2019-2020学年湖南省常德市高三(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合{3A =，4，5，6，7}，{|410B x x =<<，}x N ∈，则(A B =I ) A ．{5，6，7}
B ．{4，5，6，7}
C ．{|47}x x <<
D ．{|710}x x <<
2．（5分）若复数z 满足(1)|3|i z i +=-，则(z = ) A ．2i
B ．2i -
C ．1i -
D ．22i -
3．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且C 经过点(2,3)A ，
则双曲线C 的方程为( ) A ．2
2
1x y -=
B ．22
123x y -=
C ．22
139x y -=
D ．22
144
x y -=
4．（5分）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，117a =，810S S =，则公差(d = ) A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
5．（5分）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元，其4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为( ) A ．1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
34
6．（5分）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为BC 中点，则(AE =u u u r
)
A ．
1122
AB CD +u u u
r u u u r B ．
34
AB AD +u u u
r u u u r C ．
3142
AB AD +u u u
r u u u r D ．
3122
AB AD +u u u
r u u u r 7．（5分）若将函数()3cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小正值是( ) A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π
8．（5分）函数2()|1|
x x
e e
f x ln x +-+=+的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（5分）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积1
2
=
（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB 等于23O ，若用上述弧田231
+，则(AOB ∠= ) A ．
4
π
B ．
3
π C ．2
π
D ．
23
π 10．（5分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若l α⊂，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ； ②若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l α⊂；
③若l α⊂，m α⊂/，l ，m 是异面直线，那么m 与α一定相交； ④若m αβ=I ，//l α，//l β，则//l m ． 其中所有正确命题的编号是( ) A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．②④
11．（5分）已知3x >，且357log log log x y z ==，则下列不等式关系中正确的是( ) A ．
357
x y z
<< B ．
753z y x
<< C ．
735z x y
<< D ．
537y x z
<< 12．（5分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，以A 点为圆心，
AF 长为半径的圆与椭圆C 相交于点M ，||2||AM MF =，则椭圆C 的离心率为( )
A ．
2
7
B ．
37
C ．
47
D ．
57
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）若实数x ，y 满足约束条件30020x y x x y +-⎧⎪
⎨⎪-+⎩
„…„，则3z x y =+的最大值为 ． 14．（5分）曲线sin 1(1)y x x ln x =+++在0x =处的切线方程为 ．
15．（5分）某圆柱的高为2，体积为2π，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
16．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1
cos()cos 2
A C
B -=+， （1）则B = ．
（2）若延长BA 至D 使得4BD =，当ACD ∆
a = ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（12分）由国家统计局提供的数据可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入y （单位：万元）的数据如表：
x
人均可支
配收入y
1.65 1.83
2.01 2.19 2.38 2.59 2.82（1）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01)
（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2019年中国居民人均可支配收入．
附注：参考数据：
7
1
15.47
i
i
y
=
=
∑，7
1
67.28
i i
i
x y
=
=
∑．
参考公式：回归直线方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
22
1
ˆˆ
ˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b a y bx
x nx
=
=
