2012年北京昌平区中考二模数学试卷

2012年北京昌平中考二模
数 学
2012年6月
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1．2
1 的倒数是
A ． 2
B ．2
C ．2
1D ．2
1
2
．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A B
C D
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，若∠ABC =70°，则∠BDC 的度数为
A ．50°
B ．40°
C ．30°
D ．20° 4．若2
2(1)0m n ，则2m n 的值为
A ．4
B ．1
C ．0
D ．4
5．下列四个几何体中，主视图是三角形的是
6．如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC =OD ）量零件的内孔
直径AB ．若OC ∶OA =1∶2，量得CD ＝10，则零件的内孔直径AB 长为 A ．30 B ．20 C ．10 D ．5 7． 在1，2，3三个数中任取两个，则这两个数之和是偶数的概率为
A ．
13
B ．
12
C ．
14
D ．
16
B
A B C D
8．下右图能折叠成的长方体是
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式
24
1
x x 的值为0，则x 的值为 ．
10．圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为
．
11．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4∶3，则这个菱形的面积是 ．
12．如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点是方格纸中的两个
格点，在4×5的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为1个平方单位，则满足 条件的格点C 的个数是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：1
2sin 45(2012)
． 14．解方程：
2
11x x x
． 15．已知31 x ，求代数式4)1(4)1(2
x x 的值．
16．如图：已知在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且
BD =CE ．求证：DC =EA ．
A B C D
A
D
C
B
17．如图，已知：反比例函数k y x
（x ＜0）的图象经过点A （－2，4）、
B （m ，2）
，过点A 作A F ⊥x 轴于点F , 过点B 作BE ⊥y 轴于点E ,交AF 于 点C ，连结OA ．
（1）求反比例函数的解析式及m 的值；
（2）若直线l 过点O 且平分△AFO 的面积，求直线l 的解析式．
18．列方程（组）解应用题：
李明同学喜欢自行车和长跑两项运动，在某次训练中，他骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5000米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4．过点A 作A E ⊥AB 且AB =AE ，过点E 分别作E F ⊥AC ，ED ⊥BC ，
分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC =5，求四边形ABDE 的周长．
E F D
A
B
C
20．如图，⊙O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一点，连结AP交⊙O于点D，点E 在OP上且DE=EP．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）作DH OP于点H，若HE=6，DE=43，求⊙O的半径的长．
21.某学校为了了解学生本学期参加社会实践的情况，随机抽查了该校部分学生参加社会实践活动的天
数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图：
各时间实践活动人数占抽样总人数百分比统计图抽样调查学生社会实践时间的人数统计图
7天及以上
20%
4天
15%3天
10%
%
30%
6天
5天
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）该校共有学生1000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
22．类比学习：
有这样一个命题：设x 、y 、z 都是小于1的正数，求证：x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1． 小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC ，并分别在其边上截取AD =x ，BE =z ，CF =y ，
设△ADF 、△CEF 和△BDE 的面积分别为1S 、2S 、3S ，
则 11
2S x y （
1-）sin60，212S y z （1-）sin60，
312
S z x （1-）sin60．
由 1S +2S +3S ＜ABC S ，
得
12x y （1-）sin60+12y z （1-）sin60+12z x （1-）sin60
所以 x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1． 类比实践：
