f 极大值 ＝ 2 2
重组三
导数及其应用
测试时间： 120 分钟
满分： 150 分
第Ⅰ卷
(选择题，共 60 分 )
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每 小题只有一个选项符合题意 ) 1．[2016· 安庆二模 ]给出定义：设 f′(x)是函数 y＝ f(x) 的导函数，f″(x)是函数 f′ (x)的导函数，若方程 f″(x)＝0 有实数解 x0 ，则称点(x0，f(x0 ))为函数 y＝ f(x)的“拐点”．已 知函数 f(x)＝3 x＋4sin x－ cosx 的拐点是 M(x0， f(x0))，则点 M( ) A．在直线 y＝－3 x 上 C．在直线 y＝－4 x 上 B.在直线 y＝3x 上 D.在直线 y＝4x 上
18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十四大题冲关——圆锥曲线的综合问题试题文
重组十四 大题冲关——圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·江西临川统测](本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1 F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值． 解 (1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.(3分) 结合a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝16. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(6分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.(8分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，(10分)由AB ，F 1F 2互相平分且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，得AF 2⊥BF 2. ∵F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0，即x 1x 2＝－8，∴－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，(13分)结合b 2＋9＝a 2，得a 2＝12，∴离心率e ＝32.(15分) 2．[2017·东北三省四市统考](本小题满分15分)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．解 (1)由题意得2a ＝4，∴a ＝2.(1分)∵c a ＝12，∴c ＝1，(3分) ∴b ＝3，(4分)∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(7分) 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(8分)∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋3＋4k2.(10分)∵圆心(0,0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，∴|CD |＝24k 2＋3k 2＋1，(12分) ∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3，(13分) 由12k 2＋14k 2＋3＝12147， 解得k ＝1或k ＝－1，(14分) 由k >0，得k ＝1.(15分)3．[2016·合肥质检](本小题满分20分)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λPA →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，(5分)即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.(7分)联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.(10分)(2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1.由PM →＝λPA →＋μPB →，得⎝⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋29，μ＝y 0－29，(18分)则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.(20分)4．[2017·成都月考](本小题满分20分)已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过F 2，与抛物线y 2＝4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.解 (1)由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长2a ＝4，得到a ＝2，焦距2c ＝2，则短半轴长b ＝3，则轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)当直线l 与x 轴垂直时，可取B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1,0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．(8分)当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(12分)因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1,0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97，(15分)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，(17分)因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0.设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，(19分)所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.(20分)5．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .(2分) 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.(4分)又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.(6分) 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(8分)(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.(12分)过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(14分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3.(15分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．(17分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.(19分)综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．(20分)6．[2017·广州统测](本小题满分20分)已知动圆P 的圆心为点P ，圆P 过点F (1,0)且与直线l：x＝－1相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若圆P与圆F：(x－1)2＋y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．解(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，(2分) ∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，(4分) ∴曲线C的方程为y2＝4x.(6分)(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r＝|x0＋1|.(7分)∴圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2.①(8分)圆F：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得直线MN的方程为2(1－x0)x－2y0y＋y20－2x0－1＝0.(10分)∵点P(x0，y0)在曲线C：y2＝4x上，∴y20＝4x0，且x0≥0.∴点F到直线MN的距离d＝－x0＋y20－2x0－1|－x02＋4y20＝1－x02＋4y20.(12分)∴圆F：(x－1)2＋y2＝1的半径为1，∴|MN|＝21－d2＝21－1－x02＋4y20(13分)＝21－1－x02＋16x0＝21－1x0＋2.(14分)∵x0≥0，∴(x0＋1)2≥1，∴0<1x0＋2≤14，(16分)∴34≤1－1x0＋2<1，(18分)∴3≤|MN|<2，∴|MN|的取值范围为[3，2)．(20分)7．[2016·吉林三调测试](本小题满分20分)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1,2)在抛物线C上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于M ，N 两点，求|MN |最小时直线AB 的方程．解 (1)将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(6分) (2)设AB 所在直线方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1，得y 2－4my ＋4(m －1)＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(10分) 设AR ：y ＝k 1(x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －＋2，y ＝2x ＋2，得x M ＝k 1k 1－2，而k 1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 可得x M ＝－2y 1，同理x N ＝－2y 2，(14分)所以|MN |＝5|x M －x N |＝2 5 m 2－m ＋1|m －1|.令m －1＝t (t ≠0)，则m ＝t ＋1， 所以|MN |＝5|x M －x N | ＝2 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋34≥15， 此时m ＝－1，AB 所在直线方程为x ＋y －2＝0.(20分)8．[2016·贵阳适应性月考](本小题满分20分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点，以原点O 为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x ＋y －22＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为定值3，试判断直线OP 与OQ 的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由．解 (1)由题意知c ＝1，a ＝221＋1＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2，(11分) y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k2. |PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2k 2－m 2＋3＋4k2， O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，S △POQ ＝3＝12|PQ |·d＝121＋k 2 k 2－m 2＋3＋4k 2·|m |1＋k2，可得2m 2－4k 2＝3.(16分)k OP ·k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 2m 2－＝－34， ∴k OP ·k OQ 为定值－34.(20分)。
[配套K12]2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第十四章
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第十四章 概率考点1 随机事件及其概率1.(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.1 B.1121 C.1021 D.5211.C [从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.]2.(2014·新课标全国Ⅰ，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.58 C.38 D.782.D [由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78，故选D.] 考点2 古典概型与几何概型1.(2016·全国Ⅰ，4)某公司的班车在7：00,8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.341.B [如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040 ＝12，故选B.]2.(2016·全国Ⅱ，10)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2mn2.C [由题意得：(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )在如图所示正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，∴π＝4mn，故选C.]3.(2015·陕西，11)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π3.B [由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.]4.(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.454.C [从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610 ＝35.故选C.]5.(2014·湖北，7)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.785.D [由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.选D.]6.(2016·江苏，7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.6.56 [基本事件共有36个.如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中满足点数之和小于10的有30个.故所求概率为P ＝3036＝56.] 7.(2016·山东，14)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.7.34 [由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.]8.(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 8.56 [这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.]9.(2015·福建，13) 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.9.512 [由几何概型的概率公式：P ＝1－∫21x 2d x 4＝512.] 10.(2014·福建，14)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.10.2e 2 [因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－∫10e xd x )＝2e－2e x⎪⎪⎪1＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2.]11.(2014·江苏，4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________.11.13 [从1，2，3，6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1，6和2，3，共2种，故所求概率是26＝13.]12.(2014·广东，11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.12.16 [十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.]13.(2014·江西，12)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.13.12 [从10件产品中任取4件共有C 410＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C 13C 37＝105种不同的取法，故所求的概率为P ＝105210＝12.]14.(2015·北京，16)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16B 组：12,13,15,16,17,14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)14. 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”,事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”,i ＝1,2,…,7.由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.考点3 离散型随机变量的分布列、均值与方差1.(2014·浙江，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中.(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2).则( ) A.p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B.p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C.p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2) D.p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)1.A [法一 (特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可.法二 (标准解法)从乙盒中取1个球时,取出的红球的个数记为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,则P (ξ＝0)＝nm ＋n＝P (ξ1＝1),P (ξ＝1)＝mm ＋n＝P (ξ1＝2),所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝mm＋n＋1,所以p1＝E（ξ1）2＝2m＋n2（m＋n）；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝C2nC2m＋n＝P(ξ2＝1),P(η＝1)＝C1n C1mC2m＋n＝P(ξ2＝2),P(η＝2)＝C2mC2m＋n＝P(ξ2＝3),所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝2mm＋n ＋1,所以p2＝E（ξ2）3＝3m＋n3（m＋n），所以p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)，故选A.]2.(2016·全国Ⅰ，19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？2.(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；所以X的分布列为(2)由(1)知P(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n ＝19时，EY ＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n ＝20时，EY ＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.3.(2016·全国Ⅱ，18)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：(1)(2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.3.解 (1)设A 表示事件：“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件：“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.又P (AB )＝P (B )， 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为E (X )＝0.85a 2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.(2016·山东，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X ).4.(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋AB －CD ＋ABC －D ＋ABCD －. 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512.P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝6.5.(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望). 5.解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×10＝350.6.(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 6.解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×3＝2.7.(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望.7.解 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有 P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2,且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个).8.(2015·天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 8.解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4).所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.9.(2015·山东，19)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X ).9.解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝-1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×42＝21.10.(2015·湖南，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.10.解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}.由题意，A 1与A 2相互独立，A 12A 与1A A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 12A ＋1A A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 12A ＋1A A 2)＝P (A 12A )＋P (1A A 2)＝P (A 1)P (2A )＋P (1A )P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×5＝5.11.(2014·天津，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 11.解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则 P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3). 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×6＋1×2＋2×10＋3×30＝5.12.(2014·四川，17)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 12.解 (1)X 可能的取值为：10，20，100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.13.(2014·山东，18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.13.解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”. 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望E (ξ)＝0×30＋1×6＋2×5＋3×15＋4×30＋6×10＝30.14.(2014·重庆，18)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望. (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数.) 14.解 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3,且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112， 故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×12＝28.15.(2014·江西，21)随机将1,2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数.A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C )的大小关系，并说明理由. 15.解 (1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20种，所以ξ的分布列为E (ξ)＝2×15＋3×310＋4×10＋5×5＝2.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为：n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种； 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝22122(2C )Cn k k k n n-=+∑.(3)由(2)知当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C ).而当n ≥3时，P (C )<P (C )，理由如下：P (C )<P (C )等价于2214(2C )n k k k -=+∑<2C nn .①用数学归纳法来证明：1°当n =3时，①式左边=4（2+12C ）=4（2+2）=16， ①右边=36C =20，所以①式成立.2°假设n =m (m ≥3)时①式成立，22214(2C)C m k m k m k -=+<∑即成立,那么，当n=m +1时， 左边=12214(2C)m kkk +-=+∑21122(1)22(1)14(2C )4C <C +4C m k m m m k m m m k -----==++∑ ＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！ ＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）·2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边.即当n ＝m ＋1时①式也成立.综合1°，2°得：对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立.16.(2014·安徽，17)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).16.解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)·P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81.17.(2014·福建，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率； (ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.17.解 (1)设顾客所获的奖励额为X .(ⅰ)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.(ⅱ)依题意，得X 的所有可能取值为20，60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.18.(2014·辽宁，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).18.解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.分布列为因为X～B(3，0.6)0.6)＝0.72.考点4 二项分布与正态分布1.(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3121.A [该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.]2.(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A.2 386B.2 718C.3 413D.4 7722.C [由X ～N (0，1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6， ∴P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3.∴落在阴影部分中点的个数x 估计值为x 10 000＝S1(古典概型)，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C.]3.(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2),则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%,P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74% 3.B [由题意,知P (3＜ξ＜6)＝P (-6＜ξ＜6)-P (-3＜ξ＜3)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.]4.(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.454.A [由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.]5.(2016·四川，12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________.5.32 [由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34,∵2次独立试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34,则E (X )＝2×34＝32.]6.(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率. 6.解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i ， 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)+P (C 1C 2C 3)+P (C 1C 2C 3)=3×0.82×0.2＝0.384，所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.7.(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.7.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x－＝170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(-30)2×0.02＋(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150),从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。
【配套K12】2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十九不等式选讲试题文
