2014年上海市嘉定区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）函数y＝log2（x﹣2）的定义域是．
2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝．3．（4分）已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），若函数y＝f（x﹣1）的图象经过点（3，1），则f﹣1（1）的值是．
4．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则a8的值是．5．（4分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．
6．（4分）已知θ为第二象限角，，则＝．7．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．
8．（4分）分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．
9．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（﹣7，3），点C在直线y＝4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则
的最小值为．
10．（4分）若存在，则实数r的取值范围是．
11．（4分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y＝0与x+3y＝0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为．
12．（4分）设集合A＝{（x，y）|（x﹣4）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2＝1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是．
13．（4分）已知函数是偶函数，直线y＝t与函数f （x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|＝|BC|，则实
数t的值为．
14．（4分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；
重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n级分形图．则n级分形图的周长为．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）设向量，，则“∥”是“x＝2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
16．（5分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
A．180B．120C．90D．45
17．（5分）将函数y＝sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）
A．B．C．πD．
18．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f （x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”
B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”
C．函数（x≥0）存在“和谐区间”
D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
19．（12分）如图，正三棱锥A﹣BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC 的中点．
（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求该三棱锥的体积V．
20．（14分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）＝1，，求△ABC的面积．21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l
交椭圆C于A、B两点，求证：|P A|2+|PB|2为定值．
22．（16分）已知函数（m为实常数）．
（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．23．（18分）数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1＝t•S n+a（t≠0）．设b n＝S n+1，c n＝k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）当t＝1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；
（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．
2014年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）函数y＝log2（x﹣2）的定义域是（2，+∞）．
【解答】解：要使函数有意义，则x﹣2＞0，
即x＞2，
∴函数的定义域为（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
2．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝．
【解答】解：∵复数z满足，
∴z＝，
化为4z＝，
即z＝，
∴|z|＝＝．
故答案为：．
3．（4分）已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），若函数y＝f（x﹣1）的图象经过点（3，1），则f﹣1（1）的值是2．
【解答】解析：若函数y＝f（x﹣1）的图象经过点（3，1），
则有1＝f（3﹣1）
⇒f（2）＝1
⇒f﹣1（1）＝2．
故答案为：2．
4．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则a8的值是15．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和，
∴a8＝S8﹣S7＝64﹣49＝15．
故答案为：15．
5．（4分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．
【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
设圆锥的半径为r，
∴有πr×5＝20π⇒r＝4，
∴圆锥的高为＝3，
∴圆锥的体积为×π×r2×3＝16πcm3．
故答案：16πcm3．
6．（4分）已知θ为第二象限角，，则＝﹣．
【解答】解：∵θ为第二象限角，且sinθ＝，
∴cosθ＝﹣＝﹣，
∴tanθ＝﹣，
则原式＝＝＝﹣．
故答案为：﹣
7．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的
右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．【解答】解：由，可得，
∴
∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，
∴c＝，
∵c2＝a2+b2，
∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为．
故答案为：．
8．（4分）分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，
则这两数之积为偶数的概率是．
【解答】解：从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4＝16个，
∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，
A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2＝12个，
∴两数之积为偶数的概率是＝．
故答案为：．
9．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（﹣7，3），点C在直线y＝4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则
的最小值为9．
【解答】解：设C（x，4），由重心定理可得，∴．∴＝＝＝，
当x＝3时，的最小值为9．
故答案为：9．
10．（4分）若存在，则实数r的取值范围是
．
【解答】解：∵存在，
∴0＜，
∴3r2+4r+1≥0且2r+1≠0，r≠0，
∴r≤﹣1或r≥﹣．
故答案为：．
11．（4分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y＝0与x+3y＝0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为2．
【解答】解：∵3x﹣y＝0与x+3y＝0的互相垂直，且交点为原点，
∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，
则a+b＝4，即b＝4﹣a≥0，
得0≤a≤4，
由勾股定理可知OP＝＝＝，
∵0≤a≤4，
∴当a＝2时，OP的距离最小为OP＝＝，
故答案为：．
12．（4分）设集合A＝{（x，y）|（x﹣4）2+y2＝1}，B＝{（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2＝1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值
范围是．
【解答】解：∵A＝{（x，y）|（x﹣4）2+y2＝1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，
B＝{（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2＝1}，表示以N（t，at﹣2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax﹣y﹣2＝0上，如图．
如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax
﹣y﹣2＝0的距离不大于2，
即，解得0≤a≤．
∴实数a的取值范围是；
故答案为：．
13．（4分）已知函数是偶函数，直线y＝t与函数f （x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|＝|BC|，则实
数t的值为．
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
当x＜0时，﹣x＞0，
即f（﹣x）＝ax2﹣2x+1＝﹣x2+bx+c，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝1，
即f（x）＝，
作出函数f（x）的图象如图：
