八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题(Word版 含答案)

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，AB //CD ，AD ⊥AC ，∠BAD ＝35°，则∠ACD ＝（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．70°
2．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125°，则∠DBC 的度数为（ ）
A ．125°
B ．75°
C ．65°
D ．55° 3．如图，直线AD ，B
E 被直线B
F 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是
（ ）
A ．∠4，∠2
B ．∠2，∠6
C ．∠5，∠4
D ．∠2，∠4 4．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数
为（ ）
A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
5．如图，AB ∥CD ，∠B ＝20°，∠D ＝40°，则∠BED 为（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．60°
D ．40°
6．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于（ ）．
A ．26°
B ．52°
C ．54°
D ．77°
7．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A ．540°
B ．180°n
C ．180°(n-1)
D ．180°(n+1)
8．两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A ．一对邻补角的平分线互相垂直
B ．一对同位角的平分线互相平行
C ．一对内错角的平分线互相平行
D ．一对同旁内角的平分线互相平行
9．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，DE 交AB 于E ，若AB ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．BD ⊥AC
B ．∠A ＝∠EDA
C ．2A
D ＝BC D ．B
E ＝ED
10．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，∠B ＝90°，AB ＝8，DH ＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．25
D ．26
11．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，△ABC 经平移得到△EFB ，则下列说法正确的有 （ ）
①线段AC的对应线段是线段EB；
②点C的对应点是点B；
③AC∥EB；
④平移的距离等于线段BF的长度．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为____________．
14．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.
15．如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____ .
16．如图，已知AB∥CD,∠EAF =1
4
∠EAB,∠ECF=
1
4
∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关
系是_____________________________
17．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠DFB ＝12
∠CGE ；③∠ADC ＝∠GCD ；④CA 平分∠BCG ．其中正确的结论是_______．
18．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.
19．如图，AB ∥CD ，∠1=64°，FG 平分∠EFD ，则∠EGF=__________________°．
20．如图，已知直线//a b ，直线c 与a 、b 相交，且1135∠=︒，则2∠=______．
三、解答题
21．感知与填空:如图①，直线//AB CD ，求证:B D BED ∠+∠=∠.
阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，
解:过点E 作直线//EF CD ,
2D ∴∠=∠（ ）
//AB CD (已知)，//EF CD ,
//AB EF ∴（ ）
1B ∴∠=∠（ ） 12BED ∠+∠=∠,
B D BED ∴∠+∠=∠（ ）
应用与拓展:如图②，直线//AB CD ，若22,35,25B G D ∠=︒∠=∠=︒.
则E F ∠+∠= 度
方法与实践:如图③，直线//AB CD ，若60,80E B F ∠=∠=︒∠=︒,则D ∠= 度.
22．为了探究n 条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:
①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分;
③三条直线可把平面最多分成7部分;
④四条直线可把平面最多分成11部分;
……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
直线条数
把平面最多 分成的部分数 写成和的形式 1
2 1+1 2
4 1+1+2 3
7 1+1+2+3 4
11 1+1+2+3+4 … … …
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;
(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;
(3)当直线条数为n 时,把平面最多分成多少部分?