重组十九 选修4－5测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，(2分)y ＝f (x )的图象如图所示．(5分)(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.(7分)故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.(8分)所以|f (x )|>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.(10分) 2．[2016·云南名校统考]已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为x ∈[0,4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值． 解 (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1.(3分) ∵其解集为[0,4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0，m ＋1＝4，∴m ＝3.(5分)(2)由(1)知a ＋b ＝3，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，(8分)∴当且仅当a ＝b ＝32时，a 2＋b 2取最小值为92.(10分)3．[2017·山西忻州联考]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x >12，(2分)当x <－2时，由x －3>0，得x >3，舍去；(3分)当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤12；(4分)当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即12<x <3.(5分)综上，M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3.(6分)(2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15.(10分)4．[2017·广西河池联考]已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝4，求证：4α＋1β>3.解(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，(2分)要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2，(4分)因为m∈N*，所以m＝1.(5分)(2)证明：因为α，β>1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，可得α＋β＝3，(6分)所以4α＋1β＝13⎝⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3(当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时取等号)，(9分)又因为α，β>1，所以4α＋1β>3恒成立，故4α＋1β>3.(10分)5．[2017·广东惠州二调]设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1使不等式a＋1>f(x)成立，求实数a的取值范围．解(1)∵f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x－2，x<－32，x＋4，－32≤x≤1，3x＋2，x>1，(2分)∴f(x)>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<－32，－3x－2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x≤1，x＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，3x＋2>4(4分) ⇔x<－2或0<x≤1或x>1.(5分)综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(6分) (2)存在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1使不等式a＋1>f(x)成立⇔a＋1>f(x)min，(7分)由(1)知，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1时，f(x)＝x＋4，∴x＝－32时，f(x)min＝52，(8分)∴a＋1>52⇔a>32.(9分)∴实数a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞.(10分)6．[2016·昆明一中模拟]已知函数f (x )＝|x －m |－|x －2|. (1)若函数f (x )的值域为[－4,4]，求实数m 的值；(2)若不等式f (x )≥|x －4|的解集为M ，且[2,4]⊆M ，求实数m 的取值范围． 解 (1)由不等式的性质得||x －m |－|x －2||≤|x －m －x ＋2|＝|m －2|.(2分) 因为函数f (x )的值域为[－4,4]，所以|m －2|＝4， 即m －2＝－4或m －2＝4，所以实数m ＝－2或6.(5分) (2)f (x )≥|x －4|，即|x －m |－|x －2|≥|x －4|，当2≤x ≤4时，|x －m |≥|x －4|＋|x －2|⇔|x －m |≥－x ＋4＋x －2＝2，|x －m |≥2， 解得x ≤m －2或x ≥m ＋2，即解集为(－∞，m －2]∪[m ＋2，＋∞)，(8分) 由条件知m ＋2≤2⇒m ≤0或m －2≥4⇒m ≥6. 所以m 的取值范围是(－∞，0]∪[6，＋∞)．(10分)7．[2016·合肥质检]已知a >0，b >0，记A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b . (1)求2A －B 的最大值；(2)若ab ＝4，是否存在a ，b ，使得A ＋B ＝6？并说明理由． 解 (1)2A －B ＝2a －a ＋2b －b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －222＋1≤1，等号在a ＝b ＝12时取得，即2A －B 的最大值为1.(5分) (2)A ＋B ＝a ＋b ＋a ＋b ≥2ab ＋2ab ，因为ab ＝4，所以A ＋B ≥4＋22>6，所以不存在这样的a ，b ，使得A ＋B ＝6.(10分) 8．[2016·银川一中一模]已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x ＋1)＋f (x ＋2)<4；(2)已知a >2，求证：∀x ∈R ，f (ax )＋af (x )>2恒成立． 解 (1)f (x ＋1)＋f (x ＋2)<4，即|x －1|＋|x |<4，(1分) ①当x ≤0时，不等式为1－x －x <4，即x >－32，∴－32<x ≤0是不等式的解；(2分)②当0<x ≤1时，不等式为1－x ＋x <4，即1<4恒成立，∴0<x ≤1是不等式的解；(3分) ③当x >1时，不等式为x －1＋x <4，即x <52，∴1<x <52是不等式的解．(4分)综上所述，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.(5分) (2)证明：∵a >2，∴f (ax )＋af (x )＝|ax －2|＋a |x －2|＝|ax －2|＋|ax －2a |＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|>2，(8分) ∴∀x ∈R ，f (ax )＋af (x )>2恒成立．(10分)9．[2016·湖南株洲模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|－a |x －1|.(1)当a ＝－2时，解不等式f (x )>5； (2)若f (x )≤a |x ＋3|，求a 的最小值．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x <－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x >1.(2分)由f (x )的单调性及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f (2)＝5，得f (x )>5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－43或x >2.(5分) (2)由f (x )≤a |x ＋3|，得a ≥|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|，由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1|， 得|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|≤12，得a ≥12(当且仅当x ≤－3或x ≥1时等号成立)．故a 的最小值为12.(10分)10．[2017·湖北七校联考]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥2； (2)若f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －x ，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x <1，2－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x <12.(2分)当x ≥1时，x ≥43；当12≤x <1时，x 无解；当x <12时，x ≤0，综上不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0或x ≥43.(5分)(2)因为|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |，(7分) 由绝对值不等式成立条件可知，当且仅当(2x －1)(x －a )≤0时成立．(8分) 当a >12时，12≤x ≤a ，当a ＝12时，x ＝12，当a <12时，a ≤x ≤12.(10分)11．[2017·河北辛集质检]已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，(2分) 所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4.所以不等式的解集为{x |－2<x <4}．(4分)(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，(6分)又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|.(8分)g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为a ≥－1或a ≤－5.(10分) 12．[2017·山西四校联考]已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； (2)若|a |<1，|b |<3，且a ≠0，判断f ab |a |与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由． 解 (1)f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，因为f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，故只需令a 不大于f (x －1)＋f (x )的最小值即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．(5分)(2)f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，要证f ab |a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|>|b －3a |，即证(ab －3)2>(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9)，因为|a |<1，|b |<3，所以(ab －3)2－(b －3a )2>0，所以原不等式成立．(10分)13．[2016·河南百校联考]已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －2|，a >0. (1)当a ＝3时，解不等式f (x )<4；(2)若正实数b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，且不等式f (x )≥a 2＋b 2＋c 2b ＋c对任意实数x 都成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝3时，函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到2、3对应点的距离之和，(2分)而12和92对应点到2、3对应点的距离之和正好等于4， 故不等式f (x )<4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92.(5分) (2)因为a ＋b ＋c ＝1，a >0，b 、c 为正实数，所以0<a <1，f (x )＝|x －a |＋|x －2|≥|a －2|＝2－a ， 结合题意可得2－a ≥a 2＋b 2＋c 2b ＋c，即(2－a )(1－a )≥a 2＋b 2＋c 2.①(6分) 又因为a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 为正实数， 所以(1－a )2＝(b ＋c )2≤2(b 2＋c 2)， 所以－a 22≤b 2＋c 2.②(8分)结合①②可得(1－a )(2－a )≥a 2＋－a 22，即a 2＋4a －3≤0，再结合0<a <1，解得0<a ≤7－2.(10分)14．[2017·唐山模拟]已知a >b >c >d >0，ad ＝bc . (1)证明：a ＋d >b ＋c ；(2)比较a a b b c d d c 与a b b a c c d d的大小．解 (1)证明：由a ＞b ＞c ＞d ＞0，得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2，(2分) 由ad ＝bc ，得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c .(5分)(2)a a b b c d d c a b b a c c d d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫c d d －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c c －d，(7分) 由(1)得，a －b ＞c －d ，又ab＞1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c －d ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c c －d >⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c －d ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c c －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ad bc c －d ＝1，(9分)故a a b b c d d c＞a b b a c c d d.(10分)15．[2016·沈阳教学质检]已知命题“∀a >b >c ，1a －b ＋1b －c ≥ta －c”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“∀n ∈R ，|n ＋sin γ|－|n －cos γ|<m 14 ”是假命题，其中γ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求m 的值； (2)求n 的取值范围． 解 (1)因为“∀a >b >c ，1a －b ＋1b －c ≥ta －c”是真命题， 所以∀a >b >c ，1a －b ＋1b －c ≥t a －c恒成立， 又a >b >c ，所以t ≤(a －c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c 恒成立，所以，t ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c min .(2分) 又因为(a －c )·⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝(a －b ＋b －c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥4，当且仅当b －c ＝a －b 时“＝”成立． 因此，t ≤4，于是m ＝4.(5分)(2)由(1)得，因为“∀n ∈R ，|n ＋sin γ|－|n －cos γ|<m 14”是假命题，所以“∃n ∈R ，|n ＋sin γ|－|n －cos γ|≥2”是真命题．因为|n ＋sin γ|－|n －cos γ|＝|n ＋sin γ|－|cos r －n |≤|sin γ＋cos γ|≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，(7分) 因此|n ＋sin γ|－|n －cos γ|＝2，此时|sin γ＋cos γ|＝2，即γ＝π4时，(9分)即⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋22－⎪⎪⎪⎪⎪⎪n －22＝2，由绝对值的意义可知，n ≥22.(10分)。
[推荐学习]2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组二函数试题文
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重组二 函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2x ln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 答案 B解析 由题设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.A ．a <b <c <dB ．a <c <d <bC ．b <a <c <dD ．b <a <d <c答案 A 解析4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43x，f x x ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析 因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝⎛⎭⎪⎫－log 2135．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为()答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)， 故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x， ∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案 B解析 由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D ．f (－4)＝f (4)答案 B解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2＝2＋x 2sin x x 4＋2，即f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2中心对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝2×2016＝4032. 9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D ．(－∞，2]答案 A解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞) 答案 C解析 由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2016·湖北襄阳模拟]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －a ，x ≥12，x ＋2－a ，x <12的三个零点为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答案 C解析 令f (x )＝0，可得直线y ＝a 和函数y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥12，x ＋2，x <12的图象有三个交点，分别作出直线y ＝a 和函数y ＝g (x )的图象，由图象可设0<x 1<12，12<x 2<1,1<x 3<2，由a ＝x 1＋2＝x 2＋1x 2＝x 3＋1x 3，可得x 2－x 3＝x 2－x 3x 2x 3，即有x 2x 3＝1，则x 1x 2x 3＝x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析 因为f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4， 又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017. 16．[2017·湖北重点高中联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a ，x <1，πx －3a x －2a ，x ≥1，若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞)解析 ①若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴有一个交点，则0<a <3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有一个交点．故3a ≥1且2a <1，即13≤a <12；②若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴无交点，则a ≤0或a ≥3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有两个交点，故3a ≥1,2a ≥1，即a ≥3.综上，a 的取值范围是13≤a <12或a ≥3.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，其中a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2， 解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， 若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈5，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈10，16]，t ∈N . 分(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋t －2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋t －2－12，t ∈5，10]，t ∈N ，40－2t ＋t －2－12，t ∈10，16]，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，t －2＋8，t ∈5，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈10，16]，t ∈N .分当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125； 当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125.(10分) 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0， 所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0；当x ＝2时，f (x )＝34.∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分) 而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根， 又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ](m <n )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，a ＝1，g (x )＝|f (x )|是“可等域函数”，求函数g (x )的“可等域区间”； (2)若区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，求a 、b 的值． 解 (1) b ＝0，a ＝1，g (x )＝|x 2－2x |是“可等域函数”， ∵g (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|≥0，∴n >m ≥0，结合图象，由g (x )＝x ，得x ＝0,1,3，(2分) 函数g (x )的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，(4分) 当1≤m ≤n ≤2时，g (x )≤1，不符合要求．(5分) (2)f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，因为区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，所以a ＋1>1，即a >0.(6分)当0<a ≤1时，则⎩⎪⎨⎪⎧f1＝1，f a ＋＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(8分)当1<a ≤2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f a ＋＝a ＋1无解；(10分)当a >2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f 1＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋52，b ＝9＋352. (12分)。
2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷全书文
重组一 集合与常用逻辑用语测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案 D解析 由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.选D.2．[2017·河北百校联盟联考]已知全集U ＝Z ，A ＝{x |x 2－5x <0，x ∈Z }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}答案 B解析 x 2－5x <0的解为0<x <5，所以集合A ＝{1,2,3,4}，(∁U A )∩B 是指不在集合A 中，但在集合B 中的全集中的元素，即－1,0，所以图中的阴影部分表示的集合等于{－1,0}，故选B.3．[2017·湖北武汉联考]命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x B ．∀n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x C ．∃n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x D ．∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x 答案 D解析 命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，因此命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定是“∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x ”．故选D.4．[2016·江西九校联考]已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋1x －1≤0，B ＝{－1，0,1}，则card(A ∩B )＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由A ＝{x |－1≤x <1}可得A ∩B ＝{－1,0}，所以A ∩B 的元素个数为2.5．[2016·北京东城模拟]集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |x 2－5x <0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥5 B．a ≥4 C．a ＜5 D ．a ＜4 答案 A解析 B ＝{x |x 2－5x <0}＝{x |0<x <5}，A ∩B ＝B 说明B 是A 的子集，故a ≥5. 6．[2016·安徽六校测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q 答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B.7．[2016·衡水模拟]“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3，得|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.8．[2016·济南调研]已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈p 为真C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假答案 B解析 由三角函数y ＝sin x 的有界性，－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >y |x＝0＝0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．9．[2017·河南郑州月考]已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥}－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是()A ．B ∩(∁R A )＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．A ＝B答案 A解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－1，＋∞)上单调递减，所以y ∈(0,2]，因为函数y ＝e x＋1在(－∞，0]上单调递增，所以y ∈(1,2]，故选A.10．[2016·河西五市二联]下列说法正确的是( ) A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x>0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[1,2]上恒成立” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 答案 B解析 A 项，应为“∃x ∈R ，e x≤0”，故A 错误；B 项，其逆否命题是“若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，为真命题，故原命题为真命题，故B 正确；C 项，应为“(x 2＋2x －ax )min ≥0在[1,2]上恒成立”，故C 错误；D 项，函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4＋4a ＝0⇒a ＝－1，故D 错误，选B.11．[2017·河北百校联考]命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) 答案 A解析 命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2”为真命题，即a 2＋1<2，解得－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．12．[2017·北京模拟]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．设该网店第一天售出但第二天未售出的商品有m 种，这三天售出的商品最少有n 种，则m ，n 分别为( )A ．18,30B ．16,28C ．17,29D ．16,29 答案 D解析 设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·湖南郴州三模]命题“实数的平方都是正数”的否定是________________________．答案 至少有一个实数的平方不是正数解析 全称命题的否定一定是特称命题．“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字．14．[2017·山西四校联考]已知命题p ：x 2－5x ＋4≤0；命题q ：13－x <1，若(綈q )∧p是真命题，则x 取值范围是________．答案 [2,3]解析 若p 真，则1≤x ≤4；若q 真，则x <2或x >3.∵(綈q )∧p 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，2≤x ≤3，∴2≤x ≤3.15．[2016·沧州质检]设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，n ∈N *，若X ⊆S n 把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．若n ＝4，则S n 的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析 若n ＝4，则S n 的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7. 16．[2016·山西质检]已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(32，＋∞)解析 如图，y ＝9－x 2的图象是半圆，当直线y ＝x ＋b 与半圆无公共点时，截距b ＞32或b ＜－3，故b 的取值范围是(－∞，－3)∪(32，＋∞)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·江西宜春月考](本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． 