八年级数学全册全套试卷综合测试(Word版 含答案)

八年级数学全册全套试卷综合测试（Word版含答案）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝_________．（用α，β表示）
【答案】1
2
(α+β)．
【解析】【分析】
连接BC，根据角平分线的性质得到∠3=1
2
∠ABP，∠4=
1
2
∠ACP，根据三角形的内角和得
到∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，求出∠3+∠4=1
2
（β-α），根据
三角形的内角和即可得到结论．【详解】
解：连接BC，
∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，
∴∠3=1
2
∠ABP，∠4=
1
2
∠ACP，
∵∠1+∠2=180°-β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）=180°-α，
∴∠3+∠4=1
2
（β-α），
∵∠BQC=180°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=180°-（180°-β）-1
2
（β-α），
即：∠BQC=1
2
（α+β）．
故答案为：1
2
（α+β）．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，连接BC构造三角形是解题的关键．
2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

【答案】45︒
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+
由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=
根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒
易得∠M 的度数。

【详解】
在ABM 中，2∠是ABM 的外角
∴2M MAB ∠∠∠=+
由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒
∵BOA 90∠=︒
∴OBA OAB 90∠∠+=︒
∵MA 平分BAO ∠
∴BAO 2MAB ∠∠=
由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=︒+ ∵12∠∠=
∴2290BAO ∠∠=︒+
又∵2M MAB ∠∠∠=+
∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+
∴90BAO 2M BAO ∠∠∠︒+=+
2M 90∠=︒
M 45∠=︒
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。

3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________．
【答案】6
【解析】
∵多边形内角和与外角和共1080°，
∴多边形内角和=1080°−360°=720°，
设多边形的边数是n，
∴(n−2)×180°=720°，解得n=6.
故答案为6.
点睛：先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．
4．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．
【答案】720°．
【解析】
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．
【详解】这个正多边形的边数为360
60
︒
︒
=6，
所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
故答案为720°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．
5．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．
【答案】30°
【解析】
【分析】
设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.
【详解】
设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，
由题意得，x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
即此三角形中最小的角是30°.
故答案为：30°.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
6．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
【答案】360°．
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一
点F,使得OF=1
2
AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（）
A．2 B．8
3
C．3 D．
10
3
【答案】B
【解析】
【分析】
重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.
【详解】
解：∵点D、E分别是边AC,AB的中点，
∴O为△ABC的重心，
∴
1
3
AOC
S
ABC
S=4,
∴12DOC DOA S S ==AOC S =2,
∵OF=
12AF ， ∴13
DOF S =AOD S =23, ∴S 阴=DOC S +DOF S =83
. 故选：B.
【点睛】
本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.
8．如图，三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若BOC ∆的面积=2，则四边形AEOD 的面积等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】D
【解析】
【分析】 连接AO ，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD 与△BOE 的面积．列出关于△AOE 与△AOD 的面积的方程即可求出四边形AEOD 的面积．
【详解】
连接OA ，
∵OB=OD ，
∴S △BOC =S △COD =2，
∵OC=2OE，
∴S△BOE=1
2
S△BOC=1，
∵OB=OD，
∴S△AOB=S△AOD，
∴S△BOE+S△AOE=S△AOD，
即：1+S△AOE=S△AOD①，
∵OC=2OE，
∴S△AOC=2S△AOE，
∴S△AOD+S△COD=2S△AOE，
即：S△AOD+2=2S△AOE②，
联立①和②：解得：S△AOE=3，S△AOD=4，
S四边形AEOD=S△AOE+S△AOD=7，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．
9．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）
A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6
【答案】D
【解析】
如图所示:
AB=5，AC=7，
设BC=2a，AD=x，
延长AD至E，使AD=DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE=2x，BE=AC=7，
在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
10．如图，三角形ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN=110°，则∠DEA=（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】A
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由角平分线的定义得到
∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，根据外角的性质得
∠B=∠DMN－∠BDM，∠C=∠ENM－∠CEN，整理可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，再根据四边形的内角和可得∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，则∠DEN=70°，故
∠DEA=40°．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，
∴∠BDM=∠EDM，∠CEN=∠DEN，
∵∠B=∠DMN－∠BDM=∠DMN－∠EDM，
∠C=∠ENM－∠CEN=∠ENM－∠DEN，
∴∠DMN－∠EDM=∠ENM－∠DEN，即∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM，
∵四边形DMNE内角和为360°，
∴∠DMN+∠DEN=∠EDM+∠ENM=180°，
∴∠DEN=70°，
则∠DEA=180°－2∠DEN=40°.
