江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试 数学试卷及答案

高三年级暑期检测
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}
2
2
160,430A x x
B
x x
x =−<=−+>，则A B = （
）
A ．()
4,4−B ．()
1,3C ．()()
4,13,4− D ．()()
1,23,4− 2．已知函数()231,04,0
x x f x x x −≤= > ，若()8f x =，则x 的值为（ ）
A ．
B ． 2
C ． 2
D 2−
3．函数()cos ln 2sin x x
f x x x
⋅=
+在[)(]π,00,πx ∈− 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知函数()()()2
52,2
213,2a x x f x x a x a x −−−≥ =
+−−<
，若对任意()1212,x x x x ∈≠R ，都有()()12120f x f x x x −<−成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]
4,1−−B ．[]
4,2−−C ．(]
5,1−−D ．[]5,4−−
5．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4−，则y =的定义域为（
）
A ．[]
5,5−B ．31,
2
C ．(]
1,5D ．35,2
−
6．命题“[]21,2,ln 0x x x a ∃∈+−≤”为假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1−∞
B ．(),0−∞
C ．(),ln22−∞+
D ．()
,ln24−∞+7．已知函数()f x 的定义城为R ，且满足()()()(),40f x f x f x f x −=+−=，且当[]0,2x ∈时，
()24f x x =−，则()101f =（
）
A ．3−
B ．4−
C ．3
D ．4
8．已知函数()2e e 122
x x x f x −+=+−
，若对任意[]1,2x ∈，有()()21f x f mx ≤+成立，则实数m 的取
值范围是（）
A ．(]
,0−∞B ．[]
2,0−C ．53,22
−
D ．
3,2 +∞
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．
9．下面命题正确的是（ ）
A ．“1a <”是1<”的充要条件
B ．“1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 C ．“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件
D ．“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件 10．下列命题中正确的是（ ）
A 2
B ．当1x >时，1
1
x x +
−的最小值是3
C ．当010x <<的最大值是5
D ．若正数,x y 满足
21
3x y
+=，则2x y +的最小值为311．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称，若()()
424
f x f x x −−=−，则下列正
确的是（
）
A ．()()455214
f x f x −+−=
B ．()()244f f +=
C ．()12y f x =
+−为奇函数D ．()22y f x x =
++为偶函数
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数()121x
f x x a
=+ +
是偶函数，则实数a =______． 13．集合()(){}()()(){}10,3210A
x x x a B
x x x x =+−≤=++−=，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围为______．
14．记{}*
*1,2,3,,,,m k N m m A =
∈N 表示k 个元素的有限集，()S E 表示非空数集E 中所有元素的和，
若集合(){}
*
,m k
k
k
m
M S A A
N =⊆，则4,3M =______；若(),2817m S M ≥，则m 的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分） 设集合{}|5|2A
x x =−<．{}121B x x m =<<+．
（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分15分）
随着AI 技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀
20
20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计
60
40
100
（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
附：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．
()20P k χ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010
0k
2.706
3.841 5.024 6.635
17．（本小题满分15分）
定义域为R 的函数()122x x b f x a
+−+=+是奇函数．
（1）求实数,a b 的值；
（2）若存在()2,0t ∈−，使得()2
130f t k f k t
++−<
成立，求实数k 的取值范围．
18．（本小题满分17分）
在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，,PA AB E =为线段PB 的中点，F
为线段BC 上的动点，()01BF BC λλ=≤≤ ．
（1）证明：AE PC ⊥；
（2）求实数λ的值，使得平面AEF 与平面PDC 所成角的余弦值最大． 19．（本题满分17分）
已知函数()22(ln )(1),f x x a x a =−−∈R ． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若1x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围．
高三年级暑期检测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．
9．【答案】BC 10．【答案】BCD 11．【答案】ACD
【详解】A 选项，()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称，故()()45524f x f x −+−=，故
()()
455214
f x f x −+−=，A 正确；
B 选项，由题意得()()424f x f x −+−=，
又()()424f x f x x −−=−，故()()24
24
f x f x x +−−=−，
令4x =得
()()424
244
f f +−=−，即()()42844f f +=−+=−，B 错误；
C 选项，由题意得()()114f x f x −++=，即()()1212f x f x −−=−+− ， 令()()12g x f x =
+−，则()()g x g x −=−，所以()12y
f x =+−为奇函数，C 正确； D 选项，因为
()()424f x f x x −−=−，所以()()
22224
f x f x x x +−−=−−=−，
即()()224f x f x x +−−=−，故()()2222f x x f x x ++=−−，
令()()22h x f x x =
++，则()()h x h x =−，故()22y f x x =++为偶函数，D 正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】12
−
13．【答案】(][),21,−∞−+∞ 14．【答案】{}6,7,8,9 21
【详解】当4,3m k ==时，{}*431,2,3,4,N A =表示3个元素的有限集，
由*
k m A N ⊆可知：{}31,2,3A =或{}31,2,4A =或{}31,3,4A =或{}32,3,4A =，故{}4,36,7,8,9M =；