解 (1)要使A ∩B ＝∅， 则需满足下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≤5，a ≥－1，(3分)解此不等式组得－1≤a ≤2， 即a 的取值范围是[－1,2]．(5分) (2)要使A ∪B ＝B ，即A 是B 的子集，(6分) 则需满足a ＋3＜－1或a ＞5，(8分) 解得a ＞5或a ＜－4，即a 的取值范围是{a |a ＞5或a ＜－4}．(10分) 18．[2016·山东烟台月考](本小题满分12分)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m的取值范围．解 綈p ：⎝⎛⎭⎪⎫x －432＞4，解得x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，(3分)綈q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，解得x ＜1－m 或x ＞1＋m ，设B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }．(6分)因为綈p 是綈q 的必要非充分条件，所以B A (8分)即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，(11分)∴m ≥9.(12分)19．[2016·龙岩月考](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0}，m ∈R .(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)已知命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意知，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3}．(4分) 当m ＝3时，B ＝{x |0≤x ≤6}，∴A ∩B ＝[0,3]．(5分) (2)由q 是p 的必要条件知，A ⊆B ，(7分) 结合(1)知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≤－1，m ＋3≥3，解得0≤m ≤2.(10分)故实数m 的取值范围是[0,2]．(12分)20．[2016·广东佛山一中模拟](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0，x ∈R }，且A ∩{x |x ≥0}＝∅，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，A ＝{x |x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}，此时A ∩{x |x ≥0}＝∅；(3分) 当a ≠0时， ∵A ∩{x |x ≥0}＝∅，∴A ＝∅或关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根均为负数．(4分) ①当A ＝∅时，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝1－4a ＜0，解得a ＞14.(7分)②当关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0的根x 1，x 2均为负数时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a ≥0，x 1＋x 2＝－1a ＜0，x 1x 2＝1a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ＞0，即0＜a ≤14.(10分)综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥0}．(12分)21．[2016·山西太原期中](本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0，a ∈R }，函数y ＝lgx －a 2＋2a －x(a ∈R )的定义域为集合B .(1)若a ＝1，求A ∩(∁R B )；(2)若a ＞－1且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)若a ＝1，则集合A ＝{x |(x －1)·(x －5)＜0}＝(1,5)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －32－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －2＜0＝(2,3)，(3分) 所以∁R B ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，(4分) 故A ∩(∁R B )＝(1,2]∪[3,5)．(5分)(2)因为a ＞－1，所以2a ＋3＞1，a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0⇒a 2＋2＞2a ，(7分) 则集合A ＝{x |(x －1)(x －2a －3)＜0}＝(1,2a ＋3)，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋2a －x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －a 2＋x －2a ＜0＝(2a ，a 2＋2)．(9分) 又“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，a 2＋2≤2a ＋3(等号不能同时取得)，解得12≤a ≤1＋ 2.(11分)故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋2.(12分) 22．[2016·河南洛阳月考](本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求c 的取值范围．解 由p 得0＜c ＜1.(2分) 由q 得1c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，又c ＞0，∴c ＞12，(4分)因为p ∨q 为真，p ∧q 为假， 所以p 和q 一真一假．(6分) 即⎩⎪⎨⎪⎧0＜c ＜1，c ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c ＞12，(10分)解得0＜c ≤12或c ≥1.∴c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．(12分) 重组二 函数测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·沈阳质检]下列函数中，在其定义域内是增函数且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x答案 C解析 A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知C 是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y ′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故选C.2．[2017·河北百校联考]已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6 答案 B解析 由题设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝e 0＋m ＝1＋m ＝0，即m ＝－1，所以f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故应选B.A ．a <b <c <dB ．a <c <d <bC ．b <a <c <dD ．b <a <d <c答案 A 解析4．[2016·衡水联考]已知奇函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －43x，f x x ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝( )A ．－56B.56 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 133 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 －43答案 A解析 因为F (x )＝－F (－x )，log 213<0，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝－F ⎝⎛⎭⎪⎫－log2135．[2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (x )＝y ＝2x 2－e |x |， ∴f (－x )＝2(－x )2－e |－x |＝2x 2－e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ＝±2时，y ＝8－e 2∈(0,1)， 故排除A 、B.当x ∈[0,2]时，f (x )＝y ＝2x 2－e x， ∴f ′(x )＝4x －e x＝0有解，故函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上不是单调的，故排除C ，故选D.6．[2016·浙江高考]设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案 B解析 由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.7．[2016·江西联考]已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (x ＋1)为偶函数，则( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f (－2)>f (2) C ．f (－1)<f (3) D ．f (－4)＝f (4)答案 B解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )关于直线x ＝1对称，又因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，1]上单调递减，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－2)＝f (4)>f (2)，f (－1)＝f (3)，f (－4)＝f (6)>f (4)，故选B.8．[2017·河南大联考]已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 2x 4＋x 2sin x ＋4x 4＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝( )A ．2017B ．2016C ．4034D ．4032 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝2x 4＋x 2sin x ＋4x ＋2＝2＋x 2sin x x ＋2，即f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2中心对称，故f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＝2×2016＝4032. 9．[2016·昆明一中模拟]若关于x 的不等式9－x 2≤k (x ＋1)的解集为区间[a ，b ]，且b －a ≥2，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．(0，2] D ．(－∞，2]答案 A解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋1)，其示意图如图，A (1,22)，若k >0，要满足y 1≤y 2，则b ＝3，此时－1<a ≤1，从而k ≥221＋1＝2；若k <0，要满足y 1≤y 2，则a ＝－3，则b ≥a＋2＝－1，从而k 值不存在，所以k ≥2，选A.10．[2016·长春质检]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)答案 C解析 由题可知函数在(－∞，＋∞)上单调递增，所求不等式等价于|f (ln x )|<f (1)，从而f (－1)<f (ln x )<f (1)，进而－1<ln x <1，所以1e<x <e ，故选C.11．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B. 12．[2016·湖北襄阳模拟]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －a ，x ≥12，x ＋2－a ，x <12的三个零点为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32答案 C解析 令f (x )＝0，可得直线y ＝a 和函数y ＝g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ≥12，x ＋2，x <12的图象有三个交点，分别作出直线y ＝a 和函数y ＝g (x )的图象，由图象可设0<x 1<12，12<x 2<1,1<x 3<2，由a ＝x 1＋2＝x 2＋1x 2＝x 3＋1x 3，可得x 2－x 3＝x 2－x 3x 2x 3，即有x 2x 3＝1，则x 1x 2x 3＝x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·河南名校联考]若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.答案 12解析 因为f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，所以由f (－x )＋f (x )＝0，得2(2a －1)＝0，即a ＝12.14．[2016·天津高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.15．[2017·云南师大附中月考]若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.答案 2017解析 ∵f (x ＋6)≥f (x ＋4)＋2≥f (x ＋2)＋4， 又f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4，∴f (x ＋6)＝f (x ＋2)＋4，即f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴f (2017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＋2016＝2017. 16．[2017·湖北重点高中联考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－a ，x <1，πx －3a x －2a ，x ≥1，若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪[3，＋∞)解析 ①若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴有一个交点，则0<a <3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有一个交点．故3a ≥1且2a <1，即13≤a <12；②若函数g (x )＝3x－a 在x <1上与x 轴无交点，则a ≤0或a ≥3，此时函数h (x )＝π(x －3a )(x －2a )在x ≥1上与x 轴有两个交点，故3a ≥1,2a ≥1，即a ≥3.综上，a 的取值范围是13≤a <12或a ≥3.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·江西玉山月考](本小题满分10分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，其中a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，求使f (x )>0成立的x 的集合．解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2分) ∵f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(5分)(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2，∴log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝log a 4＝2， 解得a ＝2，(7分)∴f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， 若f (x )>0，则log 2(x ＋1)>log 2(1－x )， ∴x ＋1>1－x >0，解得0<x <1，(9分) 故不等式的解集为(0,1)．(10分)18．[2016·青海师大附中测试](本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1.(1)求证：f (8)＝3；(2)求不等式f (x )－f (x －2)＞3的解集．解 (1)证明：由题意可得f (8)＝f (4×2)＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(4分)(2)原不等式可化为f (x )＞f (x －2)＋3＝f (x －2)＋f (8)＝f (8x －16)，(6分) ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧8x －16＞0，x ＞8x －16.(10分)解得2＜x ＜167.(12分)19．[2016·福建三校联考](本小题满分12分)对于季节性服装的销售，当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售．(1)试建立价格p 与周数t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周数t 之间的关系为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈10，16]，t ∈N . 分(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝p －Q ，即 L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋t －2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋t －2－12，t ∈，10]，t ∈N ，40－2t ＋t －2－12，t ∈，16]，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.12t －2＋8，t ∈，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈，16]，t ∈N . 分当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增，L (t )max ＝L (5)＝9.125； 当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减，L (t )max ＝L (11)＝7.125.(10分) 由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．(12分)20．[2016·江苏徐州模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解 (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，且a ≠0，所以Δ＝b 2－4a ＝0，(2分) 所以b 2－4(b －1)＝0，得b ＝2，则a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(4分)(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.所以当k －22≥2或k －22≤－2，(6分)即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分) (3)F (m )＋F (n )＞0.因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，则f (x )＝ax 2＋1.(9分)所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ＞0，－ax 2－1，x ＜0.因为mn ＜0，不妨设m ＞0，所以n ＜0，又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0，所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0， 所以F (m )＋F (n )＞0.(12分)21．[2017·辽宁六校模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x ＋ax2为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合E ＝{y |y ＝f (x )，x ∈{－1,1,2}}，λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14，判断λ与E 的关系；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n (m >0，n >0)时，若函数f (x )的值域为[2－3m,2－3n ]，求m ，n 的值．解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即x ＋x ＋ax2＝－x ＋－x ＋ax2，即2(a ＋1)x ＝0，x ∈R 且x ≠0，∴a ＝－1.(4分)(2)由(1)可知，f (x )＝x 2－1x2，当x ＝±1时，f (x )＝0； 当x ＝2时，f (x )＝34.∴E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，34，(6分)而λ＝lg 22＋lg 2·lg 5＋lg 5－14＝lg 22＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－14＝34，∴λ∈E .(8分)(3)∵f (x )＝x 2－1x 2＝1－1x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n ， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ，1n 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝2－3m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝2－3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＝2－3m ，1－n 2＝2－3n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，(10分)∴m ，n 是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根， 又由题意可知1m <1n，且m >0，n >0，∴m >n .∴m ＝3＋52，n ＝3－52.(12分)22．[2016·宁波十校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ](m <n )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)若b ＝0，a ＝1，g (x )＝|f (x )|是“可等域函数”，求函数g (x )的“可等域区间”； (2)若区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，求a 、b 的值． 解 (1) b ＝0，a ＝1，g (x )＝|x 2－2x |是“可等域函数”， ∵g (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|≥0，∴n >m ≥0，结合图象，由g (x )＝x ，得x ＝0,1,3，(2分) 函数g (x )的“可等域区间”为[0,1]，[0,3]，(4分) 当1≤m ≤n ≤2时，g (x )≤1，不符合要求．(5分) (2)f (x )＝x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，因为区间[1，a ＋1]为f (x )的“可等域区间”，所以a ＋1>1，即a >0.(6分) 当0<a ≤1时，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fa ＋＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(8分)当1<a ≤2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，fa ＋＝a ＋1无解；(10分)当a >2时，则⎩⎪⎨⎪⎧fa ＝1，f＝a ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3＋52，b ＝9＋352. (12分)重组三 导数及其应用测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·安庆二模]给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上 答案 B解析 f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．2．[2017·湖南郴州质检]已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对于任意实数x 有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C．(－∞，e 4) D ．(e 4，＋∞) 答案 B解析 取特殊函数f (x )＝1刚好符合已知条件，故f (x )<e x⇒1<e x⇒x >0，故选B.3．[2017·衡水中学三调]已知函数g (x )＝a －x 2( 1e≤x ≤e，e 是自然对数的底数 )与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B ．[1，e 2－2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)答案 B解析 由已知得，方程a －x 2＝－2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x －2x ＝－x＋xx.因为1e≤x ≤e，所以函数f (x )在x ＝1处有唯一的极值点且为极大值点．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)＝2－e 2，f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[1，e 2－2]，故选B.4．[2017·江西抚州联考]已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f xex的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)答案 D 解析 g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D.5．[2017·湖北联考]已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，16B ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16D ．a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 f ′(x )＝2ax －4a －1x ，f (x )在(1,3)上不单调，则f ′(x )＝2ax －4a －1x＝0在(1,3)上有解，此方程可化为2ax 2－4ax －1＝0，x 1＋x 2＝2，因此方程的两解不可能都大于1，从而它在(1,3)上只有一解，充要条件是(2a －4a －1)(18a －12a －1)<0，a <－12或a >16，因此D 是要求的一个充分不必要条件．故选D.6．[2017·沧州模拟]函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )答案 B解析 因为f (x )＝(cos x )·ln |x |，所以f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝cos(－x )·ln|－x |＝(cos x )·ln |x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6·ln π6<0，排除A ，故选B.7．[2016·云南师大附中模拟]已知函数f (x )＝|x |ex (x ∈R )，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2e 2e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 2e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e ＋1 D.⎝⎛⎭⎪⎫2e 2e ，1 答案 A解析 当x ≤0时，f (x )＝－x e x 为减函数，f (x )min ＝f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝x ex ，f ′(x )＝1－2x2x ex，则x >12时，f ′(x )<0,0<x <12时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e 2e .其大致图象如图所示，若关于x 的方程f (x )－m ＋1＝0恰好有3个不相等的实数根，则0<m －1<2e 2e ，即1<m <1＋2e 2e，故选A.8．[2016·四川高考]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 答案 A解析 不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(0<x 2<1<x 1)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x1x －x 1，y ＋ln x 2＝－1x2x －x 2，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.9．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x －x 2－x ，x ＋1x＋a x的最大值为f (－1)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0,2e 2] B ．[0,2e 3] C ．(0,2e 2] D ．(0,2e 3] 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ＋a ≤f (－1)＝a －2；若a <0时，f (x )＝a ln x －x 2－2在区间(0，＋∞)上为减函数，且当x →0时，f (x )→＋∞；当a ＝0时，f (x )＝－x 2－2≤－2恒成立；当a >0时，f ′(x )＝a x －2x ＝a －2x 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2x，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，则需f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2≤f (－1)，即a lna 2－a2－2≤a －2，即a lna 2≤32a ，即ln a2≤3，解得0<a ≤2e 3，综上所述，实数a 的取值范围为[0,2e 3]，故选B.10．[2017·云南、四川、贵州联考]若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx－ay 3＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 327C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 327，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28答案 C解析 由题意知a ＝e y x⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3，设y x ＝t (t >0)，则a ＝e t t 3，令f (t )＝e t t 3，则f ′(t )＝e tt －t 4，当t >3时，f ′(t )>0，当0<t <3时，f ′(t )<0，所以f (t )min ＝f (3)＝e 327，∴a ≥e327.11．[2016·山东高考]若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析 设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cos x 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 21·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.12．[2017·河北百校联考]已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e 3，1e 2答案 C解析 画出方程所代表的函数的图象，设过定点M (0,1)的直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝ln x 相切的切点为P (t ，ln t )，则由题设可得1t ＝ln t －1t，解之得ln t ＝2，即t ＝e 2，故P (e 2,2)，此时k ＝1e 2；当动直线经过点A (e 3,3)时，此时k ＝2e 3，结合图象可知当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2时，两函数y ＝ln x 与y ＝kx ＋1有三个不同的交点，即方程有三个不同的实数根，故应选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·沈阳质检]函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞(写成⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞也给分) 解析 函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ≥0，即x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.14．