故选A．
11．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360
5
︒
=72°．
故选C．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
12．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）
A．110︒B．115︒C．120︒D．125︒
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得
∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC，进而可得答案．
【详解】
解：∵∠A=27°，∠C=38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°，
∵∠B=45°，
∴∠DFE=65°+45°=110°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F，AB=11，AC=5，则BE=______________．
【答案】3
【解析】如图，连接CD，BD，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，又因DG是BC的垂直平分线，所以CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BD，DF＝DE，利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质可得BE=CF，所以
AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．
点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC ＝20cm，则点D到AB的距离是_____cm．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD．
∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，
∴CD＝20×2
5
＝8（cm）．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若
∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.
【详解】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，
∴∠DGE=∠CFE=90°，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠GED=∠CEF，
又∵DE=EC，
∴△GDE≌△FCE，
∴DG=CF，
∵S△BED=1
2BE•DG，S△BED=
1
2
AE•CF，AE=BE，
∴S△BED=S△BED，
∵D是BC的中点，
∴S△BDE=S△EDC=1
22
2
⨯⨯=2，
∴S阴影=2+2=4，故答案为4.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC=22，点D，E均在边BC上，且
∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】
5
3
【解析】
分析：根据等腰直角三角形的性质得45
B ACB
∠=∠=，把△ABD绕点A逆时针旋转90
得到△ACF,连接,
EF如图，根据旋转的性质得
,,
AD AF BAD CAF
=∠=∠45,
ABD ACF
∠=∠=接着证明45,
EAF
∠=然后根据“SAS”可判断△ADE≌△AFE，得到DE=FE，由于90
ECF ACB ACF
∠=∠+∠=，根据勾股定理得222
CE CF EF
+=，设,
DE EF x
==则3
CE x
=-，则()222
31,
x x
-+=由此即可解决问题．
详解：90
BAC AB AC
∠==
，，
∴45
B ACB
∠=∠=，
把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,
EF如图,则
△ABD≌△ACF,
,,45,
AD AF BAD CAF ABD ACF
=∠=∠∠=∠=
∵45
DAE
∠=，
∴45
BAD CAE
∠+∠=，
∴45,
CAF CAE
∠+∠=
即45,
EAF
∠=
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中
AE AE
EAD EAF
AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩，
∴△ADE ≌△AFE ，
∴DE =FE ，
∵90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，
∴222CE CF EF +=，
Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，
∴224BC AB AC =+=，
∵1BD =，
设,DE EF x == 则3CE x =-，
则有()22231,x x -+=
解得：5.3x =
∴5.3
DE = 故答案为5
.3
点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
17．如图，AB ＝BC 且AB ⊥BC ，点P 为线段BC 上一点，PA ⊥PD 且PA ＝PD ，若∠A ＝22°，则∠D 的度数为_________．
【答案】23°
【解析】
解：过D 作DE ⊥PC 于
E ．∵PA ⊥PD ，∴∠APB +∠DPE =90°．∵AB ⊥BC ，∴∠A +∠APB =90°，∴∠A =∠DPE =22°．在△ABP 和△PED 中，
∵∠A =∠DPE ，∠B =∠E =90°，PA ＝PD ，∴△ABP ≌△PED ，∴AB =PE ，BP =DE ．∵AB =BC ，∴BC =PE ，∴BP =CE ．∵BP =DE ，∴CE =DE ，∴∠DCE =45°，∴∠PDC =∠DCE －∠DPC =45°－22°=23°．故答案为：23°．
18．如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：
①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．
【答案】2
【解析】
根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由
②③⇒①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.
故答案为：2.
点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是
（）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，
∵在△BCE中，BE＞BC-CE，
∴AB-AD＞CB-CD．
故选A．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）
A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF
【答案】A
【解析】
【分析】
通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝1
2
BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，
∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△ADF≌△BDC（AAS）
∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，
∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，
∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°
∴∠AHG＝67.5°，
∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，
∴DH＝DF，故选项D不符合题意，
连接BH，
∵AG＝BG，DG⊥AB，
∴AH＝BH，
∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，
∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，
∴∠EHB＝∠EBH＝45°，
∴HE＝BE，
故选项B不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.
21．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )
A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使
DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝
∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.