23．（1）问题发现
如图①，直线AB ∥CD ，E 是AB 与AD 之间的一点，连接BE ，CE ，可以发现∠B +∠C ＝∠BEC ．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （ ）
∴∠C ＝∠CEF ．（ ）
∵EF ∥AB ，∴∠B ＝∠BEF （同理），
∴∠B +∠C ＝ （等量代换）
即∠B +∠C ＝∠BEC ．
（2）拓展探究
如果点E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B +∠C ＝360°﹣∠BEC ． （3）解决问题
如图③，AB ∥DC ，∠C ＝120°，∠AEC ＝80°，则∠A ＝ ．（之间写出结论，不用写计算过程）
24．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．
(1)求出∠BEF 的度数；
(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；
(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）
25．已知，90AOB ︒∠=，点C 在射线OA 上，//CD OE ．
（1）如图 1，若120OCD ︒∠=，求∠BOE 的度数；
（2）把“90AOB ︒∠=°”改为“120AOB ︒∠=”，射线OE 沿射线OB 平移，得到O E '，其它条件不变（如 图 2 所示），探究,OCD BO E '∠∠ 的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO OB '⊥，垂足为O ' ，与OCD ∠ 的角平分线CP 交于点P ，若BO E α'∠= ， 用含 α 的式子表示CPO '∠（直接写出答案）．
26．如图1所示，AB ∥CD ，E 为直线CD 下方一点，BF 平分∠ABE ．
（1）求证：∠ABE +∠C ﹣∠E ＝180°．
（2）如图2，EG 平分∠BEC ，过点B 作BH ∥GE ，求∠FBH 与∠C 之间的数量关系． （3）如图3，CN 平分∠ECD ，若BF 的反向延长线和CN 的反向延长线交于点M ，且∠E +∠M ＝130°，请直接写出∠E 的度数．
27．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限． （1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；
（2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；
（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．
28．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边
AE交BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
①求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】
∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【详解】
延长CB ，延长CB ，
∵AD ∥CB,
∴∠1=∠ADE=145︒，
∴∠DBC=180︒−∠1=180︒−125︒=55︒.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
3．B
解析：B
【分析】
同位角：两条直线a ，b 被第三条直线c 所截（或说a ，b 相交c ），在截线c 的同旁，被截两直线a ，b 的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.根据此定义即可得出答案.
【详解】
∵直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义．
4．D
解析：D
【分析】
由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.
【详解】
∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，
∴70DEB ∠=︒
∴270140BEF ︒=∠=⨯︒
∵//EF BC
∴180B BEF ∠+∠=︒
∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选D
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用
5．C
解析：C
【分析】
过点E 作EF ∥AB ，得∠B=∠BEF=20°，结合AB ∥CD 知EF ∥CD ，据此得∠D=∠DEF=40°，根据∠BED=∠BEF+∠DEF 可得答案．
【详解】
解：如图，过点E 作EF ∥AB ，
∴∠B=∠BEF=20°，
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，
∴∠D=∠DEF=40°，
则∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+40°=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和平行与平面内同一直线的两直线平行的性质．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴180FGB GFD ∠+∠=︒，
∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
解析：C
【分析】
根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，
∵1n //AB CB ，
∴121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，
3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……
∴122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，…… ∴123180(1)n n ∠+∠+∠+
+∠=︒⨯-；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 8．D
解析：D
【解析】试题分析：A 、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；
B 、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；
C 、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；
D 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误； 故选：D ．
9．C
解析：C
【解析】
试题分析：BD 是△ABC 的角平分线， AB ＝BC ，则BD 是AC 边上的高及中线，所以∠ABD ＝∠DBC ,BD ⊥AC ，2AD=AC, ∠A ＝∠BCA ；因为DE ∥BC ，所以∠EDA ＝∠BCA, ∠EDB ＝∠DBC ，所以∠A ＝∠EDA, ∠ABD ＝∠EDB ，所以BE ＝ED 。

所以A 、B 、D 正确，C 错误。

10．D
【解析】
由平移的性质知，BE=4，DE=AB=8，可得HE=DE-DH=8-3=5，所以S四边形HDFC=S梯形
ABEH=1
2
（AB+EH）×BE=1
2
（8+5）×4=26．故选D.
11．C
解析：C
【分析】
根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】
解：①两点之间，线段最短，正确．
②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．
④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．
故选C．
【点睛】
本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．D
解析：D
【分析】
根据平移的特点分别判断各选项即可．
【详解】
∵△ABC经平移得到△EFB
∴点A、B、C的对应点分别为E、F、B，②正确
∴BE是AC的对应线段，①正确
∴AC∥EB，③正确
平移距离为对应点连线的长度，即BF的长度，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．
二、填空题
13．68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，
∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意
解析：68°
【分析】
如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有
22
x y GMC
x y E
=+∠
⎧
⎨
=+∠
⎩
①
②
，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为:68°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的能力题．14．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
15．108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，
∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性
解析：108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=1
2 x，
∴∠EDF=x，∠BEF=3
2
x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+1
2
x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
16．4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=18
解析：4∠AFC=3∠AEC
【解析】
【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出
∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=3
4
∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，
故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
17．①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴
解析：①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2
（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，则②
正确；
③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误.