直线y＝t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，
不妨是对应的横坐标分别为a，b，c，d，
则A，B关于x＝﹣1对称，即，①
∵函数是偶函数，∴c＝﹣b，d＝﹣a，
若|AB|＝|BC|，
则B是A，C的中点，
∴，②，
解得a＝3b，代入①
解得b＝，a＝，
当b＝，时f（b）＝f（）＝﹣（）2﹣2（）+1＝2＝，
即t＝，
故答案为：．
14．（4分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；
重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n级分形图．则n级分形图的
周长为．
【解答】解：第一个三角形的周长＝1+1+1＝3，
观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，
第三个在第二个的基础上，多了其周长的．
第二个周长：3×（1+）＝3×＝4，
第三个周长：3×（1+）×＝3××＝3•（）2
第四个周长：3×××＝3•（）3，
…
故第n个图形的周长是第一个周长的•（）n﹣1倍，即周长是3•（）n﹣1．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）设向量，，则“∥”是“x＝2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【解答】解：∵向量，，
∴若∥，则（x﹣1）（x+1）﹣3＝x2﹣4＝0，
即x＝±2，
∴“∥”是“x＝2”的必要不充分条件．
故选：B．
16．（5分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）
A．180B．120C．90D．45
【解答】解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，∴n＝10．
故展开式的通项公式为T r+1＝••2r•x﹣2r＝2r••，
令＝0，求得r＝2，故展开式中的常数项是22＝180，
故选：A．
17．（5分）将函数y＝sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）
A．B．C．πD．
【解答】解：将函数y＝sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y＝sin2（x+m）＝sin（2x+2m），
∵其图象与的图象重合，
∴sin（2x+2m）＝sin（2x+），∴2m＝，
故m＝（k∈Z），
当k＝0时，m取得最小值为；
将函数y＝sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y＝sin2（x ﹣n）＝sin（2x﹣2n），
∵其图象与的图象重合，
∴sin（2x﹣2n）＝sin（2x+），∴﹣2n＝，
故n＝﹣，
当k＝﹣1时，n取得最小值为，
∴m+n的最小值为π，
故选：C．
18．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f （x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”
B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”
C．函数（x≥0）存在“和谐区间”
D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”
【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；
②或．
A．若f（x）＝x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由，
得，∴，
∴f（x）＝x2（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．
B若f（x）＝e x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由，得，
即a，b是方程e x＝2x的两个不等的实根，
构建函数g（x）＝e x﹣2x，
∴g′（x）＝e x﹣2，
∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x＝ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）＝2﹣ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e x﹣2x＝0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．
C．若函数（x≥0），
f′（x）＝，
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则由，得，
∴a＝0，b＝1，
即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．
D．若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内
为单调增函数，
若存在“倍值区间”[m，n]，
则由，得，
即m，n是方程log a（a x﹣）＝2x的两个根，
即m，n是方程a2x﹣a x+＝0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]，∴D结论错误．故选：D．
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
19．（12分）如图，正三棱锥A﹣BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC 的中点．
（1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求该三棱锥的体积V．
【解答】解：（1）取BD中点F，连结AF、EF，
因为EF∥CD，
所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）．…（2分）
在△AEF中，，EF＝1，…（1分）
所以．…（2分）
所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为．…（1分）
（2）作AO⊥平面BCD，则O是正△BCD的中心，…（1分）
连结OE，，…（1分）
所以，…（1分）
所以，．…（2分）
20．（14分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）＝1，，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）f（x）＝2sin x cos x+
＝sin2x+
＝2sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期为π，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），
得，
∴函数f（x）的单调增区间是[k，k]（k∈Z），
（2）由已知，f（A）＝2sin（2A+）＝1，
∴sin（2A+）＝，
∵0＜A＜，∴，
∴2A+＝，从而A＝，
又∵＝，
∴，
∴△ABC的面积S＝＝＝．
21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l
交椭圆C于A、B两点，求证：|P A|2+|PB|2为定值．
【解答】（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
∵点在椭圆C上，∴，
解得b2＝1，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），
∵直线l方向向量，
∴直线l的方程是，
联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4＝0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
∴x1+x2＝m，，
∴＝
＝
＝（定值）．
22．（16分）已知函数（m为实常数）．
（1）若函数y＝f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．
【解答】解：（1）设P（x，y），则，
＝，
当m＞0时，解得；当m＜0时，解得，
∴或．
（2）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
则＝＞0，
∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2﹣m＞0，即m＜x1x2，
由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4．
∴m的取值范围是（﹣∞，4]；
（3）由f（x）≤kx，得，
∵，∴，
令，则t∈[1，2]，所以k≥mt2+2t+1，令g（t）＝mt2+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在有解，当且仅当k≥g（t）min（t∈[1，2]）．∵m＜0，
∴图象开口向下，对称轴为直线，
∵t∈[1，2]，
∴当，即时，g（t）min＝g（2）＝4m+5；
当，即时，g（t）min＝g（1）＝m+3，
综上，当时，k∈[4m+5，+∞）；
当时，k∈[m+3，+∞）．
23．（18分）数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且S n+1＝t•S n+a（t≠0）．设b n＝S n+1，c n＝k+b1+b2+…+b n（k∈R+）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）当t＝1时，若对任意n∈N*，|b n|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；
（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{c n}为等比数列，且a，t，k成等差数列．
【解答】解：（1）∵S n+1＝t•S n+a①
当n≥2时，S n＝t•S n
+a②，
﹣1
①﹣②得，a n+1＝t•a n（n≥2），
又由S2＝t•S1+a，得a2＝t•a1，
∴{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴（n∈N*）；
（2）当t＝1时，a n＝a，S n＝na，b n＝na+1，
由|b n|≥|b3|，得|na+1|≥|3a+1|，（n﹣3）a[（n+3）a+2]≥0（*）
当a＞0时，n＜3时，（*）不成立；
当a＜0时，（*）等价于（n﹣3）[（n+3）a+2]≤0（**）
n＝3时，（**）成立．n≥4时，有（n+3）a+2≤0，即恒成立，
∴．n＝1时，有4a+2≥0，．n＝2时，有5a+2≥0，．
综上，a的取值范围是；
（3）当t≠1时，，，
＝，
∴当时，数列{c n}是等比数列，∴，
又∵a，t，k成等差数列，∴2t＝a+k，即，
解得．
从而，，．
∴当，，时，数列{c n}为等比数列．。