四川省成都翔博教育咨询公司高考数学《二次函数》专题

四川省成都翔博教育咨询公司2014高考《二次函数》专题复习四
题型一：与三角形面积
1．已知二次函数22y x 2mx m 1=-+-.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P
点不存在，请说明理由。

2．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；
（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐
标为 ．
3．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2
+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；
（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求
出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．
4．已知二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，与y 轴交于点C ，x 1，x 2是方程2x 4x 50+-=的两根． （1）若抛物线的顶点为D ，求S △ABC ：S △ACD 的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
5．如图，抛物线2
1y x bx c 2
=
++与y 轴交于点C （0，－4）
，与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值；
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
6、已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。

(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式；
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。

7、如图1，已知直线
1
2
y x
=-与抛物线2
1
6
4
y x
=-+交于A B
，两点．
A
B C
D
O
E
x
y
（1）求A B
，两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B
，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B
，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
8、如图，已知在同一坐标系中，直线2
2
k
y kx
=-
＋与y轴交于点P，抛物线k
x
k
x
y4
)1
(2
2+
+
-
=与x轴交于)0,
(
),
0,
(
2
1
x
B
x
A两点。

C是抛物线的顶点。

（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）；
（2）若点A在点B的左侧，且0
2
1
<
⋅x
x。

①当k取何值时，直线通过点B；
②是否存在实数k，使
ABC
ABP
S
S
∆
∆
=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

10、已知抛物线)1
(3
)4
(
2-
+
-
-
-
=m
x
m
x
y与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
y
x
O
y
x
O
P
A
图2
图1
B
B
A
（1）求m 的取值范围；
（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线PA 平分ACD
∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

题型二：与三角形形状
1、 如图，抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在
y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴； （2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
2、已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；
（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．
3、如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数y x =的图象记为抛物线1l ．
（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：
（任写一个即可）．
（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式． （3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请
判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明．
4、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．
(1) 求点B 的坐标；
x
y
C
B A
E
–1 1 O
(2) 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存
在，请说明理由；
(4) 如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此
时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)
5．如图，抛物线c bx ax y ++=2
经过点A （-1,0）、B （3,0）、C （0，3），连接AC 、BC ，将△ABC 绕点
C 逆时针旋转，使点A 落在x 轴上，得到△DCE ，此时，DE 所在直线与抛物线交于第一象限的点F .
（1）求抛物线c bx ax y ++=2
对应的函数关系式.
（2）求点A 所经过的路线长.
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PDF 是等腰三角形.若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理
由.
题型三．二次函数与三角形相似
1．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A （1，0）、B （3，0）两点． （1）写出这个二次函数的对称轴；
（2）设这个二次函数的顶点为D ，与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AD 、DE 和DB ，当
△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式。

2、已知一次函数124
3
--
=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；
（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连
结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

3．如图1，已知抛物线y=ax 2
+bx （a≠0）经过A （3，0）、B （4，4）两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐
标；
（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的
点P 坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．
4．如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点 C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交
AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶
点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由。

5、如图12，2ABCD 的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线2
y x bx c
=++经过点B 且与直线AB 只有一个公共点．
（1）求直线AB 的解析式．
（2）求抛物线2
y x bx c =++的解析式．
（3）若点P 为（2）中抛物线上一点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，问是否存在这样的点P ，
使△PCM ∽△ADC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
6、在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；
（2）若抛物线y=ax 2
+bx+c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？
（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．
．
8、如图，矩形A BC O '''是矩形OABC （边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上）绕B 点逆时针
旋转得到的，O '点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1
3)，．
（1）如果二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过O ，O '两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ，使得POM △为直角三角形？若
存在，请求出P 点的坐标和POM △的面积；若不存在，请说明理由；
课后作业
1．如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋2x ＋c 的顶点为A(―1，―4)，与y 轴交于点B ，与x 轴负半轴交于点C ． （1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）点P 为第三象限内抛物线上的一动点，连接BC 、PC 、PB ，求△BCP 面积的最大值，并求出此时点P
的坐标；
（3）点E 为抛物线上的一点，点F 为x 轴上的一点，若四边形ABEF 为平行四边形，请直接写出．．．．
所有符合条件的点E 的坐标．
2．如图，二次函数32
-+=bx ax y 的图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），一次函数n mx y +=的图象经过点B 和二次函数图象上另一点A. 点A 的坐标（4 ，3），2
1tan =∠ABC . （1）求二次函数和一次函数解析式；
（2）若点P 在第四象限内，求ABP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）若点M 在直线AB 上，且与点A 的距离是到x 轴距离的
2
5
倍，求点M 的坐标.
3．在平面直角坐标系中，二次函数22
++=bx ax y 的图象与x 轴交于A （－3，0），B （1，0）两点，与
y
y 轴交于点C ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，2
3-
），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；
若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．
5、如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164
y x =
-与直线1
2y x =相交于A B ，两点．
（1）求线段AB 的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图8，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出
OM OC OD ，，的长，并验证等式
222
111
OC OD OM
+=是否成立． （4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o
∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，
AB c =．CD h =，试说明：
222
111
a b h +=
．
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线21
y x bx c 2
=-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC
的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．
（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；
（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQ
NP BQ
+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存
在，请说明理由．。