[2016·长春质检]设函数f (x )＝1－e x的图象与x 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________．答案 y ＝－x解析 由题意P (0,0)，f ′(x )＝－e x，f ′(0)＝－1，从而曲线在点P 处的切线方程为y ＝－x .15．[2016·北京高考改编]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a无最大值，由图象可知－2a >2，解得a <－1.16．[2016·湖南七校联考]若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－1对称，则f (x )的最大值为________．答案 4解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (0)＝f (－2)，f (1)＝f (－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－2a ＋b ]，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋a ＋b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14－2－2－3a ＋b ]，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2(x 2＋4x )＝－14x 4－x 3＋x 2＋4x ，则f ′(x )＝－x 3－3x 2＋2x ＋4＝－(x ＋1)(x2＋2x －4)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝－1±5，易知函数f (x )在x ＝－1±5处取得极大值， 又f (－1＋5)＝f (－1－5)＝4，所以f (x )max ＝4.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·银川调研](本小题满分10分)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y＝f ′(x )的简图，它与x 轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．解 (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)上为增函数．∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(5分) (2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0，∴a ＝1.(10分)18．[2016·西安八校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x，t ∈R .(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －y ＋1＝0，则求t 的值； (2)若函数y ＝f (x )有三个不同的极值点，求t 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝(x 3－6x 2＋3x ＋t )e x， 则f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(2分)函数f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为f ′(0)＝3＋t ， 由题意可得，3＋t ＝4，解得t ＝1.(4分) (2)f ′(x )＝(x 3－3x 2－9x ＋3＋t )e x，(5分)令g (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3＋t ，则方程g (x )＝0有三个不同的根，(6分) 又g ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)， 令g ′(x )＝0，得x ＝－1或3，且g (x )在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)递增，在区间(－1,3)递减，(8分)故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即有⎩⎪⎨⎪⎧t ＋8>0，t －24<0，解得－8<t <24.(12分)19．[2017·河北石家庄联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值；(2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ， 令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)； 令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )， 函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a ．(3分) g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(6分)(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立，(7分) 当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤exx.(8分)令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ， 所以a ≤e，故实数a 的取值范围是(0，e]．(12分)20．[2016·广西三市调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k ∈Z 时，不等式k (x －1)<f (x )在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，(1分)由题意知f ′(x )≥0在[e ，＋∞)上恒成立，(2分) 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即a ≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立，(3分)而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2，∴a ≥－2.(4分) (2)f (x )＝x ＋x ln x ，k <f xx －1， 即k <x ＋x ln xx －1对任意x >1恒成立．(5分) 令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2x －2.(6分) 令h (x )＝x －ln x －2(x >1)， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．(7分) ∵h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0， ∴存在x 0∈(3,4)使h (x 0)＝0.即当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，(8分) 当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0.∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．(9分) 由h (x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2，g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋ln x 0x 0－1＝x 0＋x 0－x 0－1＝x 0∈(3,4)，(11分)∴k <g (x )min ＝x 0且k ∈Z ，即k max ＝3.(12分)21．[2017·江苏模拟](本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x－bx ＋1.(1)若2a －b ＝4，则当a >2时，讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝－1，F (x )＝f (x )－5x，且当a ≥－4时，不等式F (x )≥2在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)由2a －b ＝4，得f (x )＝a ln x ＋1x＋(4－2a )x ＋1，所以f ′(x )＝a x －1x2＋(4－2a )＝－2a x 2＋ax －1x 2＝－ax ＋x －x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1a －2.(2分)当a ＝4时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递减；当2<a <4时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a －2上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当a >4时，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2，12上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(6分)(2)由题意知，当a ≥－4时，F (x )在[1,4]上的最大值M ≥2.(7分) 当b ＝－1时，F (x )＝f (x )－5x ＝x －4x＋a ln x ＋1，则F ′(x )＝x 2＋ax ＋4x 2(1≤x ≤4)．(8分)①当－4≤a ≤4时，F ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24x 2≥0，故F (x )在[1,4]上单调递增，M ＝F (4)．(9分)②当a >4时，设x 2＋ax ＋4＝0(Δ＝a 2－16>0)的两根分别为x 1，x 2，。
【配套K12】2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十五概率与统计试题文
重组十五 概率与统计测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·济南教学调研]某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是( )A ．20B ．16C ．15D ．14答案 D解析 高三年级的人数是280400＋320＋280×50＝14(人)．故答案为D.2．[2017·吉林长春质检]我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约( )A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石 答案 C解析 由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为27216＝18，则由此估计总体中谷的含量约为1512×18＝189(石)．故选C.3．[2016·河北重点中学联考]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8答案 C解析 ∵甲组数据的中位数为15， ∴x ＝5，乙组数据的平均数为16.8，∴9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，∴y ＝8，选C.4．[2017·吉林师大附中月考]观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )答案 D解析 在频率等高条形图中，aa ＋b 与cc ＋d相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，在四个选项中(等高的条形图)中，若x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强，故选D.5．[2016·山东中学模拟]下列叙述错误的是( ) A ．若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C ．线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)D ．对于任意两个事件A 和B ，都有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) 答案 D解析 对于A ，根据概率的定义可得，若事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1，故A 正确；对于B ，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B 正确；对于C ，线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)，故C 正确；对于D ，对于任意两个事件A 和B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )，只有当事件A 和B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故D 不正确．故选D.6．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.7．[2017·湖南师大附中月考]为了考察某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，可得出A ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” B ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” C ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” D ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 答案 A 解析 K 2＝－230×70×50×50≈4.762>3.841，所以有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．8．[2016·全国卷Ⅲ]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析 开机密码的可能有(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C.9．[2017·湖南六校联考]欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已．特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。
2018年高考数学复习解决方案 真题与模拟单元重组卷 重组四 大题冲关——导数的综合应用问题试题 理
重组四 大题冲关——导数的综合应用问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2017·吉林实验中学模拟](本小题满分15分)已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，其中m 为常数，e 为自然对数的底数．(1)当m ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求m 的值． 解 (1)当m ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)． 求导得f ′(x )＝－1＋1x，(2分)令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下：(5分)由表可知f (x )的最大值为f (1)＝－1.(7分) (2)求导得f ′(x )＝m ＋1x.①当m ≥0时，f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；(9分)②当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1m，若－1m≥e，此时f ′(x )≥0在(0，e]上恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；(12分)若－1m<e ，此时f ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m 上成立，f ′(x )<0在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1m ，e 上成立，此时f (x )在(0，e]上先增后减，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－3，解得m ＝－e 2，符合要求．(14分)综上可知，m 的值为－e 2.(15分)2．[2016·天津十二区联考](本小题满分15分)已知函数f (x )＝ln x －1x，g (x )＝ax ＋b .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若直线g (x )＝ax ＋b 是函数f (x )＝ln x －1x图象的切线，求a ＋b 的最小值．解 (1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －1x －ax －b ，则h ′(x )＝1x ＋1x2－a ，(2分)∵h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴对∀x >0，都有h ′(x )＝1x ＋1x2－a ≥0，(3分)即对∀x >0，都有a ≤1x ＋1x2，(5分)∵1x ＋1x2>0，∴a ≤0，故实数a 的取值范围是(－∞，0]．(7分) (2)设切点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0－1x 0，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫ln x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20(x －x 0)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20x 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x 0－1x 0，亦即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1x 20x ＋⎝⎛⎭⎪⎫ln x 0－2x 0－1，(10分)令1x 0＝t >0，由题意得a ＝1x 0＋1x 20＝t ＋t 2，b ＝ln x 0－2x 0－1＝－ln t －2t －1，令a ＋b ＝φ(t )＝－ln t ＋t 2－t －1，则φ′(t )＝－1t＋2t －1＝t ＋t －t，当t ∈(0,1)时，φ′(t )<0，φ(t )在(0,1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，φ(t )在(1，＋∞)上单调递增， ∴a ＋b ＝φ(t )≥φ(1)＝－1，故a ＋b 的最小值为－1.(15分)3．[2017·湖北四校联考](本小题满分20分)已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x . (1)当a ＝12时，证明：f (x )在定义域上为减函数；(2)若a ∈R ，讨论函数f (x )的零点情况．解 (1)证明：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x ，令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－xx，(3分)当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )max ＝g (1)＝－1，(6分)即g (x )＝ln x －x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在定义域上为减函数．(8分)(2)f (x )＝x ln x －ax 2－x 的零点情况，即方程x ln x －ax 2－x ＝0的根的情况， 因为x >0，所以方程可化为a ＝ln x －1x，(10分)令h (x )＝ln x －1x，则h ′(x )＝1－x －x2＝2－ln xx2，(12分) 令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，(13分) 当0<x <e 2时，h ′(x )>0，当x >e 2时，h ′(x )<0，所以h (x )max ＝h (e 2)＝1e 2，且当x →0时，h (x )→－∞；当x >e 2时，h (x )>0，所以h (x )＝ln x －1x的大致图象如图所示，(15分)结合图象可知，当a >1e2时，方程a ＝ln x －1x没有根；当a ＝1e 2或a ≤0时，方程a ＝ln x －1x 有一个根；当0<a <1e 2时，方程a ＝ln x －1x 有两个根．所以当a >1e 2时，函数f (x )无零点；当a ＝1e 2或a ≤0时，函数f (x )有一个零点；当0<a <1e2时，函数f (x )有两个零点．(20分)4．[2017·江西七校联考](本小题满分20分)记max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，如max{3，10}＝10，已知函数f (x )＝max{x 2－1,2ln x }，g (x )＝max{x ＋ln x ，ax 2＋x }．(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域；(2)试探讨是否存在实数a ，使得g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)设F (x )＝x 2－1－2ln x ，F ′(x )＝2x －2x＝x －x ＋x，(2分)令F ′(x )>0，得x >1，F (x )递增，令F ′(x )<0，得0<x <1，F (x )递减， ∴F (x )min ＝F (1)＝0，∴F (x )≥0， 即x 2－1≥2ln x ，∴f (x )＝x 2－1，(5分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，3.(8分) (2)①当a ≤0时，∵x ∈(1，＋∞)，∴x ＋ln x －(ax 2＋x )＝ln x －ax 2>0， ∴x ＋ln x >ax 2＋x ，∴g (x )＝x ＋ln x ，(11分) 若g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则ln x －12x <4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，设h (x )＝ln x －12x ，则h ′(x )＝1x －12＝2－x2x，令h ′(x )>0，得1<x <2，h (x )递增，令h ′(x )<0，得x >2，h (x )递减， ∴h (x )max ＝h (2)＝ln 2－1，∴4a >ln 2－1，∴a >ln 2－14.∵a ≤0，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤ln 2－14，0.(16分)②当a >0时，由①知x ＋ln x <32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，若g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则ax 2＋x <32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，即2ax 2－x －8a <0对x ∈(1，＋∞)恒成立，这显然不可能，即当a >0时，不满足g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立．(19分)故存在实数a ，使得g (x )<32x ＋4a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，且a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤ln 2－14，0.(20分) 5．[2017·河南豫南联考](本小题满分20分)已知函数f (x )＝m ln (x ＋2)＋12x 2＋1(m ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若0<m ≤2，对任意x 1，x 2∈(0,2]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤t ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋2－1x 2＋2恒成立，求t 的最小值．解 (1)f ′(x )＝mx ＋2＋x ＝x 2＋2x ＋mx ＋2(x >－2)，(2分)设g (x )＝x 2＋2x ＋m ，令g (x )＝0，则Δ＝4－4m . ①当m ≥1时，Δ＝4－4m ≤0，g (x )≥0恒成立，故f ′(x )≥0在x >－2上恒成立，即函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递增．(4分) ②当0<m <1时，Δ＝4－4m >0，不妨设方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的两根为x 1′，x 2′，且x 1′<x 2′， 则有x 1′＝－2－4－4m 2>－2，x 2′＝－2＋4－4m2，则g (x )>0在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上成立，即f ′(x )>0在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上成立，则函数f (x )在(－2，x 1′)，(x 2′，＋∞)上单调递增；g (x )<0在(x 1′，x 2′)上成立，即f ′(x )<0在(x 1′，x 2′)上成立，故函数f (x )在(x 1′，x 2′)上单调递减．(6分)③当m ＝0时，方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的根为x ＝－2或0，则当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当x ∈(－2,0)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，则函数f (x )在(－2,0)上单调递减．(8分) ④当m <0时，Δ＝4－4m >0，设方程g (x )＝x 2＋2x ＋m ＝0的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则有x 3＝－2－4－4m 2<－2，x 4＝－2＋4－4m2>－1，则f ′(x )>0在(x 4，＋∞)上成立，故函数f (x )在(x 4，＋∞)上单调递增；f ′(x )<0在(－2，x 4)上成立，故函数f (x )在(－2，x 4)上单调递减．(10分)(2)因为f ′(x )＝m x ＋2＋x ，x >－2,0<m ≤2，所以f ′(x )＝mx ＋2＋x >0在(0,2]上恒成立，故函数f (x )在(0,2]上单调递增．不妨设0<x 1≤x 2≤2， 则|f (x 1)－f (x 2)|≤t ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1＋2－1x 2＋2可化为f (x 2)＋t x 2＋2≤f (x 1)＋t x 1＋2.(13分)设h (x )＝f (x )＋tx ＋2＝m ln (x ＋2)＋12x 2＋1＋tx ＋2，则h (x 1)≥h (x 2)， 所以h (x )为(0,2]上的减函数，即h ′(x )＝m x ＋2＋x －tx ＋2≤0在(0,2]上恒成立，等价于m (x ＋2)＋x (x ＋2)2－t ≤0在(0,2]上恒成立，即t ≥m (x ＋2)＋x (x ＋2)2在(0,2]上恒成立．(17分)又0<m ≤2，所以2(x ＋2)＋x (x ＋2)2≥m (x ＋2)＋x (x ＋2)2， 对于函数y ＝2(x ＋2)＋x (x ＋2)2＝x 3＋4x 2＋6x ＋4，因为y ′＝3x 2＋8x ＋6>0在(0,2]上恒成立，故y ＝x 3＋4x 2＋6x ＋4在(0,2]上是增函数，即y max ＝23＋4×22＋12＋4＝40，所以m (x ＋2)＋x (x ＋2)2≤40，所以t ≥40，即t 的最小值为40.(20分)6．[2017·衡中期末](本小题满分20分)设函数f (x )＝xln x －ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数定义域为：{x |x >0，且x ≠1}，对函数f (x )求导：f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ，(3分)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ≤0在(1，＋∞)恒成立， 所以f ′(x )max ≤0.(5分)由f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，所以a ≥14，所以a 的最小值是14.(8分)(2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，则问题等价为： 当x 1，x 2∈[e ，e 2]时，f (x )min ≤f ′(x )max ＋a . 由(1)知，f ′(x )在x ∈[e ，e 2]的最大值为14－a ，所以f ′(x )max ＋a ＝14，所以问题转化为：当x ∈[e ，e 2]时有f (x )min ≤14.(11分)(ⅰ)当a ≥14时，由(1)知，f (x )在[e ，e 2]是减函数，所以f (x )的最小值是f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，解得a ≥12－14e2.(13分)(ⅱ)当a <14时，f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a 在[e ，e 2]的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，14－a .①当－a ≥0，即a ≤0时，f (x )在[e ，e 2]是增函数，于是f (x )min ＝f (e)＝e －a e≥e>14，矛盾．(15分)②当－a <0，即0<a <14时，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一的x 0∈(e ，e 2)，使得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，f (x )的最小值为f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，(18分)即a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e ＝12－14e >14，矛盾．综上有，a ≥12－14e2.(20分)7．[2016·广州一模](本小题满分20分)已知函数f (x )＝e x ＋m－x 3，g (x )＝ln (x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )>g (x )－x 3. 解 (1)因为f (x )＝e x ＋m －x 3，所以f ′(x )＝ex ＋m－3x 2.(2分)因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1， 所以f ′(0)＝e m＝1，(4分) 解得m ＝0.(6分) (2)证明：因为f (x )＝ex ＋m－x 3，g (x )＝ln (x ＋1)＋2，所以f (x )>g (x )－x 3等价于e x ＋m－ln (x ＋1)－2>0.(7分)当m ≥1时，e x ＋m－ln (x ＋1)－2≥e x ＋1－ln (x ＋1)－2.要证ex ＋m－ln (x ＋1)－2>0，只需证明ex ＋1－ln (x ＋1)－2>0.(9分)以下给出证明e x ＋1－ln (x ＋1)－2>0.设h (x )＝e x ＋1－ln (x ＋1)－2，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1.(10分) 设p (x )＝ex ＋1－1x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋1x ＋2>0.(11分)所以函数p (x )＝h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增． 因为h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12 －2<0，h ′(0)＝e －1>0，所以函数h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(14分)因为h ′(x 0)＝0，所以ex 0＋1＝1x 0＋1， 即ln (x 0＋1)＝－(x 0＋1)．(15分) 当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0， 所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)． 所以h (x )≥h (x 0)＝e x 0＋1－ln (x 0＋1)－2＝1x 0＋1＋(x 0＋1)－2>0.(19分) 综上可知，当m ≥1时，f (x )>g (x )－x 3.(20分)8．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点．(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )．(2分)①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点．(4分)②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0， 故f (x )存在两个零点．(7分)③设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．若a ≥－e2，则ln (－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln (－2a ))上单调递减，在(ln (－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．(10分)综上，a 的取值范围为(0，＋∞)． (2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.(13分) 由于f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2－(x 2－2)e x 2.(15分)设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x ，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0， 故当x >1时，g (x )<0.(18分)从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.(20分)。
