机械振动2

电场能量 磁场能量
We
=
1 2
q2 C
=
q02 2C
cos 2 (ωt + ϕ )
Wm
=
1 2
Li2
=
1 2
q02 C
sin2 (ωt
+ϕ)
总能量
W
= We
+ Wm
=
q02 2C
=
1 2
LI
2 0
电场能量与磁场能量相互交换，总的电磁能量为恒量
三、电学系统和力学系统比较
电
学
电荷 q = q0 cos(ωt + ϕ )
设x1 = A0 cosω1t, x2 = A0 cosω2t
合成振动表达式： x = x1 + x2 = A0 cosω1t + A0 cosω2t
=
⎜⎛ ⎝
2
A0
cos
ω2
− 2
ω1
t
⎟⎞ ⎠
cos
ω2
+ 2
ω1
t
合振动是振幅按 |2A0cos (ω2- ω1)t/2| 缓慢变化的角频率为
(ω2+ ω 1)/2 的“准周期运动”
t
+ϕ
)
系统的总能量
E＝Ek＋E p
=
1 2
mA 2ω
2
sin2 (ωt
+ϕ
)＋ 1
2
kA2
cos2 (ωt
+ϕ)
Qω2 = k
m
∴ E＝ 1 mA2ω 2＝ 1 kA2
2
2
弹簧振子作简谐运动的能量守恒，且与振幅的平方 成正比。
二二、、能能量量平平均均值值
1、动能的时间平均值
∫ Ek
=
1 T
T 0
阻尼力： − γv
m
d2x dt 2
=
−γv
−
kx＋H 0
cos( pt)
令
ω
2 0
=
k ;2β
m
=
γ ；h
m
=
H0 m
d2x dt 2
+
2β
dx dt
+ ω02 x
=
h cos
pt
当 β 2 < ω02 时，其解为：
x(t) = A0e−βt cos(ωt +δ ) + Acos(pt +ϕ)
经过足够长的时间，称为定态解： x(t) = A cos( pt + ϕ)
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定。拍频ν
ν
=
ω2
− ω1 π
/2
= ν2
−ν1
四四、、两两个个相相互互垂垂直直的的同同频频率率简简谐谐振振动动的的合合成成
某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x = A1 cos(ω t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω t + ϕ2 )
合振动的轨迹方程为
( ) dA＝
dp
d dp
⎜⎛ ⎜⎜⎝
ω02
−
h p2 2
+
4β
2
p2
⎟⎟⎟⎠⎞＝0
共振角频率 共振振幅
p = ω02 − 2β 2
A=
h
2β ω02 − β 2
当 β→0 弱阻尼时 共振发生在固有 频率处，称为尖 锐共振。
∴ p = ω0,
A→∞
3、共振的危害及其应用
•危害
•应用 •防止
•钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； •收音机利用电磁共振进行选台； •核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗 诊断等。
等幅振动的角频率就是强迫力 的频率；稳定态时的振幅及与 强迫力的相位差分别为：
A=
h
(ω02 − p2 )2 + 4β 2 p2
tg ϕ
=
− 2βp
ω
2 0
−
p2
三三、、共共振振
当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的
1、共振的概念
位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振， 简称共振。
2、共振角频率和共振振幅
tgϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
v
2、应用旋转矢量法 y
A
x = Acos(ω t + ϕ )
v A2
tgϕ = A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
v
ϕ2 ϕ
A1
ϕ1
A1 cosϕ1 A2 cosϕ2
简谐振动特征
&x&
=
d2x dt 2
=
−ω 2 x
x = A cos( ω t + ϕ )
v = − Aω sin(ωt + ϕ)
= vm cos(ωt + ϕ + π / 2)
a = −ω 2 A cos( ω t + ϕ )
= am cos( ω t + ϕ + π )
