常微分方程求解中常数变易法思想的理解与应用

１．常 数 变 易 法 及 产 生 过 程
为求方程狔′＋犘（狓）狔 ＝ 犙（狓）的通 解，先 用 分 离 变 量 法 求 得 对 应 齐 次 方 程狔′＋犘（狓）狔 ＝０的 通 解
为狔 ＝ ∫ 犆ｅ－ 犘（狓）ｄ狓，再试将任意 常 数 犆 变 易 为 待 定 函 数犆（狓），即设原方程的解为狔 ＝犆（狓）ｅ－∫犘（狓）ｄ狓，求导
朗 日）耗费１１年时间研究的成果．最开始，Ｌａｇｒａｎｇｅ 想用分离变量法求解 一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程，结 果 发 现 无 论 怎 样 都 无 法 进 行 变 量 分 离 ，他 转 而 思 考 ， 如果不能进行分离变 量，那 能 否 通 过 变 换 使 得 不 能 分 离 的 项 “消 失 ”呢 ？
（西安交通大学 数学与统计学院，西安 ７１００４９）
摘 要 本 文 通 过 理 论 分 析 及 相 关 例 子 说 明 利 用 常 数 变 易 法 的 思 想 可 以 求 解 线 性 微 分 方 程 （组 ）的 解 ． 关 键 词 常 数 变 易 ；分 离 变 量 ；线 性 微 分 方 程 中图分类号 Ｏ１７５．１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８ １３９９（２０１９）０３ ００４４ ０３
收稿日期：２０１９ ０１ ０１ 修改日期：２０１９ ０１ ２０ 基 金 资 助 ：高 等 学 校 大 学 数 学 教 学 研 究 与 发 展 中 心 项 目 ；西 安 交 通 大
学本科教改项目（１６２４Ｙ，１６２５Ｙ）；西安交通大学本科教 改 项目基础课专项． 作者简 介：赵 小 艳 （１９７６ ），女，副 教 授，从 事 数 学 教 学 与 研 究． Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｏｓｗａｌｌｏｗ＠ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
２．求 解 二 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程
若已知二阶线性齐次微分方程
狔″＋犪１（狓）狔′＋犪２（狓）狔 ＝０， 其 中 犪１（狓），犪２（狓）连 续 ． （３）
简 化 一 下，先 求 得 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 狔 ＝
∫ 犆ｅ－ 犘（狓）ｄ狓，再用 犆（狓）代 替 上 面 过 程 中 的 犆１狌（狓）就
得到一般高等数学教材［１２］所给的 求 解 一 阶 非 齐
次线性微分方程的方法 ——— 常数变易法．
上述求解过程看 似 复 杂，但 它 将 不 能 用 分 离 变
假 设狔＝狌（狓）·狏（狓）是非齐次方程狔′＋犘（狓）狔＝ 犙（狓）的解，犙（狓）是造成狔′＋犘（狓）狔 ＝ 犙（狓）不能分离 变量的项．我们只要求得狌（狓），狏（狓）使得待定的狌（狓） 与狏（狓）之一满足某个齐次方程（即使得 犙（狓）消失） 即 可 ．为 此 对 它 求 导 数 ，代 入 方 程 并 整 理 ，可 得 狌′（狓）狏（狓）＋狌（狓）（狏′（狓）＋犘（狓）狏（狓））＝犙（狓） （２） 为 求 得 满 足 条 件 的 狌（狓），狏（狓），设
犃犫狊狋狉犪犮狋 Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈａｔｔｈｅｃｏｎｓｔａｎｔｖａｒｉａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｃａｎ ｂｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ． 犓犲狔狑狅狉犱狊 ｃｏｎｓｔａｎｔｖａｒｉａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｓｅｐａｒａｔｉｏｎｏｆｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ
犝狀犱犲狉狊狋犪狀犱犻狀犵犪狀犱犃狆狆犾犻犮犪狋犻狅狀狅犳犆狅狀狊狋犪狀狋犞犪狉犻犪狋犻狅狀犕犲狋犺狅犱犳狅狉犛狅犾狏犻狀犵犗犇犈
ＺＨＡＯ ＸｉａｏｙａｎａｎｄＬＩＪｉｃｈｅｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＸｉａｎＪｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎ７１００４９，Ｃｈｉｎａ）
第２２卷 第３期
量法求解的一阶非齐次线性微分方程转化成两个可 用分离变量法求解的 一 阶 微 分 方 程，使 得 问 题 得 以 解 决 ．因 此 这 个 数 学 思 想 很 重 要 ，值 得 我 们 研 究 与 思 考．通过进一步分析，在一定条 件 下，可以试 用常数 变易法求 解 高 阶 线 性 微 分 方 程 和 高 阶 线 性 微 分 方 程组．
狏′（狓）＋犘（狓）狏（狓）＝ ０， 这 恰 好 是 对 应 的 齐 次 方 程 ，它 的 通 解 为
狏（狓）＝
∫ 犆 ｅ－ 犘（狓）ｄ狓 １
．
此时（２）变为狌′（狓）狏（狓）＝ 犙（狓），求解可得
∫ ∫ 狌（狓）＝
狏犙（（狓狓））ｄ狓＋犆２
＝
１ 犆１
犙（狓）ｅ∫犘（狓）ｄ狓ｄ狓＋犆２．
将 所 得 狌（狓），狏（狓）代 入 得 到 通 解 （１）．
∫ 并代入，解得 犆（狓）＝ 犙（狓 ）ｅ∫犘（狓）ｄ狓ｄ狓＋犆，可 得 原
方程的通解为
∫ ∫ ∫ 狔 ＝ 犆ｅ－ 犘（狓）ｄ狓 ＋ｅ－ 犘（狓）ｄ狓 犙（狓 ）ｅ∫犘（狓）ｄ狓ｄ狓． （１）
此方法称为常数 变 易 法．常 数 变 易 法 看 似 平 常 无奇，它 是 法 国 数 学 家 Ｌａｇｒａｎｇｅ（１７３６１８７３，拉 格
常数变易法是求解一阶非齐次线性微分方程的 有效方法，教师在讲 解 时 会 告 诉 学 生 如 何 进 行 常 数 变易．然而，很多 学 生 不 明 白 为 什 么 要 进 行 这 样 变 易 ，这 样 变 易 为 什 么 能 求 出 方 程 的 解 ．本 文 首 先 回 顾 常数变易法的产生 过 程，并 应 用 常 数 变 易 法 的 思 想 求 解 其 它 线 性 微 分 方 程 （组 ）的 通 解 ．
第２２卷 第３期 ２０１９ 年 ５ 月
高 等 数 学 研 究 ＳＴＵＤＩＥＳＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
犱狅犻：１０．３９６９／犼．犻狊狊狀．１００８１３９９．２０１９．０３．０１６
Ｖｏｌ．２２，Ｎｏ．３ Ｍａｙ，２０１９
常微分方程求解中常数变易法思想的理解与应用
赵 小 艳 ，李 继 成