-
==-
-
∑
∑
．
18．（12分）设数列{}
n
a的前n项和为
n
S，已知
2
4
a=，
1
31
n n
a S
+
=+，*
n N
∈．
（1）求{}
n
a通项公式；
（2）求{1}
n
a n
+-的前n项和
n
T．
19．（12分）如图，在三角形ABC中，90
ABC
∠=︒，2
AB BC
==，平面ABC与半圆弧¶BC 所在的平面垂直，点M为半圆弧上异于B、C的动点，N为AM的中点．
（1）求证：CM BN
⊥；
（2）求三棱锥M BCN
-体积的最大值．
20．（12分）已知抛物线2
:2(0)
C x py p
=>，P、Q是C上两点，且两点横坐标之和为4，直线PQ的斜率为2．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设M 是曲线C 上一点，曲线C 在M 点处的切线与直线PQ 平行，且25PM QM =-u u u u r u u u u r
g
，求直线PQ 的方程．
21．（12分）已知函数2()f x alnx x =-． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）求证：当0a >时，2()(sin )f x a x x ax --„．
请考生在第22，23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2(x a t
t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212
3sin ρθ
=+．
（1）若2a =，求曲线C 与l 的交点坐标；
（2）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，且||PA 的最大值为求a 的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =-++． （1）当1a =，2b =时，求不等式()5f x …的解集； （2）当()f x 的最小值为4时，证明：22112b a
a b a b
+++…．
2019-2020学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合{3A =，4，5，6，7}，{|410B x x =<<，}x N ∈，则(A B =I ) A ．{5，6，7}
B ．{4，5，6，7}
C ．{|47}x x <<
D ．{|710}x x <<
【解答】解：集合{3A =，4，5，6，7}，{|410B x x =<<，}{5x N ∈=，6，7，8，9}， 则{5A B =I ，6，7}， 故选：A ．
2．（5分）若复数z 满足(1)||i z i +=，则(z = )
A
B ．
C ．1i -
D
【解答】解：由(1)||2i z i +==， 得22(1)
11(1)(1)
i z i i i i -=
==-++-， 故选：C ．
3．（5分）双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且C 经过点A ，
则双曲线C 的方程为( ) A ．2
2
1x y -=
B ．22
123x y -=
C ．22
139x y -=
D ．22
144
x y -=
【解答】解：由双曲线C 的一条渐近线方程为y x =，则双曲线为等轴双曲线，即a b =，
双曲线222:C x b a -=，将A ，代入双曲线，解得1a =， 所以双曲线的标准方程221x y -=， 故选：A ．
4．（5分）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，117a =，810S S =，则公差(d = ) A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4
【解答】解：因为117a =，810S S =， 所以9100a a +=，
即217170
d
⨯+=，
解可得2
d=-．
故选：B．
5．（5分）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元，其4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为()
A．1
3
B
．
1
2
C．
2
3
D．
3
4
【解答】解：所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元，共4份，
供甲、乙等4人抢，每人只能抢一次，
基本事件总数2
4
6
n==
ð，
其中金额之和不低于8有的可能情况有：
(4.75,3.5)，(5.37,3.5)，(4.75,5.37)共有3种，
∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率
31
62
P==；
故选：B．
6．（5分）如图，梯形ABCD中，//
AB CD，2
AB CD
=，E为BC中点，则(
AE=
u u u r
) A．
11
22
AB CD
+
u u u r u u u r
B．
3
4
AB AD
+
u u u r u u u r
C．
31
42
AB AD
+
u u u r u u u r
D．
31
22
AB AD
+
u u u r u u u r 【解答】解：如图，梯形ABCD中，//
AB CD，2
AB CD
=，E为BC中点，
∴
1
31
2
22242
AD AB AB
AC AB AD DC AB
AE AB AD
++
+++
====+
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r
，
故选：C．
7．（5分）若将函数()3cos
f x x x
=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小正值是()
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【解答】解：()3sin cos 2sin()6f x x x x π
=+=+的图象向右平移ϕ个单位可得
()2sin()6
g x x π
ϕ=+
-，
因为所得()g x 图象关于原点对称，即()g x 为奇函数， 根据奇函数的性质可知，(0)sin()06g π
ϕ=-=，
