L-积分的极限定理

(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E), m 1,2,.
L-积分的极限定理
显然 { f m ( x)} 有极限，记为
f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
m
对这样的函数列，下式
f ( x)dx lim f
m E E
L-积分的极限定理
于是得到下面的 Fatou引理：设{fn}是可测集E上的非负 可测函数，则 ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx
L-积分的极限定理
问题4：对非负可测函数列 { fn }，上述 不等式中严格不等式能否成立？ 举例说明。
L-积分的极限定理
y
1/xn
xn 0, f n ( x)
n

1/ xn , 0 x xn 0, xn x 1
(1). lim f n ( x ) 0, x (0,1)
Sn (2).S n
(3).
f
( 0 ,1) n
n
( x)dx 1
n ( 0 ,1)
lim f
1
( x) dx 0
0
xn x0
x
L-积分的极限定理


L-积分的极限定理
因此 lim
m

E
f m ( x)dx f ( x)dx ，由
m
的任意性便知 lim

E
f m ( x)dx f ( x)dx。
E
E
另一方面，由于对任意 m，显然有
f m ( x) f ( x) (x E ) ，
L-积分的极限定理
一个重要定理。
这就是Egoroff定理。
L-积分的极限定理
由Egoroff定理知，存在 E Ek，使
，且在 E E 上 { f ( x)} mE m l k
4l 一致收敛到 { f ( x)}l 。
L-积分的极限定理
设正整数 m0 使 m m0 时，对一切
x Ek E ，都有
既然对一般的可测函数列{fn},Fatou 引理中的等式未必成立,下面的问题便是自 然的： 问题5：对一般可测函数列{fn} ，积分与极 限何时可以交换顺序？
L-积分的极限定理
一个平凡的事实是：如果有限测度集 E上的Lebesgue可积函数列{ fn}一致收敛 到 f，则f也是E上的Lebesgue可积函数， 且积分与极限可以交换顺序。
实变函数论
曹 广 福 教 授 四川大学数学学院
L-积分的极限定理
本讲目的：掌握Levi定理、Fatou引理 以及Lebesgue控制收敛定理，并能熟练 运用Lebesgue控制收敛定理。 重点与难点：Lebesgue控制收敛定理及 其证明。
L-积分的极限定理
如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题,也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。
m E
lim
m
{ f
Ek
m
( x)}l dx M
L-积分的极限定理
由 M的任意性立得
m
lim
f
E
m
( x)dx f ( x)dx 。
E
L-积分的极限定理
这样便得到下面的定理：
Levi（勒维）定理 设
(i) f m ( x), m 1,2, 是E上的非负可测函数序列，
{ f ( x)}l lim { f m ( x)}l ，
m
尽管 { f ( x)} 与 { f ( x)} 都是有 l m l 界函数，但我们还不清楚它们的积 分与极限是否一定可以交换顺序。
L-积分的极限定理
但我们知道，如果 { f m ( x)}l 是一致 收敛的，则积分与极限是可以交换 顺序的。这很容易使我们联想到关 于函数序列不同收敛性之间关系的
Ek
E
{ f m ( x)}l { f ( x)}l (m )
与 { f ( x)}l dx 及上面的证明知
Ek

L-积分的极限定理
lim
m

Ek
{ f m ( x)}l dx { f ( x)}l M .
Ek
m

m
lim
E
f
( x)dx lim { f m ( x)}l dx
f ( x)dx ？
k 1 Ek

L-积分的极限定理
记 Ek 为 Ek 的特征函数，则
Ek

f ( x)dx f ( x) Ek ( x)dx
E
。
注意到 f ( x) f ( x) Ek ( x) ( x E )
k 1

故由Lebesgue基本定理得
L-积分的极限定理
对于什么样的函数序列，积分与极 限可以交换顺序？
L-积分的极限定理
让我们先从最简单的情形开始。 最简单的情形莫过于单调的非负函 数序列。不妨设 f m ( x), m 1,2, 是单调 递增的非负函数序列，即 { f m ( x)} 满足： (i) f m ( x) 0;
令
S k ( x) f m ( x， )
m 1
k
则 Sk 是 E 上的非负可测函数，
Sm ( x) Sm1 ( x), x E, m 1,2,, 并且 f ( x) lim S m ( x) ，
m
L-积分的极限定理
故由Levi定理知
f ( x)dx lim S
L-积分的极限定理
应该看到，如果去掉单调性条件， 函数序列的极限可能不存在，此时，我 们可以考察其上极限或下极限，下面以 下极限为例。 设{fn}是可测集E上的非负可测函数， ∫Elimfn(x)dx与lim∫Efn(x)dx 有什么关 系？
L-积分的极限定理
如果记 g k ( x) inf { f m ( x)} ，则g k 显 m k 然是单调递增的非负函数序列，且 limfn(x)=lim g k (x)， 从而由Levi定理知 ∫Elimfn(x)dx= ∫E lim g k (x) dx = lim∫E g k (x) dx lim∫Efn(x)dx
L-积分的极限定理
上面的分析暗示我们，既然去掉了 一致收敛性条件，就应该加上控制性条 件，具体地说，假设{fn}是可测集E上的 可测函数序列，f是E上的函数，满足： （I） {fn}在E上几乎处处收敛到f， （II）存在E上的Lebesgue可积函数F， 使得 对任意n， |fn(x)| ≤F(x) a.e.[E]。
互转换的，试将Levi定理改用
级数的形式叙述？
L-积分的极限定理
Lebesgue基本定理： 如果 f m ( x), m 1,2,是 E 上的非负 可测函数序列， f ( x) f m ( x)，则

f ( x)dx f
E m 1 E

m 1
m
( x)dx.
L-积分的极限定理
0 { f ( x)}l { f m ( x)}l
则当 m m0时，
， 4(1 mEk )