故答案为①②③.
18．130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是
解析：130°或50°
【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
19．【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵
解析：【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=1
2∠EFD=1
2
×64°=32°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠GFD=32°．
故答案为：32．
考点：平行线的性质．
20．45︒
【分析】
先根据邻补角求出∠3的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠2即可．
【详解】
如图，
∵∠1+∠3=180︒
∴∠3=180︒-∠1
∵∠1=135︒
∴∠3=45︒
∵
解析：45︒
【分析】
先根据邻补角求出∠3的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠2即可．
【详解】
如图，
∵∠1+∠3=180︒
∴∠3=180︒-∠1
∵∠1=135︒
∴∠3=45︒
∵a//b
∴∠2=∠3=45︒．
故答案为：45︒
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解此题的关键．
三、解答题
21．两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；82；20
【分析】
感知与填空：根据平行公理及平行线的性质即可填写；
应用与拓展：根据感知与填空的方法添加辅助线即可得到∠E+∠F=∠B+∠G+∠D，即可得到答案；
方法与实践：过点F作平行线，用同样的思路证明即可得到∠D的度数.
【详解】
感知与填空：
两直线平行，内错角相等；
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两直线平行，内错角相等；
等量代换，
应用与拓展：如图，作GM∥AB，
由感知得：∠E=∠B+∠EGM,
∵AB∥CD,GM∥AB,
∴GM∥CD,
∴∠F=∠D+∠FGM,
∴∠E+∠F=∠B+∠D+∠EGF,
∵22,35,25B EGF D ∠=︒∠=∠=︒,
∴∠E+∠F=82︒,
故答案为：82.
方法与实践：如图：作FM ∥AB ，
∴∠MFB+∠B=180︒,
∵60B ∠=︒,
∴∠MFB=180︒-∠B=120︒,
∵80F ∠=︒,
∴∠MFE=40︒,
∵∠E=∠MFE+∠D, 60E ∠=︒,
∴∠D=20︒,
故答案为：20.
【点睛】
此题考查平行公理的运用及平行线的性质定理，解此题的关键是理解感知部分的作线方法，得到的方法的总结，由此才能正确解答后面的问题.
22．(1) 16； (2) 56； (3)(1)12n n +⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
部分 【分析】
（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分； （2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n 条时，把平面最多分成
1+1+2+3+…+n ，求和即可．
【详解】
（1）16;1+1+2+3+4+5.
（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.
（3）当直线条数为n 时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=(1)12n n +⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
部分. 【点睛】
本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．
23．（1）平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ；（2）证明见解析；（3）20°．
【分析】
（1）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E 作//EF AB ，根据平行线的判定得出////AB CD EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
（1）证明：如图①，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C ＝∠CEF ．（两直线平行，内错角相等），
∵EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BEF （同理），
∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠CEF （等量代换）
即∠B +∠C ＝∠BEC ，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF +∠CEF ； （2）证明：如图②，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C +∠CEF ＝180°，∠B +∠BEF ＝180°，
∴∠B +∠C +∠AEC ＝360°，
∴∠B +∠C ＝360°﹣∠BEC ；
（3）解：如图③，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥DC （已知），EF ∥AB （辅助线的作法），
∴EF ∥DC （平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C +∠CEF ＝180°，∠A ＝∠BEF ，
∵∠C ＝120°，∠AEC ＝80°，
∴∠CEF ＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF ＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A ＝∠AEF ＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
24．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【分析】
（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．
【详解】
（1）过点F 作//FN AB ，如图：
∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°
∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒
（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：
由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒
∴35AEF EHL ∠=∠=︒
又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒
∴90EHM x ∠=︒+︒
∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒
∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒
（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：
