高中三角函数练习题含答案

高中三角函数练习题含答案
一、填空题
1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()3cos 33f t f t t ⎛⎫⎛⎫
≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则实数t 的取值范围为_________
2．如图，在ABC 中，1
cos 3
BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，
AD DC =，则AB 等于______.
3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64
ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 4．已知)
2,0F
为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于
,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且
△OFP 外接圆的面积为
23
π
，则椭圆C 的长轴长为___________. 5．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为
(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值
,,r r x
x y y
分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot
14
π
=； ②sin csc 1αα⋅=；
③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；
⑤2cot 1
cot22cot ααα
-=.
6．已知函数()23
3sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的
序号）
7．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）
8．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.
9．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则
1
1
λ
μ
+
=__________；ADE 与
ABC 周长之比的取值范围为__________．
10．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.
二、单选题
11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6
B ．-8
C ．-9
D ．-12
12．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动
3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A ．sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，x ∈R
B ．sin 26x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，x ∈R
C ．2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，x ∈R
D ．sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，x ∈R
13．已知向量a ，b 夹角为3
π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<
B ．2a b +>
C ．1b <
D ．1a >
14．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．
27
π
B ．25
π C ．
2
π D ．
23
π
15．已知O 是三角形ABC 的外心，若
()
22AC AB
AB AO AC AO m AO AB AC
⋅+⋅=，且
sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）
A ．3
B ．3
5
C ．75
D ．32
16．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF
<恒成立，则t 的最小值为（ ）
A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
17．已知双曲线2
2
413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足
120MF MF →
→
⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→
→
=.现将12MF F △沿MN 折成直二面
角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．4
5
18．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝
⎭，
66f x f x ππ⎛⎫
⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，下列四个结论： ①4
π
ϕ=
②9
3()2
k k N ω=
+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
④直线3
x π
=-
是()f x 图象的一条对称轴
其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126
F PF π
∠=，
记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则12
12
e e e e +⋅的最大值为 A ．4
B ．2
C ．83
D ．
163
20．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则
tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
三、解答题
21．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ
为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；
（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；
（3）已知3
()()()=2
f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.
22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成
水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．
（1）当4
PAQ π
∠=
时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；
（2）若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.
24．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
25．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.
（1）求角θ的取值范围；
（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围.
26．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫
=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最大值为1.
（1）求常数a 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合. 27．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；
（2）若不等式()0f x <在[0,]2
π
上恒成立，求a 的取值范围；
（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．
28．已知函数()sin 23cos2f x x x =+.
（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02
π
α-
<<，()1f α=，求sin 2α的值.
29．已知函数()()23
3cos sin cos 02
f x x x x ωωωω=+-
>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.
（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心
30．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的部分图象如图所示，把函数
()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.
（1）当17,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域
（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值
【参考答案】
一、填空题
1．π6∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
，
2．3
3．
1)
2
4．5．②④⑤ 6．①②③
7．8,83⎛⎫ ⎪⎝
⎭
8．⎫
⎪⎪⎣⎭
9． 3 21,32⎡⎢⎣⎦
10．
二、单选题 11．A 12．D 13．A 14．A 15．D 16．B 17．C 18．B 19．A 20．D 三、解答题
21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3
π
αβ== 【解析】 【分析】
（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；
（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得
1
a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t
=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则
可得26
5
a ≤-
，从而求得a 的最大值；
（3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22
(2cos
cos
)sin 02
2
2
αβ
αβ
αβ
+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.
【详解】 解：（1）4
tan 3
α=
，且α为锐角， 4sin 5α∴=
，3cos 5α=，22tan 24
tan 21tan 7
ααα==--
则22
7
cos 2cos sin 25
ααα=-=-
，
又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，
sin()αβ∴+=
，tan()2
αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-
242()
tan()tan 227241tan()tan 211
1(2)()7
αβααβα---
+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，
2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，
即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，
211t a t t t
+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，
又函数1
y t t
=+在[5,3]t ∈--单调递增，
∴当5t =-时，min 126
()5t t +=-，
265a ∴≤-
，则a 的最大值为26
5
-； （3）3
()()()2
f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2
αβαβ+-+= ， cos cos()22αβ
αβ
α+-=+
cos
cos
sin
sin
2
22
2
αβ
αβαβ
αβ
+-+-=-，
cos cos()2
2
αβ
αβ
β+-=-
cos
cos
+sin
sin
2
2
2
2
αβ
αβ
αβ
αβ
+-+-=，
cos cos 2cos
cos
22
αβ
αβ
αβ+-∴+=，
又2
cos()2cos
12
αβ
αβ++=-，
2
32cos
cos
2cos 12
2
2
2
αβ
αβ
αβ
+-+∴-+=
， 则2
4cos 4cos
cos
1022
2
αβ
αβ
αβ
++--+=， 22
(2cos
cos
)1cos 022
2αβ
αβ
αβ
+---+-=， 即22
(2cos
cos
)sin 02
2
2
αβ
αβ
αβ
+---+=，
2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩
，
又0απ<<，0βπ<<， 3
π
αβ∴==
.