E
f m ( x)dx { f m ( x)}l dx { f ( x)}l dx 4 E E E E


k

k

L-积分的极限定理
又
{ f ( x)} dx
L-积分的极限定理
因 E是有限测度集，故|f(x)|+ ℇ 是 E上的可积函数，由（1）可以看出，函 数序列由一个可积函数控制住了。
L-积分的极限定理
在Levi定理中,{ f n } 是单调递增的非负 函数序列,其极限函数f满足: f n ( x) f ( x) (x E ), 这就是说，该函数列由它的极限函数控制。
E

E
E
L-积分的极限定理
于是由
f
Ek

( x)dx f ( x)dx，
E
知 f + 在每个 Ek 上可积，且有
f
k 1 Ek


( x)dx f ( x)dx 。
E
L-积分的极限定理
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 进一步
l Ek
{ f ( x)}l dx { f ( x)}l dx
E
Ek E


f m ( x)dx E E { f ( x)}l dx 4 f ( x)dx . E E
k
故当 m m0 时，
{ f ( x)}l dx , 4 Ek E
(ii) f m ( x) f m1 ( x) ( x E ), m 1,2,,
(iii ) f ( x) lim f m ( x) a.e.[ E ],
则
m

E
f ( x)dx lim
m

E
f m ( x)dx.
L-积分的极限定理
问题1：我们知道级数与序列是可以相
L-积分的极限定理
f
E

( x) f ( x) E ( x)dx f ( x)dx
k 1 E
k




k 1 E k
类似可证 f ( x)dx f ( x)dx。
E k 1 E



由 f(x) 在 E 上有积分知 f dx与 f dx 至少有一个不为∞，不妨设 f dx ，
k

k ( x)dx
lim
k
f
m1 E
k
m ( x)dx
E
E
m ( x)dx.

f
m1 E
L-积分的极限定理
问题2：如果 Ek 是一列互不相交的可测
E 集， Ek , f 是E上的L-可积

可测函数,能否利用Lebesgue 基 本定理证明
k 1

E
f ( x)dx
所以 f m ( x)dx f ( x)dx ，从而
E E
m
lim
f
E
m
( x)dx f ( x)dx 。
E
综上得
m
lim
f
E
m
( x)dx f ( x)dx 。
E
L-积分的极限定理
当 f ( x)dx 时，由积分定义，
对任意 M > 0，存在 k, l 使 { f ( x)}l dx M ， 其中 Ek S k E 。由
L-积分的极限定理
回忆一下，为什么Fatou引理中不等 式可以成立？问题出在哪里？我们回过头 再来看看例子 0 x∈(1/n,1) ， fn(x) = n x ∈(0,1/n]， 为什么该函数列使得积分不等式成立呢?
L-积分的极限定理
尽管fn(x) 在（0，1）上处处收敛到0，但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大， 它在（ 0，1）上不能被任何可积函数控制住。 （为什么？）上述分析给了我们何种启示 ？如 果希望积分等式成立， 应该附加一个什么样 的条件？ 下面仍然考察可测集E上的可测函数列{ fn}， 但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或 几乎处处收敛。
L-积分的极限定理
然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启 示。假设{ fn }是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列，且一致收敛到f，则对任意ℇ>0，存 在自然数N，当n>N时，有 |fn(x)-f(x)|< ℇ (∀x∈E)， 于是 |fn(x)| < |f(x)|+ ℇ (∀x∈E) (1)
E E E


f


( x)dx

k 1 Ek
k 1 Ek
f
k 1 Ek


( x)dx
[ f ( x)dx f ( x)dx]
Ek
k 1 Ek

f ( x)dx .
L-积分的极限定理
问题3：如果将Levi定理中的单调性条件去 掉，结论是否依然成立？
L-积分的极限定理
问题6：对满足上述条件（I）与（II） 的函数序列 { fn } ，其积分与 极限能否交换顺序?
L-积分的极限定理
我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于 fn→f，根据Egoroff定理，对∀ ℇ>0，存在 可测集Eℇ⊂E，使得： （a）m(E- Eℇ)< ℇ; （b）fn在Eℇ上一致收敛到f。 于是，我们有 lim∫ Eℇ fn (x)dx =∫ Eℇ limfn(x)dx
m
( x)dx
是否成立？
L-积分的极限定理
先设

E
， f ( x)dx ，对任意 0
取正整数 l, k, 使
{ f ( x)}l dx f ( x)dx , 2 E E


其中 Ek S k E.
k
L-积分的极限定理
注意到 mE ，且在 Ek 上， k