高三数学上学期第二次月考(期中)试题 理 人教版 新版

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2019学年第一学期期中考试
高三(理科)数学试题
时间：120分钟 总分：150分 第I 卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. i 是虚数单位，复数1－3i
1－i ＝( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－1＋2i
D ．－1－2i
2. 集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．[－2，＋∞) C．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 3. 已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝cos （π6＋α），则cos2α＝( ) A ．1 B ．－1 C. 1
2
D ．0
4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点， 且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
等于( )
A. 1
2b －a B. 1
2a －b C ．－1
2
a ＋b
D. 1
2
b ＋a 5. 已知a ，b ，
c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )
A ．30° B．45° C．60° D ．120°
6. 已知平面向量a ，b 的夹角为2π
3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )
A. 3 B ．2 3 C ．3
D ．4
7. 设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋m >0；q ：函数f (x )＝－13
x 3＋2x 2
－mx －1在R 上是减函数，则p 是
q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x
＋m (m 为常数)， 则f (－log 35)的值为(
)
A ．4
B ．－4
C ．6
D ．－6
9. 积分
232
1
(cos )22
x x dx -+⎰
=（ ）
A ．2 B. -2 C. 4 D. 8
10. 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象 如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，
则f (x 1＋x 2)＝( )
A.12
B.32
C.22 D ．1
11. 已知1
()||1
f x x =
-，若()()g x f x ax =-有两个零点，则a 的取值范围是（ ）
A. R
B. [4,4]-
C. (,4][4,)-∞-⋃+∞
D. {4,4}- 12. 已知函数()2sin(2)6f x x π
=+
，方程1
()3
f x =-在区间[0,]π上有两个不同的实数解12,x x ，则12cos()x x -=（ ）
A ．13 B. 13- C. 16 D. 16
-
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13. 已知1
sin cos 2
αβ+=
，cos sin 2αβ+=，则sin()a β+=________
14. 已知(cos )cos2f x x =，则0
(tan 30)f =__________
15. 如图，在边长为2的正方形ABCD 上， E 为边AB 的中点，M 点在边BC 上移动， 当AME ∠最大时，CM 的长度为_____
16.设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是_______________
三、解答题(本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其他各题12分) 17. 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)．
(1)若//a b ，若已知x ∈[0，π]，求x 的值；
(2)记f (x )＝a b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 取值集合．
M
18. 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
(1)求a 与b 的夹角θ；若AB →＝a ，AC →
＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积； (2)求|a ＋b |和|a －b |
19. 在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
sin 510
A B =
=
（1）求A B +的值；（2）若1a b -=，求a b c 、、的值。

20. 已知锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，向量(2sin m B =，
2
(2cos 1,cos 2)2
B
n B =-，且m n ⊥ （1）求角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的周长l 的范围。

21. 已知曲线1C ：4cos ()2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，直线2cos :()1sin x t l t y t α
α=+⎧⎨=+⎩
为参数
（1）求曲线1C 的普通方程和当=
4
πα时直线l 的普通方程；
（2）已知直线l 交曲线1C 于点A ，B ，如果(2,1)M 恰好为线段AB 的中点，
求直线l 的方程。

22. 已知函数()ln(1)f x ax x =+-，其中a 为常数。

（1）当1a =-时，求()f x 的极值； （2）讨论()f x 的单调区间； （3）当11a e =
-时，存在x 使得不等式2ln |()|12e x bx f x e x
+-≤-成立， 求b 的取值范围。

高三(理科)数学答案
1. B
2. D
3. D
4. C
5.A
6.D
7. A
8. B
9. A 10. B 11. D 12. C
13. 12-
14. 13-15. 216. 3
[,1)2e
17. (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，
所以－3cos x ＝3sin x .
若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2
x ＋cos 2
x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－
33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π
6
. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
当5{|2,}6
x x x k k Z π
π∈=+∈时，f (x )最大值为
当{|2,}6
x x x k k Z π
π∈=-
∈时，f (x )最小值为-。

18. 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
得4|a |2
－4a ·b －3|b |2
＝61.
∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝
a ·
b |a |·|b |＝－64×3＝－1
2
.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
∠BAC ＝θ＝120°，
|AB →|＝|a |＝4，|AC →
|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →
|·sin∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3.
(2)|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a ·b ＋|b |2
＝ 42
＋2×(－6)＋32
＝13，
∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2
－2a ·b ＋b 2
＝37.
19.（I ）∵A B 、为锐角，sin 510
A B =
=
∴ cos A B ==
==
cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=
= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π+=
（II ）由（I ）知34
C π
=，∴ sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==
得
==，即,a c ==
又∵ 1a b -=
1b -= ∴ 1b =
∴ a c =
=
20.（1）2sin cos 20m n B B B ==得sin 22B B = 若cos20B =，得4
B π
=
不满足方程，则cos20B ≠
则tan 2B =2(0,)B π∈，则223B π=，所以3
B π= （2）由正弦定理得：
sin sin sin a c b A C B === 2sin()
3a c A C A A π+=
+=+-
2cos 4sin()6
A A A π
=+=+，
由于20,02
32A C A π
ππ<<
<=
-<，得(,)62
A ππ
∈ 则4sin(),(,)662a c A A π
ππ+=+
∈得2(,)633
A πππ+∈
则sin()6
A π
+
∈，故4]a c +∈
所以ABC ∆
周长范围为2,6]a b c ++∈
21.（1）曲线22
1:
1164
x y C +=；直线:10l x y --= （2）法1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：
22111164x y +=，22221164x y +=两式相减得：12121212()()()()164
x x x x y y y y -+-+=- 由于12124,2x x y y +=+=，可得：121212y y k x x -==--，故直线l 方程为：1
22
y x =-+
法2）参见选修4—4课本 第37页例2
22.（1）()ln(1)f x x x =-+-，其中(1,)x ∈+∞得：12()111
x
f x x x -'=-+=
-- 当(1,2)x ∈时，()0f x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '<
所以()f x 在(1,2)递增，在(2,)+∞递减。

()f x 的极大值为(2)2f =-，无极小值。

（2）由已知函数的()f x 的定义域为(1,)+∞
11
()11
ax a f x a x x -+'=+
=
-- 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞单调递增；
当0a <时， 令()0f x '>，得：1
(1,1)x a ∈-；令()0f x '<，得：1
(1,)x a
∈-+∞ 则()f x 在1(1,1)a -单调递增，在1
(1,)a
-+∞单调递减。

（3）由（2）可知：当1
1a e
=
-时，()f x 在(1,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减 当x e =时，()f x 取得最大值()ln(1)01e
f e e e
=+-<-，所以()0f x <
所以()|()|1
e
x f x e ϕ=--在(1,)e 单调递减，在(,)e +∞单调递增；
()x ϕ的最小值为()ln(1)e e ϕ=--
函数2ln ln ()22x bx x b g x x x +=
=+求导可得：2
1ln ()x
g x x -'=
当()0g x '>时，得：(0,)x e ∈；当()0g x '<时，得：(,)x e ∈+∞ 所以2ln ()2x bx
g x x
+=
在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减
()
g x的最大值为
1 ()
2
b g e
e
=+
所以要存在x使得不等式
2ln
|()|
12
e x bx
f x
e x
+
-≤
-
成立
即需：
1
()()ln(1)
2
b
g e e e
e
ϕ
=+≥=--得：
2
2ln(1)
b e
e
≥---。