设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒
设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒
又∵125FGD ∠=︒
∴125PGN y ∠=︒-︒
∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠
【点睛】
本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．
25．(1) 150°；(2) ∠OCD+∠BO'E=240°；(3) 30°+12α．
【分析】
（1）先求出到∠AOE 的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O 点作OF//CD ，根据平行线的判定和性质可得∠OCD 、∠BO'E 的数量关系； （3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答．
【详解】
解：（1）∵CD//OE ，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°；
（2）如图2，过O 点作OF//CD ，
∴CD//OE ，
∴OF ∥OE ，
∴∠AOF=180°-∠OCD ，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E ，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E ）=120°， ∴∠OCD+∠BO'E=240°；
（3）∵CP 是∠OCD 的平分线，
∴∠OCP=12
∠OCD ， ∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-
12∠OCD =150°-12
（240°-∠BO'E ） =30°+1
2
α
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义，确定∠OCD 、∠B0'E 的数量关系是解答本题的关键．
26．（1）见解析；（2）2∠FBH +∠C ＝180°；（3）80°
【分析】
（1）过点E 作//EK AB ，由平行线的性质得出,180ABE BEK CEK C ∠=∠∠+∠=︒，进而得出答案；
（2）设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质得出
,HBE BEG FBH FBE HBE βαβ∠=∠=∠=∠-∠=-，由（1）知
180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒，即可得出答案；
（3）设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知2()180E x y ∠=+-︒，过M 作////PQ AB CD ，由平行线的性质得出
,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，求出130E FMN x y ∠+∠=+=︒，即可得出答案．
【详解】
（1）如图1，过点E 作//EK AB
∴ABE BEK ∠=∠
∵//AB CD
∴//EK CD
∴180CEK C ∠+∠=︒
∴180ABE C E BEC CEK C BEC CEK C ∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； （2）∵BF 、EG 分别平分ABE ∠、BEC ∠
∴,ABF EBF BEG CEG ∠=∠∠=∠
设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=
∵//BH EG
∴HBE BEG β∠=∠=
∴FBH FBE HBE αβ∠=∠-∠=-
由（1）知，180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒
即222()180C C αβαβ+∠-=-+∠=︒
∴2180FBH C ∠+∠=︒；
（3）∵CN 、BF 分别平分ECD ∠、ABE ∠
∴,ABF EBF ECN DCN ∠=∠∠=∠
设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=
由（1）知：180ABE C E ∠+∠-∠=︒
即2()180E x y ∠=+-︒
如图3，过M 作////PQ AB CD
则,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=
∴180180()FMN PMF QMN x y ∠=︒-∠-∠=︒-+
130E FMN ∠+∠=︒
∴2()180180()130x y x y +-︒+︒-+=︒
130x y ∴+=︒
∴2()180213018080E x y ∠=+-︒=⨯︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
27．（1）D （k +2，2）；（2）k ＝2；（3）∠BPD ＝
12∠BCD +12
∠A ，理由详见解析 【分析】
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，由四边形BEFD 的面积可得出答案；
（3）过点P 作PE ∥AB 得出∠PBA ＝∠EPB ，由平移的性质得出AB ∥CD ，由平行线的性质得出PE ∥CD ，则∠EPD ＝∠PDC ，得出∠BPD ＝∠PBA +∠PDC ，由角平分线的性质得出∠PBA ＝
12∠ABC ，∠PDC ＝12
∠ADC ，即可得出结论． 【详解】 解：（1）∵点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），将线段AB 平移至线段CD ， ∴点B 向上平移一个单位，向右平移（k +4）个单位到点D ，
∴D （k +2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），
∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴1
(12)(k4)
2
⨯+⨯+＝
11
1(k2)225
22
⨯⨯++⨯⨯+，
解得：k＝2．
（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，
∴∠BPD ＝
12∠ABC +12∠ADC ＝12∠BCD +12
∠A ． 【点睛】 本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．
28．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，
即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，
∴∠C ＝∠FDE ，
∴AC ∥DE ，
∴∠CAF ＝∠E ，
∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°
∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°
∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；
（2）①∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
又∵50C B ∠∠︒-=，
∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,
由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,
∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．。