【详解】
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，
∵∠BCD＝30°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，
∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，
∵DF为∠BDA的平分线，
∴∠ADF＝∠BDF，
∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，
∴AD≠AF，故②不合题意，
如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，
∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，
∴△ADF≌△HDF(SAS)
∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，
∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，
∴∠HBF＝∠BFH＝15°，
∴BH＝HF，
∴BH＝AF，
∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，
∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，
∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，
∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，
∴△BDG≌△BDE(SAS)
∴∠BGD＝∠BED＝75°，
∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，
∴∠GBC＝∠BGC＝75°，
∴BC＝BG，
∴BC＝BG＝2DE+EC，
∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，
故选：C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
22．如图（1），已知AB AC
=，D为BAC
∠的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB AC
=，D，E为BAC
∠的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB AC
=，D，E，F为BAC
∠的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（）
A．21 B．11 C．6 D．42
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，
△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB AC
BAD CAD
AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；
同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；
∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
23．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边ABC
△边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：
①BQ AM
=②ABQ
△≌CAP
△③CMQ
∠的度数不变，始终等于60︒④当第2秒或第4秒时，PBQ
△为直角三角形，正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
∵点P、Q速度相同，
∴AP BQ
=．
在ACP
△和ABQ
△中，
60
AP BQ
CAP ABQ
AC BA
=
⎧
⎪
∠==︒
⎨
⎪=
⎩
，
∴ACP
△≌BAQ
△，故②正确．
则AQC CPB
∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP
∠+∠=∠+∠．
∴60
AMP B
∠=∠=︒．
则60
CMQ AMP
∠=∠=︒，故③正确．
∵APM
∠不一定等于60︒．
∴AP AM
≠．
∴BQ AM ≠．故①错误．
设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t
①当∠PQB =90°时，
∵∠B =60°，
∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；
②当∠BPQ =90°时，
∵∠B =60°，
∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
24．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若
21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A ．①，②都正确
B ．①，②都错误
C ．①错误，②正确
D ．①正确，②错误 【答案】A
【解析】
【分析】
根据SSS 即可推出△111A B C ≅△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．
【详解】
解：①△111A B C ，△222A B C 的周长相等，1122A B A B =，1122AC A C =，
1122B C B C ∴=，
∴△111A B C ≅△222()A B C SSS ，
∴①正确；
②如图，延长11A B 到1D ，使1111B D B C =，，延长22A B 到2D ，使2222B D B C =，
∴111111A D A B B C =+，222222A D A B B C =+，
∵111122,A B C A B C △△的周长相等，1122=A C A C
∴1122A D A D =，
在△111A B D 和△222A B D 中
1122121122
==A D A D A A A C A C =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，
∴ △111A B D ≅△222A B D （SAS ）
∴12=D D ∠∠，
∵1111B D B C =，2222B D B C =
∴1111=D D C B ∠∠，2222=D D C B ∠∠，
又∵1111111=A B C D D C B ∠∠+∠，2222222=A B C D D C B ∠∠+∠，
∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠，
在△111A B C 和△222A B C 中
111222121122
===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），
∴②正确；
综上所述：①，②都正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD ，以点D 为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB ，AC 于点M ，N ，连接MN ，则△AMN 的周长为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．证明△BDM ≌△CDE （SAS ），得出MD=ED ，
∠MDB=∠EDC ，证明△MDN ≌△EDN （SAS ），得出MN=EN=CN+CE ，进而得出答案．
【详解】
延长AC 至E ，使CE=BM ，连接
DE ．
∵BD=CD ，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM 和△CDE 中，
BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，
＝
∴△BDM ≌△CDE （SAS ），
∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN ，
在△MDN 和△EDN 中，MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝，＝
∴△MDN ≌△EDN （SAS ），
∴MN=EN=CN+CE ，
∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
26．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
作CG ⊥MN 于G ，证△ACE ≌△BCF ，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出12
4CG BC =
=，在Rt △CMG 中，由勾股定理求出MG ，即可得到MN 的长．
【详解】
解：如图示：作CG ⊥MN 于G ，
∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，
∴AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE ，
即∠ACE=∠BCF ，
在△ACE 与△BCF 中
AC
BC ACE BCF
CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACE ≌△BCF （SAS ），
又∵AD 是三角形△ABC 的中线
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴12
4CG BC ==， 在Rt △CMG 中，2222543MG CM CG =-=-=，
∴MN=2MG=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．
27．如图，已知△ABC 和△ADE 都是正三角形，连接CE 、BD 、AF ，BF=4,CF=7,求AF 的长_________ .
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A 作AF ⊥CE 交于I ，AG ⊥BD 交于J,证明CAE ≅BAD ，再证明
CAI ≅BAJ ，求出°7830∠=∠=，然后求出12
IF FJ AF ==
，，通过设FJ x =求出x ，即可求出AF 的长.
【详解】
解：过点A 作AF ⊥CE 交于I ，AG ⊥BD 交于J
在CAE 和BAD 中
AC AB CAE BAD
AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CAE ≅BAD
∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形）
∴°120CFD ∠= 在CAI 和BAJ 中
°90
ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴CAI ≅BAJ
,AI AJ CI BJ ==
∴°60CFA AFJ ∠=∠=
∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中
°30FAI FAE ∠=∠=
∴12
IF FJ AF ==
设FJ x = 7,4CF BF ==
则47x x +=-
32x ∴=
2AF FJ =
AF ∴=
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
28．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．
【答案】33+
【解析】
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.