已知正数a 、b 、c 、d ，x 、y 、z 、t 满足a x =b y =c z =d t =k ．求证：ay ＋bz ＋ct ＋dx ＜2
2k ．
B
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知m 为整数，方程2
21x mx =0的两个根都大于-1且小于
3
2
，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．
25．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠DBC ，交AC 于E ，过点A 作
AF ⊥BE 于G ，交BC 于F ，交BD 于H ．
（1）若∠BAC =45°，求证：①AF 平分∠BAC ；②FC =2HD ． （2）若∠BAC =30°，请直接写出FC 与HD 的等量关系．
G
A
B
D
E
H
C
H G E D C B A
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13．解：原式=
1122
……………………… 4分
=
32． ……………………… 5分
14．解：2
2(1)(1)x x x x
．……………………… 1分 ∴ 2
2
22x x x x ．……………………… 2分 ∴ 23
x ．
……………………… 4分
经检验，23
x 是原方程的根．
……………………… 5分
15．解：原式=2
21444x x x
……………………… 2分
=2
21x x
……………………… 3分 =
2(1)x ．
……………………… 4分
∵ 31 x ，∴原式=3
……………………… 5分
16．证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ BC =AC ，∠1=∠2=60°． ……………………… 1分 ∴ ∠3=∠4=120°．……………………… 2分 ∵ BD =CE ，
……………………… 3分 ∴ △BDC ≌△CEA ． ……………………… 4分 ∴DC =EA ．
……………………… 5分
17．解：∵ k
y x
（x ＜0）的图象经过点A （－2，4）、B （m ，2），
∴ 8k ．
……………………… 1分 ∴ 8
y x
．
……………………… 2分 ∴ 4m ．
……………………… 3分
∵ 直线l 过点O ，
∴ 设直线l 的解析式为：y kx ，其中0k ．∵ 直线l 平分△AFO 的面积， ∴ 直线l 过AF 的中点C （-2，2）． ……………………… 4分
∴ 1k ．
∴ 直线l 的解析式为：y x ．
……………………… 5分
18．解：设自行车路段为x 米，
……………………… 1分 则
500015600200
x x
．……………………… 3分 解之，得x = 3000． ……………………… 4分 ∴ 5000- x = 2000．
答：自行车路段为3000米，长跑路段为2000米．
……………………… 5分
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 19．解：∵ ∠ACB =90°，A E ⊥AB ，
∴ ∠1+∠B =∠1+∠2=90°． ∴ ∠B =∠2． ……………………… 1分
∵ E F ⊥AC ，
∴ ∠4=∠5 =90°． ∴ ∠3=∠4． ∵ AB =AE ，
∴ △ABC ≌△EAF ． ……………………… 2分
∴ BC =AF ，AC =EF ． ∵ BC =4， ∴ AF =4． ∵ FC =5， ∴ AC =EF=9．
4
3
2
1A D
C
E
B
7
6
512
43
E
F
D A
B
C
在Rt △ABC
中，AB
……………………… 3分
∴ AE
∵ ED ⊥BC ，
∴ ∠7=∠6 =∠5= 90°． ∴ 四边形EFCD 是矩形． ∴ CD =EF =9，ED =FC =5．
……………………… 4分
∴ 四边形ABDE 的周长=AB +BD +DE +EA
…………… 5分
20．（1）证明：连结OD ．
……………………… 1分
∵ OA =OD ， ∴ ∠A =∠1． ∵ DE =EP ， ∴ ∠2=∠P ． ∵ OA OB 于O ， ∴ ∠A +∠P =90°． ∴ ∠1+∠2=90°． ∴ ∠ODE =90°． 即 OD DE ．
∵ OD 是⊙O 的半径， ∴ DE 是⊙O 的切线． ………………………………………………………… 3分
（2）解：∵DH OP 于点H ，
∴ ∠DHE =90°． ∴ cos ∠3=HE DH
=3
46=23．
∴ ∠3=30°
∵ 在Rt △ODE 中，tan ∠3=DE
OD
，∴
3
4OD =
3
3．∴ OD =4.
即 ⊙O 的半径为4．
……………………………………………………… 5分
21．解：（1）20÷10％=200（名）
答：该校对200名学生进行了抽样调查．
………………………………… 1分
3
2
1
B
A
H E
D
O
P
（2） …………………………………………………… 3分
（3）（30%+25%+20%）×1000=750（名）
答：“活动时间不少于5天”的大约有750人． ………………… 5分
22．证明：如图，作边长为k 的正方形ABCD ． …………………1分 并分别在各边上截取：
AE =a ，DH =b ,CG =c ,BF =d , ∵ a
x b y c z d t k ，
∴ BE =x ，AH =y ,DG =z ，CF =t . …………………2分 ∵ 90A B
C
D
,
∴ 11
2
S ay ，212S dx ，312
S ct ，41
2
S bz ．…………………3分
∵ 1234ABCD S S S S S 正方形, ∴
211112
2
2
2
ay dx ct bz k .