描述谐振动物理量
ω = k ,T = 2π m
•改变系统的固有频率或外力的频率； •破坏外力的周期性； •增大系统的阻尼； •对精密仪器使用减振台。
阻尼振动
受迫振动 共振（ ω外 = ω ）
如何设计一防振台？
要使 ω 外 >> ω ！
ω=
k m
小
大理石板 充气轮胎
= m大
k小
10.4 电磁振荡
LC回路
由一个电容器和一个线圈串联而成
一、LC电路的振荡
＝Acos(ω t + ϕ )
x = x1 + x2
A = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 −ϕ1)
= A1 cos(ω t + ϕ1)＋A2 cos(ω t + ϕ2 ) = (A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 )cosω t
− (A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 )sin ω t
无振动发生
t
+ De−(β + β 2 −ω02 )t
过阻尼
情况3：临界阻尼
β 2 = ω02
x(t) = ( A + Bt )e−β t
称之为临界阻尼情况。 应用在天平调衡中。
是从有周期性因子 ω =
ω
2 0
−
β
2
到无周期性的临界点。
x(t)
t
临界阻尼
二二、、受受迫迫振振动动
强迫力 H0 cos pt
x1 = A1 cos(ω t + ϕ1 ) 令 Asinϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
x2 = A2 cos(ω t + ϕ2 )
Acosϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
合振动 x = x1 + x 2
1、应用解析法
x＝Acosϕ cosω t − Asinϕ sinω t
A = A1 A1 = A2
±(2k
− A2
−
1)π k
合振幅最小
A=
=
0
1,2,3,LAv2
v A
v A1
情况3：一般情况
v
v
ϕ2 −ϕ1 ≠ kπ
A2
A
v
| A1 − A2 |< A <| A1 + A2 |
A1
例：两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.2m，
合振动位相超前第一振动π/6，已知第一振动的振幅为0.173m，求
电流 i = ωq0 sin( ωt + ϕ )
电感L
电容的倒数
电能
磁能
力
学
位移 x = Acos(ωt + ϕ)
速度 v = −Aωsin(ωt +ϕ)
质量M

劲度系数K
弹性势能
动能
10.5 简谐振动的合成
一一、、两两个个同同方方向向同同频频率率简简谐谐运运动动的的合合成成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
d 2θ
dt 2
d 2θ
dt 2
+
gθ
l
=
0
单摆的圆频率
ω2 = k = g
ml
ω=
g l
θ
周期 T＝2π l
g
振动方程
频率 ν = 1 ＝ 1 g T 2π l
v f
θ = θ0 cos(ωt + ϕ )
mgv
摆角
3、说明：
相位
•单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力
•单摆的周期与质量无关
•单摆提供了一种测量重力加速度的方法
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A2 sin ϕ2
A1 sin ϕ1 x
3、讨论 情况1
ϕ2 −ϕ1 = ±2kπ k = 0,1,2,L
A = A1 + A2 合振幅最大
当 A1 = A2
A = 2 A1
v Av v A2 A1
情况2
当
ϕ2 −ϕ1 =
一一、、阻阻尼尼振振动动
1、概念 振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。
2、阻尼振动的运动方程
振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反
f = −γv = −γ dx
dt
动力学方程：
m
d2x dt 2
=
−γ
dx dt
− kx
固有圆频率
ω
2 0
=
k m
2β = γ
m
阻尼系数
d2x dt 2