2018年高考科学复习解决方案(文科数学)——真题与模拟单元重组卷重组六 平面向量含解析
重组六平面向量测试时间:120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题,每小题5分，共60分,每小题只有一个选项符合题意)1．2016·江南十校联考］设D是△ABC所在平面内一点,错误!＝2错误!,则（）A。
错误!＝错误!错误!－错误! B.错误!＝错误!－错误!错误!C。
错误!＝错误!错误!－错误!D。
错误!＝错误!－错误!→AB答案D解析错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!－错误!＝错误!－错误!错误!－错误!＝错误!－错误!错误!，故选D.2．2016·衡水高三大联考］平面向量a与b的夹角为30°,a＝（1,0）,｜b|＝错误!，则｜a－b|＝（) A．2错误!B．1 C.错误! D.错误!答案B解析因为|a｜＝1，所以|a－b｜＝错误!＝错误!＝错误!＝1。
故选B.3．2016·北京高考]设a，b是向量．则“|a|＝｜b｜”是“｜a＋b｜＝|a－b｜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析取a＝－b≠0，则|a｜＝|b｜≠0，｜a＋b|＝|0｜＝0，|a－b｜＝｜2a|≠0，所以｜a＋b｜≠｜a－b|,故由|a|＝｜b|推不出|a＋b|＝｜a－b｜。
由｜a＋b|＝｜a－b｜，得｜a＋b|2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0,所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝|b|,故由｜a＋b|＝｜a－b｜推不出｜a|＝｜b｜.故“｜a｜＝｜b｜"是“｜a＋b｜＝｜a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.4．2017·河北武邑期末]在边长为1的正△ABC 中,D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则错误!·错误!等于（）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!答案C解析因错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!错误!，故错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!2＋错误!错误!2＋错误!·错误!＝1＋错误!＋1×1×错误!＝错误!，故应选C.5．2017·江西九江十校联考]已知｜a ｜＝2，（2a －b )⊥a ，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案 D解析 由(2a －b )⊥a 知(2a －b )·a ＝0，即2a 2－a ·b ＝0，又|a ｜＝2，所以2|a ｜2－｜a ｜|b |cos 〈a ,b >＝8－2|b ｜cos 〈a ，b 〉＝0，得|b |cos 〈a ，b 〉＝4，即b 在a 方向上的投影为4，故选D.6．2017·吉林长春质检]△ABC 是边长为1的等边三角形，已知向量a ，b ,满足错误!＝2a ,错误!＝2a ＋b ，则下列结论正确的是（ )A ．｜b |＝2B ．a ⊥bC ．a ·b ＝错误!D 。
18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷测评卷2文
2018年高考复习全程测评卷(二)测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016²成都诊断考试]已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( )A ．[－2,2]B ．[－2,4]C ．[0,2]D ．[0,4]答案 B解析 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，故A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}，故选B. 2．[2016²茂名市二模]“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．[2017²呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32C ．±12D.12答案 B解析 由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．[2016²洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πx n(x ∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n 24＋3⇒n＝2，故选B.5．[2016²长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析 由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A. 6．[2017²广州调研]如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若AC →＝λAM→＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.25B.45C.65D.85答案 D解析 ∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－12μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.7．[2017²贵阳检测]已知a ＝2－ 13 ，b ＝(2log 23) － 12 ，c ＝cos50°²cos10°＋cos140°sin170°，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a答案 C解析 因为a ＝2－ 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 16 ，b ＝(2 log 23) － 12 ＝3－ 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫127 16，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝cos50°²cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12，所以b >c ，所以a >b >c ，故选C.8．[2016²浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝2＋1 2＋ －2－1 2＝3 2.故选C.9．[2017²广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．24＋6πB．12πC．24＋12πD．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3³4π³12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π³12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.10．[2016²南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 A解析 PA ⊥平面PBC ，AC ＝27，PA ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.11．[2016²山西质检]记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7²S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157 B.95 C.53 D.75答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，设{a n }的公比为q (q >0)，∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31²2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ³8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C.12．[2017²海口调研]设过曲线f (x )＝－e x－x ＋3a (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝(x －1)a ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－1,2]D ．[－2,1]答案 C解析 根据题意设y ＝f (x )上的切点为(x 1，y 1)，y ＝g (x )上的切点为(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝a －2sin x .根据已知，对任意x 1，存在x 2，使得(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，即2sin x 2＝a －1e x 1＋1对任意x 1∈R 均有解x 2，故－2≤a －1e x 1＋1≤2对任意x 1∈R 恒成立，则a －2≤1e x 1＋1≤2＋a 恒成立．又1e x 1＋1∈(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，2＋a ≥1，解得－1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－1，2]．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017²安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(ⅰ)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．答案 2或3解析 若要开启1号阀门，由(ⅰ)知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由(ⅱ)知，关闭4号阀门，由(ⅲ)知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．14．[2017²云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.15．[2017²山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|²sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝c3c －c2＝3＋1.16．[2016²广州综合测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________个．答案 2解析 由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y＝21－|x |的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016²河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5³8＝x －12.(2分)在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ²AB ＝x 2＋202－ x －12 22x ²20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ²AC ＝x 2＋502－x 22x ²50＝25x.(4分)∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，(9分)∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31³42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2017²重庆八中质检](本小题满分12分)某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)，得到如图所示的柱状图．以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．(1)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N)的函数解析式； (2)求当天的利润不低于750元的概率． 解 (1)当n ≥17时，y ＝17³(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850 n ≤16 ，850 n ≥17(n ∈N)．(7分)(2)设当天的利润不低于750元为事件A ，由(1)得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，P (A )＝1－10＋20100＝0.7.(12分)19．[2017²河北五校联考](本小题满分12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，AD ⊥DC ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，∠BAC ＝45°，平面ACD ⊥平面ABC ，E ，F 分别在BD ，BC 上，且BE ＝2ED ，BC ＝2BF .(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比． 解 (1)证明：∵AD ＝CD ＝2，AD ⊥DC ，∴△ACD 是等腰直角三角形，AC ＝ 22，如图，取AC 的中点O ，连接OD ，则OD ⊥AC .(2分) ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴OD ⊥平面ABC ，则OD ⊥BC . ∵AB ＝4，∠BAC ＝45°，∴BC ＝22，(4分) 即△ACB 是等腰直角三角形，且BC ⊥AC . ∵OD ∩AC ＝O ，∴BC ⊥平面ACD . ∵AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥AD .(6分) (2)解法一：由(1)得OD ＝2，过E 作EH ⊥平面ABC 交OB 于点H ，则EH OD ＝BEBD. ∵BE ＝2ED ，∴BE BD ＝23，则EH OD ＝BE BD ＝23，则EH ＝23OD ＝223.(8分)∵BC ＝2BF ，∴F 是BC 的中点，则BF ＝12BC ＝12³22＝2，则△ABF 的面积S ＝12BF ³AC ＝12³2³22＝2，则三棱锥D －ABC 的体积V ＝13³12AC ³BC ³OD ＝13³12³22³22³2＝423，三棱锥E－ABF 的体积V 1＝13³2³223＝429，则四棱锥A －EFCD 的体积V 2＝423－429＝1229－429＝829，则平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为829∶429＝2∶1.(12分) 解法二：∵V E －ABF ＝V A －BEF ，∴V A －EFCD ∶V E －ABF ＝V A －EFCD ∶V A －BEF ＝S 四边形EFCD ∶S △BEF .(8分) 又S △BEF ＝12³BE ³BF sin ∠EBF ，S △BCD ＝12³BC ³BD sin ∠CBD＝12³2BF ³32BE sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCE ＝S △BCD －S △BEF ＝BE ³BF sin ∠EBF ， ∴S 四边形EFCD ∶S △BEF ＝2∶1, (11分)即平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为2∶1.(12分)20．[2016²全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分) (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |²|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2017²山西四校联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，a ∈R ，a ≠0.(1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线与x 轴平行，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤ax 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x＋2ax －2.(2分) 由已知f ′(1)＝1＋2a －2＝0，解得a ＝12， 于是f ′(x )＝x 2－2x ＋1x≥0恒成立， 从而f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(5分)(2)f (x )≤ax 转化为ln x ＋ax 2－2x －ax ≤0， 设g (x )＝ln x ＋ax 2－2x －ax ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 则g ′(x )＝1x ＋2ax －2－a ＝ ax －1 2x －1 x.(7分) ①当a <0时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 因而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14a －1－12a ≤0，故－4－4ln 2≤a <0；(8分) ②当0<a <2时，1a >12，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，不符合题意；(10分) ③当a ≥2时，1a ≤12，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因而g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，不符合题意．(11分)综上a 的取值范围为[－4－4ln 2,0)．(12分)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[2016²陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)设P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的最大距离．解 (1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2分)∵曲线C 2的直角坐标方程为：⎝⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 即x 23＋y 24＝1，(4分) ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(5分) (2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－65，∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d max ＝|4＋6|5＝2 5.(10分) 23．[2016²南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝x －2＋11－x 的最大值为M .(1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解 (1)f (x )＝x －2＋11－x ≤2 x －2 ＋ 11－x 2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f (x )的最大值M ＝3 2.(5分) (2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2. 所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．(7分) 由绝对值的几何意义，得当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32， 所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为{x |－22≤x ≤2}．(10分)。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(14)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十四)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．集合2{22,}A y y x x x R ==-+∈，2{560}B x x x =-+-≤，则A B R ð= A ．[2,3] B ．(2,3) C ．[1,+∞) D ．[1,2)[3,)+∞ 2．已知复数2(1i)1iz +=-（i 是虚数单位），下列关于复数z 的结论正确的为A ．在复平面内，复数z 所对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数为1i z =-C ．若复数z b ω=+(b ∈R )为纯虚数，则b = lD ．复数z 的模为23．已知函数22,0()log ,0 x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，若(4)2()f f a =，则实数a 的值为A ．-1或2B ．2C ．-1D ．-2 4．在数列{n a }中，1a = 1，2a =3，且11n n n a a a +-=(2)n ≥，则2018a 的值为 A ．3 B ．1 C ．13D ．201535．已知,x y 满足不等式组35020 0,0x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≥≥，则目标函数1()42x y z =⨯的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数y = sin 2x 的图象向左平移ϕ(ϕ>0)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数22cos y x =的图象，那么ϕ可以取的值为 A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π67．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为A ．89B ．82C ．27D ．24 8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．1π3B ．2π3C ．πD ．4π39．已知直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥CD ，222AB CD AD ===，P 是以C 为圆心，且与BD 相切的圆上的动点，设AP AD AB λμ=+(,)λμ∈R ，则λμ+的最大值为A ．1-B ．2C ．1D ．2-10．某校4位同学参加一次数学竞赛，规定：每人从甲、乙两类题中各随机抽取一题，且抽取甲类题目答对得3分，答错扣3分，抽取乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为12，那么这4位同学得分之和为0的概率为A ．1164 B ．34 C ．38 D ．111611．如图，1F ,2F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22e 3a b+(e 为椭圆的离心率)，的最小值为ABCD 12．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2e x f x f x x -'+=，若(0)1f =，则函数()()f x f x '的取值范围为A ．[1,0]-B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知1()2nx x+的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 的系数为 ．14．若椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴的上、下顶点分别为1B 、2B ，若四边形1122F B F B 为面积等于1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为 ．15．如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径1r =，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径R= ．16．如图，在正方形ABCD 中作如下操作：先过点D 作直线1DE ，交BC 于点1E ，记11CDE α∠=，第一步，作1ADE ∠的平分线交AB 于点2E ，记22ADE α∠=，第二步，作2CDE ∠的平分线交BC 于点3E ，记33CDE α∠=，第三步，作3ADE ∠的平分线交AB 于点4E ，记44ADE α∠=，以此类推，得数列123,,,ααα…,n α…，若1π12α=，那么数列{}n a 的通项公式为 ．E 4E 3E 2E 1DCBAα4α3α2α1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且()2c b -s i n B +()2b c -sin C -a sin A =0． (1)求角A 的大小：(2)若a b +c 的取值范围． 18．(本小题满分12分)中央电视台消费主张栏目随机对甲、乙两种不同规格的产品进行抽检，其质量好坏按测试指标分数进行划分，其中分数不小于82分的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：(1)根据表中数据，估计甲、乙两种产品的合格率；(2)根据以上数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“两种产品的质量有明显差异”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(3)已知生产1件甲产品，若为合格品，则可盈利40元，若为次品，则亏损5元；生产1件乙产品，若为合格品，则可盈利50元，若为次品，则亏损10元，在(1)的前提下，记ξ为生产l 件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图，AB 、CD 为两条异面直线且互相垂直，F 为AB 的中点，CF 是AB 、CD 的公垂线段，作DE ∥CF ，连接AC 、BD ，G 为BD 的中点，AB = AC = AE = BE = 2．A(1)在平面ABE 内是否存在一点H ，使得AC ∥GH ?若存在，求出点H 所在的位置，若不存在，请说明理由； (2)求二面角ADB E --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知抛物线22 (0)y px p =>，过点(4,0)作直线l 交抛物线于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ． (1)求抛物线的方程；(2)过抛物线上的定点M 作两条关于直线x = l 对称的直线，分别交抛物线于C ，D 两点，连接CD ，试问：直线CD 的斜率是否为定值？请说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数2()ln 3f x x x ax =+-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =． (1)确定实数a 的值，并求函数()f x 的单调区间；(2)若*n ∈N，求证：2111ln(11)2ln(1)2ln(1)ln(1)2)623n n++++++++<- ．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨⎪⎩(θ为参数)，直线l的参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ( t 为参数)，T 为直线l 与曲线C 的公共点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点T 的极坐标；(2)将曲线C倍（横坐标不变）后得到曲线W ，过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W截得的线段长为m 的极坐标方程． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()3,()4f x x g x x m =-=-++．(1)已知常数a < 2，解关于x 的不等式()20f x a +->；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求实数m 的取值范围．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(十四)答案1．C 【解析】22{22,}{|(1)1}A y y x x x R y y x ==-+∈==-+{|1}y y =≥，2{560}B x x x =-+-≤2{560}x x x =-+≥{23}x x x =≤或≥,(2,3)R B =ð，故[1,)R A B =+∞ ð，选C ．2．C 【解析】由已知22(1i)2i(1i)1i 1i 1iz ++===-+--，因而z 在复平面内对应的点位于第二象限，A 错误，1i z =--，B错误，z D 错误，若1i b ω=-++为纯虚数，则10b -+=，即10b -+=，即1,b =故选C ．3．A 【解析】2(4)log 42f ==，因而2()2f a =，即()1f a =，当0a >时，2()log 1f a a ==，因而2a =，当a ≤0时，2()1f a a ==，因而1a =-，故选A ． 4．A 【解析】由已知，121,3a a ==，且11 (2)n n n a a a n +-=≥，则13a a =2a ，从而33a =又243a a a =，41a ∴=，同理513a =，613a =，71a =，83a =，那么数列{}n a 为周期数列，且周期为6，201823a a ∴==，故选A ．5．A 【解析】通过不等式组35020 0,0 x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≥≥作出可行域如图中三角形OAB 及其内部所示，其中(1,2)A ，5(0,)3B ，求21()422x y y x z -=⨯=的最小值，可转化为求2y x -的最小值，当0x y ==时，2y x -取得最小值0，则1()42x y z =⨯的最小值为1，故选A ．6．C 【解析】通解 将sin 2y x =的图象向左平移ϕ个单位，再向上平移1个单位长度得到sin 2()1y x ϕ=++的图象，此时2sin 2()12cos y x x ϕ=++=，即sin 2()cos 2x x ϕ+=，因而π22π,2k k ϕ=+∈Z ，那么，由选项可知ϕ可以取的值为π4，故选C ． 优解 由已知，可以将22cos y x =的图象作相应的逆变换，先向下平移1个单位长度得到函数22cos 1y x =-的图象，即cos 2y x =，而πcos2sin(2)2y x x ==+，因而将πsin(2)2y x =+的图象向右平移π4个单位长度得到sin 2y x =的图象，因而ϕ可以取的值为π4，故选C ． 7．A 【解析】因为输入x 的值为1，执行循环可知，S =2，x =2；S =7，x =4；S =24，x =8；S =89，此时满足输出条件，故输出S 的值为89，选A ．8．C 由已知三视图，可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体，即如图所示的下半部分，则其体积为圆柱的一半，因而21π12π2V =⨯⨯⨯=，故选C ．9．B 【解析】由已知分别以AD ，AB 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (l,1),B (0,2),D (l,0),直线BD 的方程为220x y +-=, 圆C的半径为R ==C 的方程为221(1)(1)5x y -+-=， 由AP AD AB λμ=+ ，得(0,1)(0,2)(,2),AP λμλμ=+=(,2)P λμ在圆C 上，因而，221(1)(21)5λμ-+-=，设1,21λθμθ==，则331sin()222λμθθθϕ+==++，其中tan 2ϕ=，所以当sin()1θϕ+=时λμ+取得最大值2，故选B ．10．A 【解析】每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44256=种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有24C 种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有142C 种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有24C 22⨯⨯种可能；4人全选甲类且两对两错，有24C 种可能．共有2122444422244C C C C ++⨯⨯+=种情况，因而所求概率为441125664P ==，故选A ． 11．A 【解析】连接1F P ，OQ ，因为点Q 为线段2PF 的中点，所以1||2||2F P OQ b ==，由椭圆的定义得2||22PF a b =-，由12F P F P ⊥，得222(2)(22)(2)b a b c +-=，解得23a b =，e =22251519()32292a a e a ba a ++==+⋅≥（当且仅当a =，故选A ． 12．B 【解析】由()()2x f x f x xe -'+=，得()()2x x e f x e f x x '+=，∴[()]2x e f x x '=，设2()x e f x x c =+，由于(0)1f =，因而1c =，∴21()x x f x e+=，2222(1)(1)()x x x x xe x e x f x e e -+-'==-， ∴222()(1)21()11f x x xf x x x '-=-=-+++，当0x =时，()1()f x f x '=-， 当0x ≠时，222[1,1]1x x x x=∈-++，当1x =-时取得最小值，当1x =时取得最大值， 从而()()f x f x '的取值范围为[2,0]-，故选B ． 