故
6
k π
ϕπ-=，k Z ∈，
则ϕ的最小正值6
π． 故选：A ．
8．（5分）函数2()|1|
x x
e e
f x ln x +-+=+的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：定义域为：{|x x R ∈，0}x ≠．排除A ． 函数()f x 为非奇非偶函数，排除B ． x →+∞时，()f x →+∞，排除C ．
故选：D ．
9．（5分）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积1
2
=
（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB 等于23O ，若用上述弧田231
+，则(AOB ∠= ) A ．
4
π
B ．
3
π C ．2
π
D ．
23
π 【解答】解：如图，由题意可得：23AB = 弧田面积12S =
（弦⨯矢+矢21
)(232
=⨯矢+矢2231)+=．
解得矢1=，或矢123=-（舍)， 设半径为r ，圆心到弧田弦的距离为d ， 则22
1
3r d r d -=⎧⎨=+⎩
，解得1d =，2r =， 1cos 2d AOD r ∴∠==，可得3
AOD π
∠=， 23
AOB π∴∠=
． 故选：D ．
10．（5分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若l α⊂，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ； ②若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l α⊂；
③若l α⊂，m α⊂/，l ，m 是异面直线，那么m 与α一定相交； ④若m αβ=I ，//l α，//l β，则//l m ． 其中所有正确命题的编号是( ) A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．②④
【解答】解：对于①，若l α⊂，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ或α、β相交，只有l ，
m 为相交直线，可得//αβ，故①错；
对于②，若l β⊥，αβ⊥，由面面垂直和线面垂直的定义，结合线面的位置关系，可得//l α或l α⊂，故②对；
对于③，若l α⊂，m α⊂/，l ，m 是异面直线，那么m 与α可能平行或相交，故③错； 对于④，//l α，由线面平行的性质定理可得过l 的平面γ与平面α的交线//a l ，
由//l β，由线面平行的性质定理可得过l 的平面θ与平面β的交线//b l ，可得//a b ，由线面平行的判定定理可得//a β，
若m αβ=I ，由线面平行的性质定理可得//l m ．故④对． 故选：D ．
11．（5分）已知3x >，且357log log log x y z ==，则下列不等式关系中正确的是( ) A ．
357
x y z
<< B ．
753z y x
<< C ．
735z x y
<< D ．
537y x z
<< 【解答】解：3x >，设357log log log 1x y z k ===>， 则3k x =，5k y =，7k z =．
55
7575577()575077
k k k y z ∴-=-=-<⨯-=g g ，∴75z y <，同理可得：53y x <，
∴
753z y x
<<， 故选：B ．
12．（5分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，以A 点为圆心，
AF 长为半径的圆与椭圆C 相交于点M ，||2||AM MF =，则椭圆C 的离心率为( )
A ．
2
7
B ．
37
C ．
47
D ．
57
【解答】解：椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，若点M 为曲线C 上
一点， 左焦点(,0)F c '-
且以A 点为圆心，AF 长为半径的圆与椭圆C 相交于点M ，可得||||AM AF a c ==+，|，||2||AM MF =，可得1
||()2
MF a c =+，
所以31||22
a F M c '=-，1
||
12cos ||4MF MFA AF ∠=
=， 所以，22231111()4()22()22424a c c a c c a c -=++-⨯⨯+⨯，解得27340e e +-=，解得4
7
e =，
故选：C ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）若实数x ，y 满足约束条件30
020x y x x y +-⎧⎪
⎨⎪-+⎩
„…„，则3z x y =+的最大值为 4 ． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图： 由3z x y =+，得3y x z =-+，
平移直线3y x z =-+，由图象可知当直线3y x z =-+，经过点A 时， 直线3y x z =-+的截距最大，
此时z 最大．
由3020
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得(A 12，5)2
此时z 的最大值为，15
3422
max z =⨯+=．
故答案为：4．
14．（5分）曲线sin 1(1)y x x ln x =+++在0x =处的切线方程为 10x y -+= ． 【解答】解：由sin 1(1)y x x ln x =+++，得 1
sin cos 1
y x x x x '=++
+， 0|1x y =∴'=，又当0x =时，1y =，
∴曲线sin 1(1)y x x ln x =+++在0x =处的切线方程为1y x =+，
即10x y -+=． 故答案为：10x y -+=．
15．（5分）某圆柱的高为2，体积为2π，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为 8π ．
【解答】解：根据题意，画图如下：
Q 圆柱的高为2，体积为2π，2221r r ππ∴=⨯⇒=g ；
则OA R =，1O A r '==，12
h
OO '=
=， 故在Rt △OO A '中，222OA OO O A ='+' 2R ∴，
)2