由题，{},23,4,5,,21m M m =
−
，由()()(),22123218172
m m m S M −−+−=≥，
即()()231817m m −+≥
，解得21m ≥
或m ≤， 由*
N m ∈，故m 的最小值为21，
四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
【详解】（1）{}{}{}
|5|225237A x x x x x x =−<=−<−<=<<， 当B =∅时,121,0m m ≥+≤；
当B ≠∅时，由A B ∩=∅得：0
213m m >
+≤
，即01m <≤； 综上，1m ≤；
（2）由题得，
A B Ü，所以31
721
m ≥ ≤+ ，且等号不同时成立，解得3m ≥，所以实数m 的取值范围为[)3,+∞．
16．【详解】（1）22
100(20202040)25
3 3.841406040609
χ××−×==<<××× ，
∴没有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）40
52,5100
×
=∴人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀， X 的取值可能为0、1、2，
()()()2112332
2222
555C 3C C 3C 10,1,2C 10C 5C 10
P X P X P X ∴=========， ∴分布列为：
()3314012105105
E X ∴=×
+×+×=． 17．解：（1）()f x 是奇函数，()00f ∴=，即
102b
a
−+=+，解得1b =，
又由()()11f f =−−知：
12121
41a a
−−+−+=−++，解得2a =． 此时，()()()()()1111212212112,222222222
x
x x x x
x x x x x
f x f x f x −−+−++−+−+−+−+−+=−====−++++，即()f x 是奇函数． 故2,1a b ==．
【或】()f x 是奇函数，()()11122212022
222x x x x
x x x x
b b b b f x f x a a a a −+−++−+−+−+−+⋅∴+−=+=+=++++⋅ ()()()()22212220x x x x b a b a ∴−++⋅+−+⋅⋅+=，即()()22222220x x b a ab b a −⋅+−⋅+−=恒成
立．
202,201b a a ab b −== ∴∴
−==
或2
1a b =− =− 当21a b =− =− 时，()12122x x f x +−−=−的定义域为{}0x x ≠∣，舍去，
故
2,1a b ==． （2）由（1）知()12111
22221
x x x
f x +−+==−+++，则()f x 在R 上为减函数， 又()f x 是奇函数，由()2
1
30f t k f k t
++−<
得：()2
2113f t k f k f k t
t
+<−−=−
，
213t k k t ∴+>−，即21
3t k k t
+>−在()2,0t ∈−上有解，
()112,0,2t t t t t
∈−+=−−+≤−=− − 当且仅当1t t −=−，即1t =−时等号成立，
1
y t t
∴=+在()2,0t ∈−上的最大值为2−，
223k k ∴−>−，即()()120,12k k k −−<∴<<．
18．【详解】 （1）略；
（2）如图分别以,,AB AD AP 所在的直线为,,x y z 轴，
不妨设1PA AB AD ===，则()()()()1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1B C D P ，()11,0,,0,0,022E A
()01BF BC λλ=≤≤ ，设()()(),,,1,,,0,1,0F x y z BF x y z BC =−= ，
则()()1,,0,1,0x y z λ−=，解得()1,,0F λ，
设平面AEF 的法向量为
()()111111,,,,0,,1,,022n x y z AE AF λ ===
，
则11
0,0AE n AF n ⋅=⋅=
，所以111111022
0x z x y λ +=
+=
，取11y =−，则11,x z λλ==−，即()1,1,n λλ=−− ， 设平面PCD 的法向量为()()()2,,,1,0,0,0,1,1n a b c DC PD ===−
，则220
DC n a PD n b c ⋅== ⋅=−=
，取()20,1,1n = ，设平面AEF 与平面PDC 所成锐二面角的平面角为α，
则1212
12
cos cos ,n n n n n n α⋅===⋅
，令1152,222t λ
+
∈
，则1124t λ=−，
所以cos α=
，
因为
1911
12822t t +−≥−=，当且仅当1928t t =，即32
t =时取等号， 所以当32t =
时，即12λ=
时，max cos α=
．
19．【详解】（1）当1a =时，()
()()22ln 2
21ln x f x x x x x x x
=−−=−+′， 设()2
ln g x x x x =−+，则()()()2111
21x x g x x x x
−+−=−=
′+， 所以当()0,1x ∈时，()()0,g x g x ′>单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x ′<单调递减，
当1x =时，()g x 取得极大值()10g =，所以()()10g x g ≤=， 所以()()0,f x f x ′≤在()0,+∞上单调递减； （2）()()()22ln 2
21ln x f x a x x ax ax x x
=−′=
−−+， 设()2
ln h x x ax ax =−+，则()2121
2ax ax h x ax a x x
−++=−+=′，
（ⅰ）当0a <时，二次函数()221F x ax ax =−++开口向上，对称轴为21
,Δ84
x a a ==+， 当80a −≤<时，()()2Δ80,0,a a F x h x =+≤≥单调递增， 因为()10h =，所以当()0,1x ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减，
当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点． 当8a <−时，2
Δ80a a =+>，又()10,1104F F a
<=−>
， 所以存在01,14x
∈
，使得()00F x =，所以当()0,x x ∈+∞时，()()0,F x h x >单调递增， 又()10h =，所以当()0,1x x ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减，
当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点； （ⅱ）当0a =时，()2ln x
f x x
=
′，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点；
（ⅲ）当01a <<时，()221F x ax ax =−++开口向下，对称轴为21
,Δ804
x a a =
=+>，此时()110F a =−>，故()01,x ∃∈+∞，使()00F x =，
当01,4x x ∈
时，()()0,0F x h x ′>>，因此()h x 在01,4x
上单调递增，又()10h =，当1,14x
∈
时，()()0,f x f x ′<单调递减，当()01,x x ∈时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以1x =为()f x 的极小值点；（ⅳ）当1a >时，()01110,,14F a x
=−<∃∈
，使()00F x =， 当()0,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x ′<<，因此()h x 在()0,x +∞上单调递减， 又()10h =，当()0,1x x ∈时，()()0,f x f x ′>单调递增，
当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x ′<单调递减，所以1x =为()f x 的极大值点；（ⅴ）当1a =时，由（1）知1x =非极小值点． 综上所述，(),1a ∈−∞．。