13．7【解析】1()2n x x+的展开式中前三项的系数分别为0nC ，112n C ⨯，221()2n C ⨯， 由已知得022111()222n n n C C C +⨯=⨯，得8n =，81()2x x +的展开式的通项8181()2r r r r T C x x-+=⨯8281()2r r r C x -=⨯，令824r -=得2r =，因而展开式中4x 的系数为2281()72C ⨯=．14．43【解析】由已知得，1,a b c ===，所以椭圆C 的方程为22112y x +=，设00(,)A x y 是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则00x y =，所以222000123x y x =+=，解得2013x =，所以椭圆C 的内接正方形的面积22004(2)43S x x ===．15【解析】根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且1AB O C ⊥，所以1OO =1AO R =高1BO R =1113AO BO ==，化简得R =，即234R =，得R =． 16．1[1()]62n n πα=+-【解析】由已知，得211()22παα=-，321()22παα=-，431()22παα=-，以此类推，则11()22n n παα+=-，此递推关系式可化为11()626n n ππαα+-=--，即数列{}6n πα-是以1612ππα-=-为首项，12-为公比的等比数列，因而111()()612262n n n πππα--=-⨯-=⨯-，从而1[1()]62n n πα=+-． 17．【解析】(1)因为()sin ()sin sin 022c bb Bc C a A -+--=，由正弦定理得2()()022c bb bc c a -+--=， （2分）化简得2220b c a bc +--=．即2221cos 22b c a A bc +-==，π3A =． （5分）(2)由正弦定理可得2sin sin sin sin 3b c a B C A ====， 所以2sin ,2sin b B c C ==，2π12(sin sin )2[sin sin()]2(sin sin )3sin 32b c B C B B B B B B B +=+=+-=+=π)6B =+． （9分） 因为2π03B <<，所以ππ5π666B <+<，即1πsin()126B <+≤，所以b c +∈． （12分） 18．【解析】(1)甲产品的合格率为14032841005P ++==．乙产品的合格率为24029631004P ++==． （4分）(2)填写完整的2⨯2列联表如下2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=200(80257520)0.717 3.84110010015545⨯⨯-⨯≈<⨯⨯⨯ （5分）因而没有95%的把握认为“两种产品的质量有明显差异” （6分） (3)随机变量ξ的可能取值为90，45，30，‒15， 433(90)545P ξ==⨯=，133(45)5420P ξ==⨯=，411(30)545P ξ==⨯=，111(15)5420P ξ=-=⨯=． （10分） 所以随机变量ξ的分布列为数学期望33119045301566520520E ξ=⨯+⨯+⨯-⨯=（12分）19．【解析】解法一(向量法) (1)如图，连接FE ，以FE ，FB ，FC所在的直线分别为x ，y ，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，F 为AB 的中点，AB =AC =AE =BE =2，∴F (0,0,0)，A (0,‒1,0)，B (0,1,0)，C ，D ，由于G 为BD 的中点，由中点坐标公式得G12，AC = （2分）假设在平面ABE 内存在一点H (x 0,y 0,0)满足题意，则001,2HG x y =-∵AC ∥GH 00x =，且0121y -=，即0x =00y =，因而所求点H 为FE 的中点．故在平面ABE 内存在点H ，使得AC ∥GH ，且点H 为FE 的中点． （6分）(2)在平面ABD 内，AB =(0,2,0),BD，设平面ABD 的法向量为m =(x ,y ,z ),则00AB BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m，即200y y =⎧⎪-+=，则y =0，令x =1，z = ‒1，∴m =(1,0,‒1)为平面ABD的一个法向量． （8分）在平面BDE 内，E，因而BE，设平面BDE 的法向量为n =(a ,b ,c )，则00BE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0b b -=-=，取a =1，则b，c =0，∴n,0)为平面BDE 的一个法向量， （10分） ∴cos<m ,n>=|⋅==⋅m n|m |n |, 由于二面角A ‒DB ‒E 为锐角，因而二面角A ‒DB ‒E（12分） 解法二(传统法) (1)取BE 的中点M ，连接GM ，EF ，作MH ∥AB 交EF 于H ，则点H 为FE 的中点，MH ∥12BF ∥12F A . （2分）连接GH ，则GM ∥12DE ∥12CF ， （4分）易知∠GMH =∠CF A =2π，从而△GHM ∽△CAF ， 从而AC ∥GH ，即存在点H 满足题设要求，且点H 为FE 的中点． (6分）(2)连接AM ，由已知AM ⊥EB ，AM ⊥DE ，EB ∩DE =E ，因而AM ⊥平面EBD ，作MN ⊥BD 于N ，连接AN ，则∠ANM 为二面角A ‒BD ‒E 的平面角，为锐角．（8分） 由已知可得△BDE ∽△BMN ，因而MN BMDE BD=， ∴MN=BM DE BD ⨯==，又AM， （10分） 则tan ∠ANM =AMMNcos ∠ANM因而二面角A ‒BD ‒E． （12分） 20．【解析】（1）当直线l的斜率不存在时，4=，2p =，24y x =．当直线l 斜率存在时， （2分） 设直线l 的方程为(4) (0)y k x k =-≠，联立2(4)2 y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去y 得 2222(82)160k x k p x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1216x x =，所以22221212464y y p x x p ==，128y y p =-，由0OA OB ⋅=，得12120x x y y +=， 即1680p -=，所以2p =，故抛物线的方程为24y x =． （5分）综上，抛物线的方程为24y x =． （6分） (2)由(1)知，(1,2)M ，设直线CD 的方程是x my n =+，显然直线CD 不过点M ，联立24 y x x my n ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my n --=，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，则343444 y y m y y n +=⎧⎨=-⎩， 由题意MC ，MD 两直线关于1x =对称等价于直线MC ，MD 的倾斜角互补， 即0MC MD k k +=，即3321y x --44201y x -+=-， （8分） 整理得3443(2)(1)(2)(1)0y x y x --+--=， 即344334342()()40x y x y x x y y +-+-++=， 将3344x my nx my n =+⎧⎨=+⎩和343444 y y m y y n +=⎧⎨=-⎩代入上式化简得(1)(21)0m n m ++-=，要使上式恒成立，当且仅当10m +=或210n m +-=． （10分） ①当10m +=，即1m =-时，直线CD 的方程为x y n =-+，即直线CD 的斜率为1-． ②当210n m +-=时，将12n m =-代入直线CD 的方程得12x my m =+-， 即1(2)x m y -=-，此时直线CD 过点(1,2)M ，与题意矛盾．所以直线CD 的斜率恒为定值1-． （12分） 21．【解析】(1)由已知得函数()f x 的定义域为(0,)+∞1()32f x ax x'=+-，∵函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =， 则(1)1320f a '=+-=，∴2a =，由1(41)(1)()340x x f x x x x+-'=+-=-=，得1x =或14x =-（舍去）∴当(0,1)x ∈时，´()0f x >，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，´()0f x <，()f x 单调递减． 故函数()f x 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞． （4分） (2)由(1)知()f x 有最大值(1)1f =，因而()1f x ≤． ∴当(1,)x ∈+∞时，2()ln 321f x x x x =+-<恒成立， ∴2ln 231(21)(1)x x x x x <-+=--，∴ln 211x x x <--，取11x n=+，则1ln(1)211nn n+<+ 即12ln(1)1n n n +<+， （6分）∴111ln(11)2ln(1)3ln(1)ln(1)23n n++++++⋅⋅⋅++2222111(1)(1)(1)(1)2(1)12323n n n<++++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++ （8分）而11111231n +++⋅⋅⋅+<1<1=⋅⋅⋅11)=+++⋅⋅⋅+1= （10分）因而21112(1)22)623n n n+++⋅⋅⋅++<+=-即对任意的*n ∈N，2111ln(11)2ln(1)2ln(1)ln(1)2)623n n++++++++<- （12分）22．【解析】(1)曲线C 的普通方程为22162x y +=，将 122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入上式整理得2440t t -+=， 解得2t =．故点T的坐标为，其极坐标为π(2,)6． （4分）(2)依题意知，坐标变换式为x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，故W的方程为216x =，即226x y +=． （6分） 当直线m的斜率不存在时，其方程为x = 当直线m的斜率存在时，设其方程为1(y k x -=，即10kx y -+=，由已知，圆心(0,0)到直线m=，解得k =． 此时，直线m的方程为2y =+． 故直线m的极坐标方程为cos ρθsin cos 2ρθθ=． （10分） 23．【解析】(1)由()20f x a +->得32x a ->-，32x a ∴->-或32x a -<-，5x a ∴>-或1x a <+， （3分） 故不等式的解集为(,1)(5,)a a -∞+-+∞ ． （5分） (2) 函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方， ∴()()f x g x >恒成立，则34m x x <-++恒成立， （7分） 34(3)(4)7x x x x -++--+= ≥． （10分）m ∴的取值范围为7m <．（10分）。
教育最新K122018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十六算法初步复数推理与证明试题文
重组十六 算法初步、复数、推理与证明测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·北京朝阳区模拟]i 为虚数单位，复数2i1＋i ＝( )A ．1－iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1＋i答案 D解析 分母实数化，即分子与分母同乘以分母的共轭复数：2i1＋i ＝－1－i2＝1＋i.故选D.2．[2016·西安八校联考]已知复数z ＝1＋a i(a ∈R)(i 是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限，且z －·z ＝5，则a ＝( )A ．2B ．－2 C. 2 D ．－ 2答案 B解析 ∵z ＝1＋a i(a ∈R)在复平面上表示的点在第四象限，∴a <0. 又z ·z ＝(1－a i)(1＋a i)＝1＋a 2＝5， ∴a ＝±2，而a <0，∴a ＝－2，故选B.3．[2016·衡水高三大联考]欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2e i π3 ，z 2＝e i π2 ，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 因为z 1＝2ei π3＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝1＋3i ，z 2＝e i π2 ＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3ii＝＋3－－＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限，故选D.4．[2016·云南师大附中月考]观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，…，则52015的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125答案 D解析 由题意55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625,511＝48828125，可以看出这些幂的末四位数是以4为周期变化的，∵2015÷4＝503…3，∴52015的末四位数与57的末四位数相同，故选D.5．[2017·山西太原模拟]我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析 第一次循环，得S ＝0＋1＋1 ＝2<10，不满足条件，继续循环；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝2＋12＋2＝92<10，不满足条件，继续循环；第三次循环，得n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝92＋14＋4＝354<10，不满足条件，继续循环；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝354＋18＋8＝1358>10，结束循环，输出n ＝4，故选B.6．[2016·长春质监]按图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )A ．51B ．49C ．47D ．45答案 A解析 经计算得b ＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.7．[2016·安徽十校联考]在平面直角坐标系xOy 中，满足x 2＋y 2≤1，x ≥0，y ≥0的点P (x ，y )的集合对应的平面图形的面积为π4；类似的，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足x 2＋y 2＋z 2≤1，x ≥0，y ≥0，z ≥0的点P (x ，y ，z )的集合对应的空间几何体的体积为( )A.π8B.π6 C.π4 D.π3答案 B解析 所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为18×43π×13＝π6，故选B. 8．[2017·北京东城质检]小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是( )A．方案一B．方案二C．方案三D．方案二或三答案 C解析方案一：所用时间为8＋5＋13＋7＋15＋6＝54.方案二：所用时间为8＋15＋7＝30.方案三：所用时间为8＋13＋7＝28.所以所用时间最少的方案是方案三．9．[2016·北京西城区期末]某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x(单位：千米)为行驶里程，y(单位：元)为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填( )A ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12＋4B ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12＋5C ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＋4 D ．y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＋5 答案 D解析 由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费)；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x >4时，所收费用y ＝12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －4＋12×2＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＋5，故选D.10．[2016·山西考前质监]运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y ＝x 上，则判断框中可填写的条件是( )A ．i >6?B ．i >7?C ．i >8?D ．i >9?答案 D解析 i ＝1，y ＝0. ，， ，， ，11．[2017·福建福州模拟]我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c(a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋da ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( ) A.227 B.6320 C.7825 D.10935答案 A解析 由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715<π<165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715<π<227，故选A.12．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B解析 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A 、D ；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C ，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·河南重点高中质检]若复数4＋b i1＋i (b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b ＝________.答案 0 解析 ∵4＋b i1＋i ＝＋b －＋－＝4＋b 2＋b －42i ，若实部与虚部互为相反数，则4＋b ＋b －4＝0，∴b ＝0.14. [2017·衡水中学模拟]如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行，数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为________．答案 194解析 由题意得，前19行最后一个数字为1＋2＋3＋…＋19＝1＋192·19＝190，而第20行是从左往右数的，故第20行从左往右第4个数字是194.15．[2016·湖南东部六校联考]对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．答案 (－3，－1)∪(1,2)解析 不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 16．[2017·河南百校联考]在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如32＋42＝52,52＋122＝132,62＋82＝102,72＋242＝252,82＋152＝172等等．后人在此基础上进一步探索，得到如下规律：若a ，b ，c 是一组勾股数，且a <b <c ，则当a 是大于1的奇数时c 可以用a 表示为c ＝a 2＋12；当a 是大于4的偶数时c 可以用a 表示为c ＝________.答案a 24＋1解析 当a 是大于1的奇数时，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，当a 是大于4的偶数时，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数，所以a 是大于4的偶数时b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋1.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2016·洛阳期中](本小题满分10分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ； (2)已知复数z ＝5m21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．解 (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1，解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴b ＝－32，∴z ＝12－32i.(5分) (2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意得m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2. ∵2m 2－5m －3≠0，∴m ≠3，∴m ＝－2.(10分)18．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n可以推测N (n ，k )的表达式，计算N (10,24)的值．解 已知式子可化为：N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，(2分)N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，(4分) N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，(6分) N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，(8分) 由归纳推理可得N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，(10分)故N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000.(12分)19．[2016·山东师大附中二模](本小题满分12分)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，求m 的取值范围．解 ∵f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，故函数y ＝h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ h，h ，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，(8分)即⎩⎪⎨⎪⎧4－m ≥0，－2－m ≥0，254－252＋4－m <0，解得－94<m ≤－2.(12分)20．[2016·重庆巴蜀期中](本小题满分12分)若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则|z ＋2－2i|＝|a ＋b i ＋2－2i|＝|(a ＋2)＋(b －2)i|＝a ＋2＋b －2＝1，所以(a ＋2)2＋(b －2)2＝1.这表示的是一个圆心为(－2,2)，半径为1的圆，(4分)而|z －2－2i|＝|a ＋b i －2－2i|＝|(a －2)＋(b －2)i|＝a －2＋b －2，这表示圆上任意一点(a ，b )到点(2,2)的距离．(8分)由于圆心为(－2,2)到点(2,2)的距离为d ＝42＝4，所以|z －2－2i|的最小值为d －r ＝4－1＝3.(12分)21．[2016·湖南四校联考](本小题满分12分)对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”，已知f (x )＝2x－t2x ＋1是“可构造三角形函数”，求实数t 的取值范围．解 f (x )＝2x＋1－t －12x ＋1＝1－t ＋12x＋1，(2分) 当t ＋1＝0，即t ＝－1时：f (x )＝1，此时f (a )，f (b )，f (c )都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意；(4分)当t ＋1>0，即t >－1时：f (x )在R 上单调递增，－t <f (x )<1，∴－t <f (a )，f (b )，f (c )<1，由f (a )＋f (b )>f (c )，得－2t ≥1⇒－1<t ≤－12；(7分)当t ＋1<0，即t <－1时：f (x )在R 上单调递减，1<f (x )<－t ，由f (a )＋f (b )>f (c )，得2≥－t ⇒t ≥－2，∴－2≤t <－1.(10分)小学+初中+高中小学+初中+高中 综上，－2≤t ≤－12.(12分) 22．[2016·南京金陵测试](本小题满分12分)已知数列a 1，a 2，…，a 30，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0)．(1)若a 20＝40，求d ；(2)试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a 30，a 31，…，a 40是公差为d 3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．试写出a 10n 关于d 的关系式(n ∈N *)．解 (1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40，∴d ＝3.(2分)(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)，(4分) a 30＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫d ＋122＋34， 当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，＋∞.(6分) (3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10n 关于d 的关系式．研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，(9分)依次类推可得a 10n ＝10＋10d ＋…＋10d n －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10n ，d ＝1，－d n 1－d，d ≠1.(12分)。
教育最新K122018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十二大题冲关__立体几何的综合问题试题文
重组十二 大题冲关——立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．[2017·安徽皖江联考](本小题满分15分)如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且CE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，现将△ACD 沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D ′，此时ED ′＝102.(1)求证：D ′H ⊥AE ；(2)求三棱锥B －AED ′的体积．解 (1)证明：在矩形ABCD 中，∵CE ＝1，AB ＝3，BC ＝3，∴tan ∠EDC ＝CE CD ＝33，tan ∠ACB ＝AB BC ＝33， ∴∠EDC ＝∠ACB .∵∠DCA ＋∠ACB ＝π2，∴∠EDC ＋∠DCA ＝π2，∴∠DHC ＝π2，∴AC ⊥DE ，∴D ′H ⊥AC .(4分)又△CHE ∽△AHD ，且CE ∶AD ＝1∶3， ∴D ′H ＝DH ＝34DE ＝32，HE ＝14DE ＝12.(7分)∵ED ′＝102，∴D ′H 2＋HE 2＝D ′E 2，∴D ′H ⊥HE . ∵直线AC 与HE 是平面ABC 内的两条相交直线，∴D ′H ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ，∴D ′H ⊥AE .(10分) (2)由(1)知D ′H ⊥平面ABC ，又V B －AED ′＝V D ′－ABE ，V D ′－ABE ＝13S △ABE ×D ′H ＝13×12×2×3×32＝32， ∴V B －AED ′＝32.(15分)2．[2017·南昌检测](本小题满分15分)已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠BAD ＝120°，PA ＝b .(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 的中点，若点M 到平面POD 的距离为14b ，求a ∶b 的值．解 (1)证明：(2)因为V M －POD ＝V P －OMD ，在Rt △OMD 中，有S △OMD ＝12×14a ×32a ＝316a 2.(8分)在Rt △POD 中，有OD ＝32a ，PO ＝b 2＋14a 2⇒S △POD ＝12×32a ×b 2＋14a 2.(11分)所以13×a 2⎝⎛⎭⎪⎫3b 2＋34a 24×14b ＝13×316a 2×b ⇒3a 2＝4b 2，(13分) 即a ∶b ＝2∶ 3.(15分)3．[2017·沈阳质检](本小题满分20分)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝3.E 为PD 的中点，F 在棱PA 上，且AF ＝1.(1)求证：CE ∥平面BDF ； (2)求点P 到平面BDF 的距离．解 (1)证明：如图所示，取PF 的中点G ，连接EG ，CG .连接AC 交BD 于O ，连接FO . 由题可得F 为AG 的中点，O 为AC 的中点，∴FO ∥GC ， ∵FO ⊄平面GEC ，GC ⊂平面GEC ， ∴FO ∥平面GEC .又G 为PF 的中点，E 为PD 的中点，∴GE ∥FD . ∵FD ⊄平面GEC ，GE ⊂平面GEC ， ∴FD ∥平面GEC ，又∵FO ∩FD ＝F ， ∴平面GEC ∥平面BDF .∵CE ⊂平面GEC ，∴CE ∥平面BDF .(9分) (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA 是三棱锥P －ABD 的高，又S △ABD ＝12×3×3×32＝934，∴V P －ABD ＝13×S △ABD ×PA ＝934，同理V F －ABD ＝13×S △ABD ×FA ＝334，∴V P －BDF ＝V P －ABD －V F －ABD ＝332.∵S △BDF ＝12×BD ×DF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝12×33×32＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝3394，(16分)设点P 到平面BDF 的距离为h ，则V P －BDF ＝13S △BDF h ＝332，∴13×3394h ＝332， 解得h ＝61313，即点P 到平面BDF 的距离为61313.(20分)4．[2017·石家庄二中调研](本小题满分20分)如图所示，四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，O 为AC ，BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，PO ＝6，点M 为侧棱PD 上一点，且满足PD ⊥平面ACM .(1)若在棱PD 上存在一点N ，且BN ∥平面AMC ，确定点N 的位置，并说明理由； (2)求点B 到平面MCD 的距离．解 (1)当点N 为PM 的中点时，BN ∥平面AMC .理由如下： △ACD 中可得OD ＝3，OC ＝1， ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥OC ，PO ⊥OD . Rt △POC 中，PO ＝6，OC ＝1，∴PC ＝7， 同理可得，PD ＝3.△PCD 中，由余弦定理可得cos ∠CDP ＝12，∴∠CDP ＝π3，Rt △CDM 中，DM ＝1，∴M 为边PD 的三等分点．(6分) ∵N 为PM 的中点，且M 为边PD 的三等分点，∴MO 为△BND 的中位线， ∴MO ∥BN ，MO ⊂面AMC ，BN ⊄面AMC ， ∴BN ∥面AMC .(10分)(2)∵PO ⊥面ABCD ，M 为边PD 的三等分点，∴M 到平面ABCD 的距离＝PO 3＝63，(14分)S △BCD ＝3，V M －BCD ＝13×3×63＝23＝V B －MCD .(18分) 又∵S △MCD ＝12CM ×DM ＝32，∴B 到面MCD 的距离为263.(20分)5．[2017·河北百校联盟联考](本小题满分20分)在如图所示的三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，A 1B 1的中点．(1)求证：DE ∥平面ACC 1A 1；(2)若△ABC 为正三角形，且AB ＝AA 1，M 为AB 上的一点，AM ＝14AB ，求直线DE 与直线A 1M所成角的正切值．解 (1)证明：取AB 的中点F ，连接DF ，EF ，(2分) 在△ABC 中，因为D ，F 分别为BC ，AB 的中点， 所以DF ∥AC ，DF ⊄平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以DF ∥平面ACC 1A 1.(4分)在矩形ABB 1A 1中，因为E ，F 分别为A 1B 1，AB 的中点，所以EF ∥AA 1，EF ⊄平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以EF ∥平面ACC 1A 1.(6分) 因为DF ∩EF ＝F ，所以平面DEF ∥平面ACC 1A 1.(8分) 因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面ACC 1A 1.(10分)(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，连接CF ，因为△ABC 为正三角形，F 为AB 中点，所以CF ⊥AB ，所以CF ⊥平面ABB 1A 1. 取BF 的中点G ，连接DG ，EG ，可得DG ∥CF ，故DG ⊥平面ABB 1A 1. 又因为AM ＝14AB ，所以EG ∥A 1M ，所以∠DEG 即为直线DE 与直线A 1M 所成角．