244(28S R πππ∴==⋅=球． 故答案为：8π．
16．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1
cos()cos 2
A C
B -=+， （1）则B =
3
π
． （2）若延长BA 至D 使得4BD =，当ACD ∆3a = ． 【解答】解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，则A C B π+=-， 由1cos()cos 2A C B -=+
知1
cos()cos()2
A C A C -++=， ∴1
cos cos sin sin cos cos sin sin 2
A C A C A C A C ++-=
， 1
cos cos 4
A C ∴=
，① 由a ，b ，c 成等比数列知2b ac =，
由正弦定理边化角得：2sin sin sin B A C =，② ①-②得：
21
cos cos sin sin cos()cos 4
sin B A C A C A C B -=-=+=-， ∴21
cos 4
sin B B =
+ 又22sin cos 1B B +=Q ，∴23
cos 04
cos B B +-=， 解得：1cos 2
B =
或3
cos 2B =-（舍去），
∴3
B π
=
；
（2）由（1）中①+②得：
21
cos cos sin sin cos()4
sin B A C A C A C +=+=-， 213
cos()(14A C ∴-=
+=， A C ∴=，
故ABC ∆为正三角形，如图所示： ，
则a b c ==，3
A π
=
，
则
1
sin
2
ACD
S AC AD DAC ∆
=⨯⨯⨯∠
13
2
AC AD
=⨯⨯⨯
3
(4)
a a
=-
2
3
3
a a
=-+，
∴当
3
2
3
2()
a=-=
-
时，
ACD
S
∆
取最大值，最大值为3，
故答案为：
3
π
，2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（12分）由国家统计局提供的数据可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入y（单位：万元）的数据如表：
年份2012201320142015201620172018
年份代号
x
1234567
人均可支
配收入y
1.65 1.83
2.01 2.19 2.38 2.59 2.82（1）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01)
（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2019年中国居民人均可支配收入．
附注：参考数据：
7
1
15.47
i
i
y
=
=
∑，7
1
67.28
i i
i
x y
=
=
∑．
参考公式：回归直线方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y
nxy b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑． 【解答】解：（1）由题可知：123456747x ++++++=
=，15.47
2.217
y ==；
7
1
7
22
1
67.2874 2.21 5.4
ˆ0.1914071628
i i
i i
i x y
nxy
b
x
nx ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑，
ˆˆ 2.210.194 1.45a
y bx =-=-⨯=． 故所求线性回归方程为ˆ0.19 1.45y
x =+； （2）由（1）中的回归方程的斜率0.190k =>可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入逐年增加．
令8x =得：ˆ0.198 1.45 2.97y
=⨯+=， ∴预测2019年中国居民人均可支配收入为2.97万元．
18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24a =，131n n a S +=+，*n N ∈． （1）求{}n a 通项公式；
（2）求{1}n a n +-的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）Q *131,n n a S n N +=+∈， 21131314a S a ∴=+=+=， 11a ∴=，
1131,131,2n n n
n a S n a S n +-=+⎧⎨
=+⎩……， 则：1113()34n n n n n n n a a S S a a a +-+-=-=⇒=，2n …
． 从而知21244,2n n n a a n --==g …
， 又当1n =时，11a =也符合，故1*4,n n a n N -=∈； （2）Q 1141n n a n n -+-=+-，
2
1
1241(1)
1211444
123132
n n n n n n T a a a n n ---∴=++⋯++++⋯+-=+++⋯+++++⋯+-=+
．
19．（12分）如图，在三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，平面ABC 与半圆弧¶BC
所在的平面垂直，点M 为半圆弧上异于B 、C 的动点，N 为AM 的中点． （1）求证：CM BN ⊥；
（2）求三棱锥M BCN -体积的最大值．
【解答】解：（1）证明：因为平面ABC 与半圆所在的平面垂直，交线为BC ， 又90ABC ∠=︒，即AB BC ⊥，所以AB 垂直于半圆所在平面， 而CM 在半圆平面内，故CM AB ⊥，
又BC 为直径，点M 为半圆弧上一点，故CM BM ⊥， 且AB BM B =I ，因此CM ⊥平面ABM ， 又BN ⊂平面ABM ，所以CM BN ⊥； （2）由题意知，点N 为AM 的中点，
所以点N 到半圆面的距离是点A 到半圆面距离的一半，
因此111111
223626
M BCN A BCM BCM V V S AB BM CM AB BM CM --∆====g g g g g g ，
而BM CM BC h =g g （其中h 为点M 到BC 的距离），当点M 为BC 半圆弧的中点时，h 最大，且最大值为1，