【点睛】
本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1
）
S =
⎝
⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦]
；最小值为)
100001 （2）
PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=
．
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数定义及4
PAQ π
∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α
表示出S 花卉种植面积，
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】
（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4
PAQ π
∠=
，
∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 11
22
AB BP AD DQ =
⋅+⋅
11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭
(
)
5000
cos sin cos ααα=
=
+⎝
⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
∴当sin 214πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，
即8
π
α=时，S
)100001
=．
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100
y
β-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xy
αβ
αβαβ-+++=
=-⋅+-，
∵PB DQ PQ +=，
∴100100x y -+-=100200
xy
x y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1
100001001002
200xy xy
xy xy xy αβ⎛
⎫-⨯+-
⎪⎝⎭+=
==⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭
， ∴4
π
αβ+=
，
∴PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=．
【点睛】
本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.
23．（1）()f
x 214x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
1.（2）0x =时，最小值0.38x π
=
1. 【解析】 【分析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出3
24
44
x π
π
π-≤-
≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】
（1）()2
2sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
∴sin 214x π⎛
⎫-≤ ⎪⎝⎭，
()f x ∴
1.
（2）由（1）得()214f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，32444x πππ∴-≤-≤.
sin 214x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭， ∴当244
x π
π
-
=-
时，即0x =时，()f x 取最小值0.
当24
2x π
π
-
=
，即3
8
x π=时，()f x 1. 【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.
24．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦()k z ∈；（2）1
2.
【解析】 【分析】
（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02
x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m
【详解】
（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+
1cos22x x m =++
2sin 216x m π⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭，
∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈时，函数单调递增，
解得：3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，
故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦()k z ∈.
（2）∵02
x π≤≤
，
∴72666
x π
π
π≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭， ∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22
f x ≤≤， 故12m =
. 【点睛】
本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.
25．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63
ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为
1)]
【解析】
（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可.
（2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ
=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=
++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ
++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】
（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，
此时tan θ=02π
θ<<，所以max 3π
θ=
当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π
∠，所以min 236π
π
π
θ=-=
故所求θ的取值集合为[,]63
ππ （2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ
= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF π
θ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ
= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+
2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ
+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ
=
所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=
++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63
ππθ∈ 令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2
t θθ-= 所以22(1)211
t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212
πππθ+∈，
所以sin()4π
θ+∈
所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈
所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)]
【点睛】
本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.
26．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【解析】
（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；
（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；
（3）运用正弦函数图像，即可求解.
【详解】 解：()sin cos
cos sin cos cos sin sin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++
11cos cos cos 22x x x x x a =-+++
cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭
2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-.
（2）由22,262k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈， 解得222,33
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭.
因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝
⎭. 所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝
⎭， 所以722,666k x k k Z πππππ-
+<+<+∈. 所以422,3
k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.
27．（1）2min 2,2;()1,22;4
22,
2.a a f x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3
）12a -<<-【解析】
【分析】
（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；
（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围.
【详解】
解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2
a t =-． ①12a
-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112
a -≤-≤，即22a -≤≤，2
min ()()124a a f x g a =-=-++． ③12
a ->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min 2,2;()1,22;4
22,
2.a a f x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f x g t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛
物线，最大值一定在端点处取得，所以有
(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩
故(,1)a ∈-∞-．
（3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有
201,24(1)0,12(0)10,(1)220,
a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】
（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；
（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.
28．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
；（2）12-. 【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z π
π+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；
（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．
【详解】
（1）(
)1sin 222sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为
22ππ=， 令()23x k k Z π
π+=∈，解得()26
k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
； （2）
()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．
29．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3
k k ππ-
∈Z . 【解析】
【分析】 （1）整理()f x 可得：()sin(2)3
f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23
x g x π=+，问题得解.
（2）令222232
x k k π
ππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23
x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】
解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=
+=+， 由22ππω
=,得1ω=. 所以()sin(2)3
f x x π=+. 于是()y
g x =图象对应的解析式为()2sin()23
x g x π=+. （2）由222232
x k k π
ππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433
k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3
x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3
k k ππ-
∈Z . 【点睛】
本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．
30．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265-
【解析】
【分析】
（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭
求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.
【详解】
（1）根据图象可知171,4123
A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x T
ππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭
， ||,0,23k π
π
ϕϕ<∴==
()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4
π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
所以值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝
⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--
对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立
令()[4,2]t F x =∈--，
2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上
则max ()0h t ≤恒成立
而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值
则
(2)0
(4)0
h
h
-≤
⎧
⎨
-≤
⎩
，
4(2)(2)20
16(2)(4)20
m m
m m
-+-++≤
⎧
⎨
-+-++≤
⎩
，
解得
10
3
26
5 m
m
⎧
≤-⎪⎪
⎨
⎪≤-
⎪⎩
所以
26
5
m≤-，则m的最大值为
26
5
-.
【点睛】
本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。