(16分)设AB ＝4，在Rt △DEG 中，DG ＝12CF ＝3，EG ＝16＋1＝17，所以tan ∠DEG ＝317＝5117.(20分) 6．[2017·湖北武汉质检](本小题满分20分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝ 60°，AB ＝AD ＝2CD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，M 为AP 的中点．(1)试问：直线DM 与平面PCB 是否有公共点？并说明理由； (2)若CD ＝1，求三棱锥B －CDM 的体积． 解 (1)直线DM 与平面PCB 没有公共点． 证明如下：取PB 的中点F ，连接MF ，CF ，如图．∵M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴MF ∥AB ，且MF ＝12AB .(3分)∵四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD 且AB ＝2CD ， ∴MF ∥CD 且MF ＝CD ， ∴四边形CDMF 是平行四边形， ∴DM ∥CF .∵CF ⊂平面PCB ，DM ⊄平面PCB ，∴DM ∥平面PCB ，即直线DM 与平面PCB 没有公共点. (10分)(2)由AB ＝AD ＝2CD ，CD ＝1，得AB ＝AD ＝2. 又底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝ 60°， 可知BC ⊥CD 且BD ＝2，得BC ＝BD cos30°＝3，从而S △BCD ＝12·CD ·BC ＝12×1×3＝32. (14分)又△PAD 为等腰直角三角形，∠APD ＝ 90°且AD ＝2，作PG ⊥AD ，垂足为G ，则PG ＝1. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥平面ABCD . (16分) 又M 为PA 的中点，故V B －CDM ＝V M －BCD ＝13·S △BCD ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12PG ＝13×32×12＝312. (20分)7．[2017·吉林质检](本小题满分20分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 、AC 、AA 1三条棱两两互相垂直，且AB ＝AC ＝AA 1＝2，E 、F 分别是BC 、BB 1的中点．(1)求证：C 1E ⊥平面AEF ； (2)求F 到平面AEC 1的距离．解 (1)证明：连接FC 1、AC 1，由已知可得BC ＝22，CC 1＝2，C 1E ＝6，AE ＝2，AC 1＝22，EF ＝3，FC 1＝3，(2分)∴FC 21＝EF 2＋EC 21，AC 21＝AE 2＋EC 21，(5分) ∴EF ⊥EC 1，AE ⊥EC 1，(6分)又∵EF 、AE ⊂面AEF ，EF ∩AE ＝E ，(8分) 故C 1E ⊥平面AEF .(10分)(2)解法一：由已知得AF ＝5，∴AF 2＝EF 2＋AE 2， ∴EF ⊥AE .(12分)由(1)知C 1E ⊥平面AEF ，则C 1E 为三棱锥C 1－AEF 的高，设点F 到平面AEC 1的距离为d ， 由等体积法V F －AEC 1＝V C 1－FAE ，(14分)∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×C 1E ×d ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AE ×EF ×C 1E ，(16分)∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×6×d ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×6，(18分) ∴d ＝3，即F 到平面AEC 1的距离为 3.(20分)解法二：C 1E ＝6，AE ＝2，AF ＝5，EF ＝3，FC 1＝3，(12分) ∴EF 2＋AE 2＝(3)2＋(2)2＝(5)2＝AF 2，∴EF ⊥AE ，(14分) ∴EF 2＋C 1E 2＝(3)2＋(6)2＝32＝C 1F 2，∴EF ⊥C 1E .(16分)又∵C 1E 、AE ⊂面AEC 1，C 1E ∩AE ＝E ，∴EF ⊥面AEC 1， ∴EF 即为点F 到面AEC 1的距离，(18分)EF ＝3，即F 到平面AEC 1的距离为 3.(20分)8．[2017·江西师大模拟](本小题满分20分)如图1所示，在矩形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝25，BD 是对角线，过A 点作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到达点P 的位置(图2)，且PB ＝217.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ；(2)过点C 作一平面与平面PAE 平行，作出这个平面，写出作图过程； (3)在(2)的结论下，求出四棱锥P －ABCE 介于这两平行平面间部分的体积．解 (1)证明：在图1中，AB ＝45，AD ＝25，则BD ＝10， 又AD 2＝DO ·BD ⇒DO ＝2，OB ＝8.在图2中，PO ＝DO ＝2，PO 2＋OB 2＝22＋82＝68＝PB 2， 则PO ⊥OB ，又因为PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ， 所以PO ⊥平面ABCE .(7分)(2)过点C 作AE 的平行线交AB 于点F ，过点F 作PA 的平行线交PB 于点G ，连接CG ，则平面CFG 为所求的平面．(11分)(3)在图1中，△DOE ∽△DCB ⇒DE ＝5，则 S △ADE ＝5，S 梯形ABCE ＝S ABCD －S △ADE ＝35，S △BCF ＝S △ADE ＝5，设CF 交OB 于H ，连接GH ，则GH PO＝BH OB ⇒GH ＝12，(15分) 所求的几何体的体积V ＝V P －ABCE －V G －BCF ＝13S 梯形ABCE ·PO －13S △BCF ·GH＝13×35×2－13×5×12＝1356＝452.(20分)。
教育最新K122018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组五三角函数与解三角形试题文
重组五 三角函数与解三角形测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·长春质检]已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( ) A. 5 B.4＋255 C.4＋55 D.5－25答案 C解析 由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C.2．[2016·西安八校联考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4(x ∈R )，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案 A解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4可变形为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴平移函数g (x )＝cos2x 的图象，向右平移π8个单位长度，即可得到f (x )的图象．为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只需将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位．故选A.3．[2016·天津高考]在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.4．[2016·江南十校联考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且对∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 B解析 解法一：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.解法二：因为α是第四象限角，sin α＋cos α＝15，则cos α＝45，α2是第二、四象限角，tan α2＝－sin2α2cos2α2＝－ 1－cos α21＋cos α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 6. [2016·安庆二模]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )，如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2k π，5π12＋2k π，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 答案 B解析 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，故ω＝2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．解法二：34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12，π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12， 所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．7．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A 解析 因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s >0，故s 的最小值为π6.故选A.8．[2017·四川绵阳模拟]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＋2cos2α＝0 D ．cos2β＝2cos2α答案 D解析 sin θ＋cos θ＝2sin α⇒1＋sin2θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.9．[2016·山西质监]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32 D ．1 答案 C解析 由题意2·π12＋φ＝k π＋π2⇒φ＝k π＋π3，k ∈Z ，∵|φ|<π2，所以φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x 1＋x 2＝2×π12＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin 2π3＝32.故选C.10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( )A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34答案 C解析 设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝22＋22－422×22×2＝－24，故选C.11.[2017·河北唐山模拟]已知将函数f (x )＝a sin2x ＋b cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后所得到的图象关于直线x ＝π4对称，则ba的值为( )A.33B ．1 C. 3 D ．2 答案 C解析 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝b a，将其图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝a 2＋b 2sin ( 2x －π3＋φ )，其对称轴为2x －π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由题意知其中一解为x ＝π4，则φ＝k π＋π3，k ∈Z ，即tan φ＝b a＝3，故选C.12．[2016·长春质检]在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 D解析 如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ADsin B ＝BDcos C ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B ，所以sin B cos C ＝sin Ccos B，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________.答案2＋1解析 由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.14．[2016·衡水大联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝________. 答案 79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.15．[2016·贵阳一中月考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知cos A＝c a cos C ，b ＋c ＝2＋2，cos B ＝34，则△ABC 的面积是________． 答案72解析 由cos A ＝c acos C ，得a cos A ＝c cos C ，结合正弦定理有sin A cos A ＝sin C cos C ，即sin2A ＝sin2C ，∴A ＝C 或A ＋C ＝π2，又因为cos B ＝34≠0，∴A ＝C ，即a ＝c ，即△ABC 为等腰三角形；根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，结合a ＝c ，b ＋c ＝2＋2，有b ＝22c ，c ＝2＝a ，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝2sin B ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝72. 16．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高均为3丈的标杆BC 和DE ，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D 与前标杆杆脚B 与山峰脚H 在同一直线上，从前标杆杆脚B 退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A 、C 、F 三点共线，从后标杆杆脚D 退行127步到G ，人眼著地观测到岛峰，A 、E 、G 三点也共线，问岛峰的高度AH ＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)答案 1255解析 如图，由题意BC ＝DE ＝5步，设AH ＝h 步，BF ＝123步，DG ＝127步，BC AH ＝BFHF，HF ＝123h 5 步，同理HG ＝127h 5步，由题意得(HG －DG )－(HF －BF )＝1000步，即127h 5－123h 5－4＝1000，h ＝1255.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.(2分) ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z .∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.(4分)由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(5分)(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．(10分)18．[2016·济南质检](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2A2＋()cos B －3sin B cos C ＝1.(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .解 (1)2cos 2A2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1，故cos A ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(2分)则－cos(B ＋C )＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，(4分) 展开得：sin B sin C －3sin B cos C ＝0，∵sin B ≠0，即tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(6分)(2)三角形面积为12ab sin π3＝3，故ab ＝4.(8分)由余弦定理得4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，所以a ＋b ＝4，(10分) 故a ＝b ＝2.(12分)19．[2016·云南师大附中月考](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(3c －2b )cos(π－A )＝3a cos C .(1)求解A 的值；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由(3c －2b )cos(π－A )＝3a cos C ， 得2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B .(4分) 又sin B ≠0，所以cos A ＝32. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(6分)(2)由B ＝π6，A ＝π6，知a ＝b .在△ACM 中，由余弦定理得cos 2π3＝b 2＋b 24－7b2＝－12，(10分)求得b ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.(12分)20．[2017·河北武邑二调](本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，0<ω<1，|φ|<π2，x ∈[0，3]的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝120°.(1)求A ，ω，φ的值；(2)若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值． 解 (1)由已知A ＝2，(1分)且有2sin(ω·0＋φ)＝3，即sin φ＝32，由|φ|<π2，得φ＝π3.(3分) 又∵最高点为(1,2)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＋π3＝2，解得ω＝π6，(5分)∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(6分)(2)∵B 点的横坐标为3，代入函数解析式，得 y B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋π3＝1，∴BD ＝12＋－2＝ 2.(8分)在△BCD 中，设∠CBD ＝θ，则∠BDC ＝180°－120°－θ＝60°－θ. 由正弦定理，有BD sin120°＝CD sin θ＝BC－θ，∴CD ＝263sin θ，BC ＝263sin(60°－θ)，(9分)∴BC ＋CD ＝263[sin θ＋sin(60°－θ)]＝263⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋32cos θ－12sin θ ＝263sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∴当且仅当θ＝π6时，折线段BCD 最长，最长为263千米．(12分)21．[2016·北京东城区模拟](本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝22，AC ＝2，且cos(A ＋B )＝－22. (1)求AB 的长度；(2)若f (x )＝sin(2x ＋C )，求y ＝f (x )与直线y ＝32相邻交点间的最小距离． 解 (1)∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝22，且C ∈(0，π) ∴C ＝45°.(2分) ∵BC ＝22，AC ＝2， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝(22)2＋22－82cos45°＝4. ∴AB ＝2.(4分)(2)由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝32， 解得2x ＋π4＝2k π＋π3或2x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ，(6分)解得x 1＝k 1π＋π24或x 2＝k 2π＋5π24，k 1，k 2∈Z .(8分)因为|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 2－k 1π＋π6≥π6，当k 1＝k 2时取等号，(10分) 所以当f (x )＝32时，相邻两交点间最小的距离为π6.(12分) 22. [2016·安庆二模](本小题满分12分)如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；小学+初中+高中小学+初中+高中 (2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．解 (1)在△ADC 中，根据正弦定理，有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC. 因为AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32.(2分) 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°，所以∠ADC ＝120°.(4分)于是∠C ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠B ＝60°.(6分)(2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x .于是sin B ＝ACBC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x .(8分) 在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2，(10分) 得x ＝2.故DC ＝2.(12分)。
2018年高考科学复习解决方案(理科数学)——真题与模拟单元重组卷习题重组十二大题冲关——立体几何的综合
重组十二 大题冲关——立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1． (本小题满分15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，PA ＝2，点M 在PD 上．(1)求证：AB ⊥PC ；(2)若二面角M －AC －D 的大小为45°，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值．解 (1)证明：取BC 中点E ，连接AE ，则AD ＝EC ，AD ∥EC ，所以四边形AECD 为平行四边形，故AE ⊥BC ，又AE ＝BE ＝EC ＝22，所以∠ABC ＝∠ACB ＝45°，故AB ⊥AC ，又AB ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ，(4分)故有AB ⊥PC .(6分)(2)如图建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (22，－22，0)，C (22，22，0)，P (0,0,2)，D (0,22，0)．(7分)设PM →＝λPD →＝(0,22λ，－2λ)(0≤λ≤1)， 易得M (0,22λ，2－2λ)，设平面AMC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝22x ＋22y ＝0，n 1·AM →＝22λy ＋－2λz ＝0，令y ＝2，得x ＝－2，z ＝2λλ－1，即n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2，2λλ－1，(9分) 又平面ACD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，(10分) |cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λλ－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝cos45°，解得λ＝12，(12分)即M (0，2，1)，BM →＝(－22，32，1)，而AB →＝(22，－22，0)是平面PAC 的一个法向量，(13分) 设直线BM 与平面PAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BM →，AB →〉|＝|－8－12|4×33＝539.故直线BM 与平面PAC 所成的角的正弦值为539.(15分)2．(本小题满分15分)在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝CP ∶PB ＝1∶2，如图1.将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连接A 1B 、A 1P ，如图2.(1)求证：A 1E ⊥平面BEP ； (2)求二面角B －A 1P －E 的余弦值． 解 不妨设正三角形ABC 的边长为3.(1)证明：在图1中，取BE 的中点D ，连接DF . ∵AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝1∶2，∴AF ＝AD ＝2，而∠A ＝60°，∴△ADF 是正三角形． 又AE ＝DE ＝1，∴EF ⊥AD . 在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的平面角．(4分) 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE .又BE ∩EF ＝E ，∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP .(6分)(2)建立分别以EB 、EF 、EA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E (0,0,0)，A 1(0,0,1)，B (2,0,0)，F (0，3，0)，P (1，3，0)，则A 1E →＝(0,0，－1)，A 1B →＝(2,0，－1)，BP →＝(－1，3，0)，PE →＝(－1，－3，0)．(8分) 设平面A 1BP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1⊥平面A 1BP 知，n 1⊥A 1B →，n 1⊥BP →，即⎩⎨⎧2x 1－z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.令x 1＝3，得y 1＝1，z 1＝23，n 1＝(3，1,23)．(10分) 设平面A 1PE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由n 2⊥平面A 1PE 知，n 2⊥A 1E →，n 2⊥PE →， 即可得n 2＝(3，－1,0)．(12分)cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3×3＋－＋23×032＋12＋32×02＋12＋32＝14，(14分)所以二面角B －A 1P －E 的余弦值是14.(15分)3．(本小题满分20分)如图， 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∠BAC ＝90°，AA 1⊥BC ，AA 1＝AC ＝2AB ＝4，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE∥平面ABC1.若存在，求二面角E－AC1－B的余弦值．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1＝C1，(3分)∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(7分)(2)解法一：当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图1，取A1A的中点F，连接EF，FD，∵EF∥AB，DF∥AC1，又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，则有DE ∥平面ABC 1.(12分)以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA 1＝AC ＝2AB ＝4，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C 1(0,4,4)，C (0,4,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,4)，由(1)知，A 1C →＝(0,4，－4)是平面ABC 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AC 1E 的法向量， ∵AC 1→＝(0,4,4)，AE →＝(2,0,2)，∴⎩⎨⎧n ·AC 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋4z ＝0，2x ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝－1，∴n ＝(－1，－1,1)为平面AC 1E 的一个法向量．(16分) 设A 1C →与n 的夹角为θ，则cos θ＝0－4－43×42＝－63，由图知二面角E －AC 1－B 为锐角， ∴二面角E －AC 1－B 的余弦值为63.(20分)解法二：当E 为BB 1的中点时，连接DE ，如图2，设A 1C 交AC 1于点G ，连接BG ，DG ，∵BE 綊DG ，∴四边形DEBG 为平行四边形，则DE ∥BG ，又DE ⊄平面ABC 1，BG ⊂平面ABC 1，则DE ∥平面ABC 1.(12分)求二面角E －AC 1－B 的余弦值同解法一．(20分)4．(本小题满分20分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.(1分) 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．(4分)正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．(7分) 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(8分)(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h <6，O 1O ＝4h .如图，连接O 1B 1.(10分) 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21， 所以⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．(12分) 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，(15分)从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．(17分)令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调递增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是单调递减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．(20分)5．(本小题满分20分) 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12BC ＝2，∠ABC ＝60°，M是BC 的中点，将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC 1D 1(如图)．(1)求证：BC 1⊥AC ；(2)求二面角D 1－AM －C 的余弦值．解 (1)证明：在等腰梯形ABCD 中，∵∠ABC ＝60°， ∴AC ⊥AB ，同理AC 1⊥AB ，而据题意可知：二面角C －AB －C 1为90°，(2分) 则平面角为∠CAC 1＝90°，即AC ⊥AC 1，(4分) 又∵AB ∩AC 1＝A ，∴AC ⊥平面ABC 1，(6分) ∴BC 1⊥AC .(8分)(2)以A 为坐标原点，分别以AB 、AC 、AC 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (1，3，0)，C (0，23，0)，D 1(－1,0，3)，(10分)∴AM →＝(1，3，0)，AD 1→＝(－1,0，3)， 设n ＝(x ，y ，z )⊥平面AMD 1，得⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，－x ＋3z ＝0，令x ＝3，则n ＝(3，－1,1)，(13分)又有m ＝(0,0,1)⊥平面AMC ，(16分) ∴cos 〈m ，n 〉＝15＝55，(18分) 故所求二面角余弦值为55.(20分) 6．(本小题满分20分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，(3分) 所以AB ⊥PD .又PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB .(6分) (2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(8分) 因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)．(10分)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2,2)．(12分) 又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.(14分)所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.(15分) (3)设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈，使得AM →＝λAP →. 