高考数学知识考点精析23：数系的扩充与复数的引入

第二十三讲数系的扩充与复数的引入
1、 数的分类：
()()200Q 1Z N N C a+bi i R 0i 10b q p b a b *≠≠⎧⎫⎪⎪⎧⎪⎪⎫⎫⎪⎪⎫⎪⎬⎨⎪⎪⎬⎨⎬⎪⎭⎪⎬⎭⎫⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎫⎪
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪=⎬⎪⎪⎪=-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎪⎭虚数集（当a=0且b 0时为纯虚数）有理数集（都可整数集表示成,自然数正整数质数（奇数、集（素数）p,q 互为质的整数）集复数偶数）合数（有限小数或无限集循环小数）负整数为虚实数集数单位正数、、叫实部负数叫虚部⎧⎪⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎨⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩
⎩集
分数集
无理数集
（无限不循环小数）
2、()44142431,,1,,n n n n i i i i i i n Z +++===-=-∈两个复数相等的充要条件：
121211221212
,,,,x x y y R x y i x y i x x y y ∈+=+⇔==且两个复数如果不全是实数，就不能比较大小。

1
1212121222
30,,,z z
z z z z z z z z R z z
z z ⎛⎫±=±∙=∙=∈⇔= ⎪⎝⎭1、共轭复数的概念与性质：当两个复数实部相等且虚部互为相反数时，
这两个复数叫共轭复数，虚部不等于的两个共轭复数也叫共轭复数。

复数z 常用z 表示。

a+bi 与a-bi 互为共轭复数。

z
2
222121100,,z z z z z z z a b z z z z ≠⇔=⇔<∙===∙=+∙+∙若z 0，z 是纯虚数z+z a+bi,z a-bi,为实数
()Z 4、点的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z 可用点Z a,b 来表示，这个
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面。

()
()(),,z a bi a b R Z a b =+∈←−−−→一一对应x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数原点除外复数复平面内的点，这是复数的一个几何意义。

()()(
)5,,,OZ z a bi a b R Z a b Z a b z OZ a bi =+∈==+=、复数的向量表示：任一复数与复平面内的点对应，
也可以与以原点为起点，点为终点的向量对应，这些对应都是一一对应。

向量的长度叫复数的模：6、复数的运算：(1)、复数的加减法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±
(2)、复数的乘法与除法：乘法注意应用分配律，除法是先写出分式的形式，再分子、分母同时乘以分母的共轭复数。

()()()()a bi c di ac bd bc ad i +∙+=-++
()()()()()22220a bi c di a bi ac bd bc ad i c di c di c di c di c d c d
+-++-==++≠++-++ 特别注意：()()22
121212⇒∈2
2x =x ,z +z =0z =z =0,这些性质仅当x R 时成立。

7、几个结论： ()(
)()2
22112223312121221211
11112,,,.11101021,101i i i i i i i i i ωωωωωωωωωωωωωω+-±=±==-=±-+⎧⎪++=⎪++=⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪⎪===⎪⎩若＋＋＝ （3）10201
2r z z r z r r ≤-≤表示以对应的点为圆心，分别以，为半径的圆环。

（4）12d z z =-表示复平面内两点间的距离公式
（5）()()22
222222
02,02,x y a b z ci z ci a a b x y a b z ci z ci a a b +>>-++=->0,>--+==1对应的复数形式是=1对应的复数形式是 （6）
(
)21,200,,,,0bx c a a b c R x ++=≠∈∆<⇒=实系数方程的虚数根是成对出现的，有理系数方程的无理根也是成对出现的。

ax 虚系数方程的求解通常根据复数的相等去求。