+
2β
, Δϕ
=
(ω2
− ω1)t1
=π
t1
A2超前A1半圈，二振动反相，合振幅达最小 O
A=A1-A2；经历时间
A1 t=0 x
t2
=
2π ω2 − ω1
, Δϕ
=
(ω2
− ω1)t2
=
2π
A2超前A1一圈，二者同 相，合振幅又达最大；
x = x1 + x2 不是谐振动，其振幅
∴ A = A12 + A12 + 2A1A2 cos(ω2 −ω1)t
合振动幅度有规律地时强时弱的现象被称为拍。一 次强弱变化称为一拍，每秒钟的拍数叫拍频。
x(t) 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
ν = ν2 −ν1
t
拍的应用： •用音叉的振动来校准乐器； •利用拍的规律测量超声波的频率； •在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制
对两个频率较大而频率差很小的简谐振动
1、概念
单摆是一个理想化的振动系 统：它是由一根无弹性的轻绳 挂一个质点构成的。
摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
把质点从平衡位置略为移开， 质点就在重力的作用下，在竖 直平面内来回摆动。
2、运动方程
F = −mg sinθ
≈
−mgθ
=
m
d2x dt 2
=
ml
d 2θ
dt 2
−
mgθ
=
ml
M
x3 = A cos( ω t − π ) 2
1
O
t1
t2
t3
t1’
0
3
对同一振动M0状3 态OM，振动1比振动2在时间上超前 t2-t1,相位超前ω(t2-t1)=π/2 换种方式，若将振动状态OM对应振动1的另一相同 状态，由可看作振动2比振动1在时间上超前t1’-t2，
单单摆摆————数数学学摆摆
第二振动的振幅及一、二振动的位相差。
解：设 x1 = A1 cos(ωt + ϕ1), x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )
x = x1 + x2 ⇒ x2 = x − x1
x2 = Acos(ωt + ϕ ) + A1 cos(ωt + ϕ1 + π )
∴A2 =
A12 + A2 + 2A1Acos(ϕ1 +π −ϕ)
m
k
ν=1
T
A=
x2
+
v
2 0
ω 0
2
ϕ
=
arctg
− (
v0 )
ωx0
四
旋转矢量
⎯从O点作长度为A，初始位置与OX轴
夹角为ϕ的矢量，以角速度ω沿逆时针方
向旋转
t A
ω
· ω t+ϕ ϕ A t = 0 ox x
x = A cos(ω t + ϕ )
参考圆
A ←→ 振幅 ω ←→ 圆频率 ϕ ←→ 初相位 ωt+ϕ ←→ 相位
•单摆可以当作计时器
10.2 简谐振动的能量
一一、、简简谐谐振振动动的的能能量量
以弹簧振子为例
x = Acos(ωt + ϕ )
k
m
X
ox
v = − Aω sin(ωt + ϕ )
系统动能 系统势能
Ek
=
1 2
mv 2
=
1 2
mA2ω 2
sin2 (ωt
+ϕ)
Ep
=
1 2
kx2＝ 1 2
kA2
cos2 (ω
在LC回路中，变化着的电场和磁场互相
激发，电场能量与磁场能量相互传递
二、电磁振荡方程
由电容器极板间和线圈两端电势差相等
di L
dt
通解：q =
i = − dq dt
=q
i=-dq/dt
C
q0 cos(ωt + ϕ )
= ωq0 sin( ωt + ϕ
ω )
d 2q +
dt
=
2
1
LC
1 LC
q=0
角频率
dx dt
+ ω02 x
=
0
3、讨论
x(t)
•情况1：小阻尼情况 β 2 < ω02
t
x(t) = Ae−βt cos(ωt +ϕ)
小阻尼
ω=
ω
2 0
−
β
2
T ′ = 2π = 2π > T = 2π
ω
ω02 − β 2
ω0
情况2：过阻尼
β2
>
ω
2 0
阻力使周期增大
这种情况也称为欠阻尼
x(t )
x(t) = Ce−(β − β 2 −ω02 )t
ωt + ϕ = 2π (3)
3
ωt ′ + ϕ = 3π
2
Δt = ( 3π − 2π ) /ω = 5 s
23
6
ω
t=0.5s
ωt + ϕ = π
6
x
A
ϕ = − π (或 5π )
33
v
2、振动时间曲线与旋转矢量图示
ω
x
x1 = x2 =
A cos ω t A cos( ω t
−
π
)
2