因此点M (0,1－λ，λ)，(16分) BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD ， 则BM →·n ＝0，(18分)即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.(20分)7．(本小题满分20分)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O －EF －C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．解 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．(2分)(1)证明：依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →＝(1，－1,2)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，x －y ＋2z ＝0.不防设z ＝1，可得n 1＝(0,2,1)，(5分)又EG →＝(0,1，－2)，可得EG →·n 1＝0， 又直线EG ⊄平面ADF ， 所以EG ∥平面ADF .(7分)(2)易证，OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量．(8分) 依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →＝(－1,1,2)．设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则⎩⎨⎧n 2·EF →＝0，n 2·CF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0，－x ′＋y ′＋2z ′＝0.不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．(11分)因此有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →|·|n 2|＝－63，(13分) 于是sin 〈OA →，n 2〉＝33. 所以二面角O －EF －C 的正弦值为33.(14分) (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF →＝(1，－1,2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，(17分) 从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45， 因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →||n 2|＝－721.(19分) 所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.(20分) 8．(本小题满分20分)如图1所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2BC ＝2CD ＝8，CD ⊥BC ，O 为AB 的中点．将四边形OBCD 沿OD 折起，使平面OBCD ⊥平面ODA ，如图2，点E ，F 分别为CD ，OA 的中点．(1)求证：DF ∥平面AEB ；(2)线段AD 上是否存在一点M ，使BM 与平面AEB 所成角的正弦值为618？若存在，请求出DMMA的值；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：如图，取AB 的中点G ，连接FG ，EG .又F 为OA 的中点，所以FG ∥OB ，又OB ∥DE ，所以FG ∥DE .又FG ＝12OB ，DE ＝12OB ， 所以FG ＝DE .(3分)所以四边形EDFG 为平行四边形，所以DF ∥EG .又EG ⊂平面AEB ，DF ⊄平面AEB ，所以DF ∥平面AEB .(7分)(2)依题意知平面OBCD ⊥平面ODA ，OB ⊥OD ，平面OBCD ∩平面ODA ＝OD ，所以OB ⊥平面AOD ，得OB ⊥OA .又AO ⊥OD ，故以O 为坐标原点，OD ，OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(10分)易知AO ＝OD ＝4，DC ＝4，可得A (0,4,0)，E (4,0,2)，B (0,0,4)，D (4,0,0)．所以AE →＝(4，－4,2)，AB →＝(0，－4,4)．设平面AEB 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由⎩⎨⎧ n ·AE →＝0，n ·AB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4b ＋2c ＝0，－4b ＋4c ＝0，取a ＝1，则n ＝(1,2,2)为平面AEB 的一个法向量．(14分)假设线段AD 上存在满足条件的点M ，可设点M (t,4－t,0)，其中0≤t ≤4，则BM →＝(t,4－t ，－4)．从而|cos 〈n ，BM →〉|＝|n ·BM →||n ||BM →|＝|t ＋－t ＋－3t 2＋－t 2＋16＝t32t 2－8t ＋32， 依题意得|cos 〈n ，BM →〉|＝t 32t 2－8t ＋32＝618， 解得t ＝2或t ＝－4(舍去)．此时M (2,2,0)，即M 为AD 的中点，故DM MA ＝1.(18分)故线段AD 上存在一点M ，使BM 与平面AEB 所成角的正弦值为618，且DM MA ＝1.(20分)。
教育最新K122018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组九不等式试题文
重组九 不等式测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2017·中山一中月考]若a <b <0，则下列不等式错误的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2答案 B解析 ∵a <b <0，∴1a >1b ，故A 正确，∵a <b <0，∴0<－b ，a <a －b <0，∴1a >1a －b ，故B 错误．∵a <b <0，∴－a >－b >0，即|－a |>|－b |，∴|a |>|b |，故C 正确．∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 正确．故选B.2．[2016·湖北八校联考]已知正数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝－2x －y 的最小值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，(0,0)，(1,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，则当目标函数z ＝－2x －y 经过平面区域内的点(1,2)时，目标函数取得最小值z min ＝－2×1－2＝－4，故选D.3．[2016·西交大附中六诊]设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，以a 为横坐标，b 为纵坐标，用线性规划或其他的方法可以求出f (－2)的取值范围是( )A ．[5,8]B ．[7,10]C ．[5,10]D ．[5,12] 答案 C解析 解法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，对应区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，(3,1)，(2,0)为顶点的矩形，当f (－2)＝4a －2b 经过点(3,1)时取得最大值10，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时取得最小值5，所以f (－2)的取值范围是[5,10]，故选C.解法二：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，又f (－2)＝4a －2b ＝3(a －b )＋(a ＋b )，由不等式的基本性质可得f (－2)的取值范围是[5,10]，故选C .4．[2016·北京高考]已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln (xy )＝ln 1＝0，排除D ，选项C 中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，故选C.5．[2017·衡水模拟]若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．1 B.32 C.34 D.74答案 D解析 如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为S ＝12·2·2－12·22·22＝74，故选D.6．[2017·石家庄一中检测]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －9≤0，y ≤2，若使z ＝ax ＋y 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－2,0}B ．{1，－2}C ．{0,1}D ．{－2,0,1} 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .若a ＝0，则直线y ＝－ax ＋z ＝z ，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意； 若－a >0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意，此时－a ＝2，解得a ＝－2；若－a <0，则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意，此时－a ＝－1，解得a ＝1.综上可知，a ＝－2或a ＝1.故选B.7．[2016·浙江高考]已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.故选D.8．[2016·唐山调研]若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2>0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则z ＝|x －3|＋2y 的最小值为( ) A ．4 B.265 C ．6 D ．7答案 B解析 不等式组表示的可行域如图所示，易知A (0,2)，B (5,3)，C (3,5)，D ⎝⎛⎭⎪⎫3，135，目标函数z ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3，x ≥3，－x ＋2y ＋3，x <3，当x ≥3时，z ＝x ＋2y －3在D 点处取得最小值为265，当x <3时，z ＝－x ＋2y ＋3>265，∴z min ＝265. 9．[2016·安庆二模]如果点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0所表示的平面区域上，则x 2＋(y ＋1)2的最大值和最小值分别是( ) A ．3，35B ．9，95 C ．9,2 D ．3， 2答案 B解析 如图，先作出点P (x ，y )所在的平面区域．x 2＋(y ＋1)2表示动点P 到定点Q (0，－1)距离的平方．当点P 在(－1,0)时，|PQ |2＝2，而点Q 到直线x －2y ＋1＝0的距离的平方为95<2；当点P 在(0,2)时，离Q 最远，|PQ |2＝9.因此x 2＋(y ＋1)2的最大值为9，最小值为95.10．[2017·安徽师大附中调研]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 4≤a ，x ≥0，y ≥0，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A 解析 因为z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋＋y ＋x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，而y ＋1x ＋1表示可行域内点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，由选项可知a >0，作出可行域如下图，由已知可知y ＋1x ＋1的最小值为14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14，所以a ＝1，故选A.11．[2017·广东广雅月考]若对任意的x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B解析 不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )对任意的x ，y ∈R 恒成立等价于不等式x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0对任意的x ，y ∈R 恒成立，所以Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ＝－3(y －1)2＋12(1－a )≤0对任意的y ∈R 恒成立，所以1－a ≤0，即a ≥1，故选B.12．[2017·雅礼月考]过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≤0内一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，则当α最小时cos α的值为( )A.9510 B.1920 C.910 D.12答案 C解析 由图可得sin α2＝1|OP |⇒当|OP |最大时，α最小，此时P (－4，－2)⇒|OP |＝25⇒sin α2＝125⇒cos α＝1－2sin 2α2＝910，故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·河南联考]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，3x ＋y ≤－1，y ≥－x ＋1，则目标函数z ＝－x ＋2y 的最小值是________．答案 8解析 画出满足约束条件的平面区域，如图所示，当平移直线z ＝－x ＋2y 经过直线x ＝－2与直线y ＝－x ＋1的交点(－2,3)时，目标函数z ＝－x ＋2y 取得最小值，且最小值为z ＝－1×(－2)＋2×3＝8.14．[2016·河北五校联盟二模]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为________．答案 92解析 由题意，点A (－2，－1)，故－2m －n ＋2＝0，故2m ＋n ＝2， 2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝n m ＋m n ＋2＋12≥4＋12＝92， 当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．15．[2017·湖北武汉调研]已知M ，N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x －y ＋1≥0，x ＋y ≤6所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN |的最大值是________．答案17解析 作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD ，其中A (1,1)，B (5,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，D (1,2)．因为M ，N 是区域内的两个不同的点，所以当M ，N 分别与对角线BD 的两个端点重合时，距离最远，因此|MN |的最大值是|BD |＝－2＋－2＝17.16．[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析 由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·湖北中学联考](本小题满分10分)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，求z ＝y x ＋xy的取值范围． 解 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(4,2)和(3,1)为顶点的三角形，(2分)令t ＝y x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，(4分) z ＝y x ＋x y ＝t ＋1t ，z ′＝1－1t 2，当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1时，z ′<0，函数z ＝t ＋1t 单调递减；当t ∈(1,2]时，z ′>0，函数z ＝t ＋1t 单调递增，所以当t ＝1时，z min ＝2，当t ＝13时，z max ＝103，故z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.(10分)18．[2017·河南当阳月考](本小题满分12分)某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都购入x 台(x ∈N *)，且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解 依题意，当每批购入x 台时，全年需用保管费S ＝2000x ·k .(2分) ∴全年需用去运输和保管总费用为y ＝3600x·400＋2000x ·k .(4分)∵x ＝400时，y ＝43600，代入上式得k ＝120，(6分)∴y ＝1440000x＋100x ≥21440000·100xx＝24000.(9分)当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120台时，y 取最小值24000元．(11分)∴只要安排每批进货120台，便可使资金够用．(12分)19．[2016·西安质检](本小题满分12分)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ＝12，求2x ＋3y ＋1x －y的最小值． 解 令x －y ＝t ，x ＋3y ＝s (s >0，t >0)， 则x ＝14(s ＋3t )，y ＝14(s －t )，(3分)由x ＋y ＝12，可得s ＋t ＝1，(6分)则2x ＋3y ＋1x －y ＝2s ＋1t ＝(s ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫2s ＋1t ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫s t ＋2t s ≥3＋22，当且仅当s ＝2t ＝2－2时，取得等号，(10分) 则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为3＋2 2.(12分) 20．[2016·贵阳月考](本小题满分12分)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝(a 2＋2b 2)x ＋y 的最大值为8，求2a ＋b 的最小值．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，由图象(略)知，目标函数在点(1,4)处取得最大值，即8＝a 2＋2b 2＋4⇒a 24＋b 22＝1，(5分)设⎩⎨⎧a ＝2cos α，b ＝2sin α(α为参数)，∴2a ＋b ＝32sin(α＋φ)，(10分) 故(2a ＋b )min ＝－3 2.(12分)21．[2017·湖北重点高中联考](本小题满分12分)设函数f (x )＝22x －7－a4x －1(a >0且a≠1)．(1)当a＝22时，求不等式f(x)<0的解集；(2)当x∈[0,1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．解(1)由于a＝22＝2－12，于是不等式f(x)<0即为22x－7<2－12(4x－1)，(2分)所以2x－7<－12(4x－1)，解得x<158.(4分)即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，158.(5分)(2)由22x－7<a4x－1⇒(2x－7)lg 2<(4x－1)lg a⇒x·lg4a4＋lga128<0.(7分)设f(x)＝x·lg4a4＋lga128，则f(x)为一次函数或常数函数，由x∈[0,1]时，f(x)<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f，f⇒⎩⎪⎨⎪⎧lg 4a4＋lg a128<0，lga128<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧lg 132a3<0，0<a<128⇒⎩⎪⎨⎪⎧32a3>1，0<a<128⇒324<a<128，又a>0且a≠1，∴a∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫324，1∪(1,128)．(12分)22．[2017·江西九江十校联考](本小题满分12分)某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100 g，皮革300 g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50 g，皮革400 g，且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5 kg，皮革12 kg.(1)求该作坊可获得的最大利润；(2)若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%；方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．解(1)设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润小学+初中+高中小学+初中+高中 为z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧ 100x ＋50y ≤2500，300x ＋400y ≤12000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤50，3x ＋4y ≤120，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝40x ＋30y (x ，y ∈N )．(3分)由图可知，当直线l 经过点(16,18)时，z 取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．(6分)(2)若作坊选择方案一，则其收益为1180×(1－10%)＝1062元；(8分)若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t ， 则t ＝x ＋y (x ，y ∈N )，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤50，3x ＋4y ≤120，x ≥0，y ≥0，作图分析可知，当x ＝16，y ＝18时，t 取得最大值，此时作坊的收益为(16＋18)×30＝1020元，故选择方案一更划算．(12分)。
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重组十四 大题冲关——圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·江西临川统测](本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1 F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值． 解 (1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.(3分) 结合a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝16. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(6分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.(8分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，(10分)由AB ，F 1F 2互相平分且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，得AF 2⊥BF 2. ∵F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0，即x 1x 2＝－8，∴－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，(13分)结合b 2＋9＝a 2，得a 2＝12，∴离心率e ＝32.(15分) 2．[2017·东北三省四市统考](本小题满分15分)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．解 (1)由题意得2a ＝4，∴a ＝2.(1分)∵c a ＝12，∴c ＝1，(3分) ∴b ＝3，(4分)∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(7分) 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(8分)∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋3＋4k2.(10分)∵圆心(0,0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，∴|CD |＝24k 2＋3k 2＋1，(12分) ∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3，(13分) 由12k 2＋14k 2＋3＝12147， 解得k ＝1或k ＝－1，(14分) 由k >0，得k ＝1.(15分)3．[2016·合肥质检](本小题满分20分)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λPA →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，(5分)即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.(7分)联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.(10分)(2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1.由PM →＝λPA →＋μPB →，得⎝⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋29，μ＝y 0－29，(18分)则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.(20分)4．[2017·成都月考](本小题满分20分)已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过F 2，与抛物线y 2＝4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.解 (1)由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长2a ＝4，得到a ＝2，焦距2c ＝2，则短半轴长b ＝3，则轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)当直线l 与x 轴垂直时，可取B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1,0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．(8分)当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(12分)因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1,0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97，(15分)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，(17分)因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0.设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，(19分)所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.(20分)5．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .(2分) 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.(4分)又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.(6分) 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(8分)(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.(12分)过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(14分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3.(15分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．(17分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.(19分)综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．(20分)6．[2017·广州统测](本小题满分20分)已知动圆P 的圆心为点P ，圆P 过点F (1,0)且与直线l：x＝－1相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若圆P与圆F：(x－1)2＋y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．解(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，(2分) ∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，(4分) ∴曲线C的方程为y2＝4x.(6分)(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r＝|x0＋1|.(7分)∴圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2.①(8分)圆F：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得直线MN的方程为2(1－x0)x－2y0y＋y20－2x0－1＝0.(10分)∵点P(x0，y0)在曲线C：y2＝4x上，∴y20＝4x0，且x0≥0.∴点F到直线MN的距离d＝－x0＋y20－2x0－1|－x02＋4y20＝1－x02＋4y20.(12分)∴圆F：(x－1)2＋y2＝1的半径为1，∴|MN|＝21－d2＝21－1－x02＋4y20(13分)＝21－1－x02＋16x0＝21－1x0＋2.(14分)∵x0≥0，∴(x0＋1)2≥1，∴0<1x0＋2≤14，(16分)∴34≤1－1x0＋2<1，(18分)∴3≤|MN|<2，∴|MN|的取值范围为[3，2)．(20分)7．[2016·吉林三调测试](本小题满分20分)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1,2)在抛物线C上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于M ，N 两点，求|MN |最小时直线AB 的方程．解 (1)将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(6分) (2)设AB 所在直线方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1，得y 2－4my ＋4(m －1)＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(10分) 设AR ：y ＝k 1(x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －＋2，y ＝2x ＋2，得x M ＝k 1k 1－2，而k 1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 可得x M ＝－2y 1，同理x N ＝－2y 2，(14分)所以|MN |＝5|x M －x N |＝2 5 m 2－m ＋1|m －1|.令m －1＝t (t ≠0)，则m ＝t ＋1， 所以|MN |＝5|x M －x N | ＝2 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋34≥15， 此时m ＝－1，AB 所在直线方程为x ＋y －2＝0.(20分)8．[2016·贵阳适应性月考](本小题满分20分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点，以原点O 为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x ＋y －22＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为定值3，试判断直线OP 与OQ 的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由．解 (1)由题意知c ＝1，a ＝221＋1＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2，(11分) y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k2. |PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2k 2－m 2＋3＋4k2， O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，S △POQ ＝3＝12|PQ |·d＝121＋k 2 k 2－m 2＋3＋4k 2·|m |1＋k2，可得2m 2－4k 2＝3.(16分)k OP ·k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 2m 2－＝－34， ∴k OP ·k OQ 为定值－34.(20分)。