因此BM CM g 的最大值为2，
故三棱锥M BCN -体积的最大值为1
3
．
20．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，P 、Q 是C 上两点，且两点横坐标之和为4，直线PQ 的斜率为2． （1）求曲线C 的方程；
（2）设M 是曲线C 上一点，曲线C 在M 点处的切线与直线PQ 平行，且
25PM QM =-u u u u r u u u u r
g ，求直线PQ 的方程．
【解答】解：（1）设直线PQ 方程为：2y x b =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 则2224202x py
x px pb y x b
⎧=⇒--=⎨=+⎩ 则12441x x p p +==⇒=， 所以曲线方程为22x y =；
（2）设0(M x ，0)y ，曲线22
1:22
C x y y x y x '=⇒=
⇒=， 曲线C 在点M 处的切线与直线PQ 平行可得：000|22x x k y x y ='===⇒=，所以(2,2)M ，2224202x y
x x b y x b
⎧=⇒--=⎨
=+⎩， 又△16802b b =+>⇒>-， 124
x x ∴+=，
122x x b
=-，
121212222()282y y x b x b x x b b
+=+++=++=+，
222
221212121122121212121212()(2,2)(2,2)(2)(2)(2)(2)42()42()616224
x x x x y y b PM QM x y x y x x y y x x x x y y y y b b =
===----=--+--=-+++-++=--u u u u r u u u u r g g g
Q
25PM QM =-u u u u r u u u u r g ，26903b b b ∴-+=⇒=，
所以直线PQ 方程为：23y x =+． 21．（12分）已知函数2()f x alnx x =-． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）求证：当0a >时，2()(sin )f x a x x ax --„．
【解答】解：（1）函数2()f x alnx x =-，定义域为(0,)+∞，
所以22()2a a x f x x x x
-'=-=；
当0a „时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞单调递减； 当0a >时，
令()0f x '>，则2
20a x x ->，解得0x <，()f x 在单调递增；
令()0f x '<，则2
20a x x
-<，解得x >
；()f x 在)+∞单调递减； 综上，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递减；
当0a >时，()f x 在单调递增，在)+∞单调递减； （2）要证当0a >时，2()(sin )f x a x x ax --„， 只须证：22()(sin 1)0a lnx x x x x +-+-„， 而2(sin 1)0x x -„，因此，只要证：20lnx x x +-„ 设2()g x lnx x x =+-， 则1(1)(21)
()12(0)x x g x x x x x
--+'=
+-=>g 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()g x g „（1）0=，即20lnx x x +-„； 所以当0a >时，2()(sin )f x a x x ax --„．
请考生在第22，23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2(x a t
t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
12
3sin ρθ
=+． （1）若2a =，求曲线C 与l 的交点坐标；
（2）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，且||PA
的最大值为求a 的值．
【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：22143x y +=，
当2a =时，直线l 的普通方程为220x y +-=，
由22
220143x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或1
32x y =-⎧⎪
⎨=⎪⎩， 从而C 与l 的交点坐标为(2,0)，3
(1,)2
-；
（2）l 的普通方程为20x y a +-=，C
的参数方程为2cos (x y α
αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
为参数），
故C 上任一
点(2cos )P αα到l 的距离
为
|4sin()|
a d π
α+-=
=
则0
||24sin()|sin306d PA d a π
α=
=+-， 当0a …
时，||PA
=1a =； 当0a <时，||PA
=1a =-． 综上，1a =或1a =-． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =-++． （1）当1a =，2b =时，求不等式()5f x …的解集； （2）当()f x 的最小值为4时，证明：
22112b a
a b a b
+++…． 【解答】解：（1）当1a =，2b =时，()|1||2|f x x x =-++；
当1x …时，()5f x …即125x x -++…，2x ∴…； 当21x -<<时，()5f x …即125x x -++…，此时无解； 当2x -„时，()5f x …即，125x x ---…
，3x ∴-„；
所以不等式的解集为(-∞，3][2-U ，)+∞；
证明：（2）()||||||f x x a x b x a x b a b =-++---=+Q …， 所以由题可知4a b +=；
∴4a b =+…
04ab <„，当且仅当2a b ==时取等号； ∴
22114
22
b a a b a b +++== 当且仅当2a b ==时取等号．。