【详解】
如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，
∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，
∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，
∴△FDE 是等边三角形， ∵3BE =，3DE =，∴33DM =-，
∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，∴1332NM DM -=
=， ∴33333BN BM NM -+=-=-
=， ∴233BC BN ==+.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
29．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°
【答案】80
【解析】
【分析】
根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.
【详解】
∵CD 平分∠ACE ，
∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，
∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，
∵∠AEC=100°，
∴∠ABC+∠ECB=100°，
∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB,
∴2∠ACB－2∠ACD=100°，
∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.
【点睛】
本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.
30．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是
______________．
【答案】
2018
1
80 2
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．
【详解】
解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C=
°
180-
2
B
∠
=80°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=1
2
∠BA1C=
1
2
×80°；
同理可得∠EA3A2=（1
2
）2×80°，∠FA4A3=（
1
2
）3×80°，
∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（1
2
）n-1×80°．
∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（1
2
）2018×80°，
故答案为：（1
2
）2018×80°．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】D
【解析】
【分析】
本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求．
【详解】
由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有3个；
以AP、BP为腰的三角形有2个；
以BP、AB为腰的三角形有2个．
所以，这样的点P共有7个.
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
32．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，
33．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

【详解】
如图所示，根据题意，作出相应的图形，可知：
∵P 和1p 点关于OB 对称，p 和2p 关于OA 对称
∴可得1
1POB POB ∠=∠=∠,22P OA POA ∠=∠=∠ 12OP OP OP ==（垂线段的性质）
∴12POP △为等腰三角形
∵1230AOB ∠=∠+∠=︒
1221222(12)60POP ∠=∠+∠=∠+∠=︒
∴等腰12POP △为等边三角形.故本题选C.
【点睛】
本题主要考查垂线段的性质和定理，以及等边三角形的证明方法（有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形）.
34．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334
A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（ ）
A ．20172
B ．20182
C ．20192
D ．20202
【答案】B
【解析】
【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得
规律333、
、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】
解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，
∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =
∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，
∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，
∴111=A B OA ，
∵11OA =，
∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，
同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，
同理得23342==A B 、34482==A B ，
根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，
故选：B ．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
35．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：
①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；
④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；
③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.
【详解】
连接OB ，
∵AB AC =，AD ⊥BC ，
∴AD 是BC 垂直平分线，
∴OB OC OP ==，
∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，
∵AB=AC，∠BAC=120∘
∴30
ABC ACB
∠=∠=︒
∴30
ABO DBO
∠+∠=︒，
∴30
APO DCO
∠+∠=．
故①②正确；
∵OBP
∆中，180
BOP OPB OBP
∠=︒-∠-∠，
BOC
∆中，180
BOC OBC OCB
∠=︒-∠-∠，
∴360
POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB
∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，
∵OPB OBP
∠=∠，OBC OCB
∠=∠，
∴260
POC ABD
∠=∠=︒，
∵PO OC，
∴OPC
∆是等边三角形，
故③正确；
在AB上找到Q点使得AQ=OA，
则AOQ
∆为等边三角形，
则120
BQO PAO
∠=∠=︒，
在BQO
∆和PAO
∆中，
BQO PAO
QBO APO
OB OP
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴BQO PAO AAS
∆∆
≌（），
∴PA BQ
=，
∵AB BQ AQ
=+，
∴AB AO AP
=+，故④正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证
BQO PAO
∆∆
≌是解题的关键．
36．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形
ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）
A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）
【答案】A
【解析】
试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．
故选A．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．
七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
37．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3
的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案．
【详解】
解：
设2为a ，3为b ，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2，
∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C ．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式．
38．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )
A ．6
B ．6-
C ．6±
D ．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．
【详解】
解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，
k 6∴-=±，
解得：k 6=±，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
39．下列运算正确的是
A ．532b b b ÷=
B ．527()b b =
C ．248·b b b =
D ．2·22a a b a ab -=+（） 【答案】A
【解析】
选项A ， 532b b b ÷=，正确；选项B ， ()25b =10b ，错误；选项C ， 24·b b =6b ，错误；选项D ， 2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.
40．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边的长度，且满足a 2－b 2=c （a －b ），则△ABC 是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．
【详解】
已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b ，
则△ABC 为等腰三角形．
故选C ．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
41．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A ．a 2-1
B ．a 2+a
C ．a 2+a-2
D ．(a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【解析】
试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．
考点：因式分解.
42．若2149x kx ++
是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．1
3
± 【答案】C
【解析】
【分析】
本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．
【详解】
由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得：。