∴ 22ay bz ct dx
k ．
……………………………………………………5分
五、解答题（共3道小题，第23小题6分，第24，25小题各8分，共22分）
23．解： 设2
21y x mx
．…………………………………………………………………1分
∵ 2
210x mx 的两根都在1 和
3
2
之间， ∴ 当1x 时，0y ，即：210m ． ………………………………………2分
当3
2x 时，0y ，即：
93
1022
m ．……………………………………3分
∴ 1
213
m
． ………………………………………………………………………4分∵ m 为整数，
∴ 210m
，，．……………………………………………………………………5分
①当2m
时，方程2
22104812x x ，，255天6天
30%
%
10%
3天15%
4天20%7天及以上
7天及以上
抽样调查学生社会实践时间的人数统计图
各时间实践活动人数占抽样总人数百分比统计图
y t d
c b a
S 4
H x S 3S
2S 1
F
D A B C
E
z
∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．
②当1m 时，方程2
121
21012
x x x x ，，，符合题意．③当0m 时，方程2210x
，2
x ，不符合题意．综合①②③可知，1m ．
………………………………………………………… 6分
24． 解：（1）据题意，A (0，2)，B (2，2)， C (2，0) ．
∵ 抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 和D (4，3
2)，
∴
．，，24163
2
22422b a b a c
∴ ∴ 23
1612 x x y ．
………………………………………………………… 2分
（2）点B 关于抛物线的对称轴x =1的对称点为A ．
连接AD ，与对称轴的交点即为M ．
∵ A （0，2）、 D （4，3
2），
∴ 直线AD 的解析式为：23
1 x y ．
当x =1时，3
5
y ，
∴ M （1，3
5）．
………………………………………………………… 4分
（3） ① AP =2t, PB =2-2t, BQ =t ．
在Rt △PBQ 中,∠B =90°，
∴ 222BQ PB PQ ．
∴ 2
222t t S
）（． ∴ 4852 t t S ,（0≤t ≤1）．
②当时45 S ，48545
2 t t ．
∴ 21 t ,10
11
t ＞1（舍）．
．
，
，
231
61 c b a
∴ P （1，2），Q （2，2
3）．
∴ PB = 1．
根据分析，以点P 、B 、Q 、R 为顶点的平行四边形只能是□PQRB ． ∴ R （3，2
3）．
此时，点R （3，2
3）在抛物线231
612 x x y 上．
……………………………… 8分
25．解：（1）①∵ BD ⊥AC ，AF ⊥BE ，
∴ ∠ADH =∠HGB =90°． ∵ ∠BHG=∠AHD ， ∴ ∠HBG =∠HAD ． ∵ ∠ABC =∠FGB =90°， ∴ ∠BAF+∠AFB=90°， ∠GBF+∠AFB=90°． ∴ ∠GBF=∠BAF ． ∵ BE 平分∠DBC ， ∴ ∠GBF=∠HBG ． ∴ ∠HAD=∠BAF ． 即 AF 平分∠BAC ．
………………………………………………………2分
②∵ 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴ ∠C=∠BAC = 45°，∴ AB=BC ．∵ BD ⊥AC ，∴ AD=DC=
2
1
AC ． 过点D 作KD ∥FC 交AF 于K ， ∴
2
1
AC AD FC KD ． ∴ FC=2KD ．
………………………………………………………4分
∵ BE 平分∠DBC ，BE ⊥AF ，
∴ ∠DBE =∠EBF ，∠HGB =∠FGB =90°． ∴ ∠BFH =∠BHF ． ∴ ∠BHF =∠DHK ． ∴ ∠BFH =∠DHK ． ∵ KD ∥BC ， ∴ ∠DKH =∠BFH ． ∴ ∠DKH =∠DHK ．
K
G
A
B
D E
H
C
∴ KD =HD ． ∴ FC =2HD ． ………………………………………………………6分 （2）FC=
3
4
HD ． ………………………………………………………8分。