1-6函数极限

| 2x 1 | 2 | x | 1 | x |
x1 1 3 1 3 1 3 2x 1 2 2 |2x 1| 2| x | | x |
0 要使 x 1 1
2x 1 2
只须 | x | 1和 | x | 3同时成立

令X max{1, 3} 则当 | x | X时，便有
( x x0 )
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或
x x0 0
(
x

x
0
)
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
定理 : lim x x0Fra bibliotekf (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
y
证 lim x lim x x0 x x0 x lim (1) 1
x 0
1
o
x
1
lim x lim x lim 1 1

x1 1 3 1 2x 1 2 2 |2x 1|
3
|x|
lim x 1 1 n 2 x 1 2
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
的图形的水平渐近线.
二、自变量趋向有限值时函数的极限
先看一个例子 考察x 1时,函数f ( x) 2( x2 1)的变化趋势
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论
若 lim x x0
f
(x)

A,且

0,当x U 0( x0 ,)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
例1
证明
lim x 1 1 x 2x 1 2
证 x1 1 3 1 2x 1 2 2 |2x 1|
x 故不妨设|x|＞1， 而当|x|＞1时
xn

x0
且
xn

x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )

A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
1
lim nsin 1,
n
n
只须 | x 2 |
3
于是 0
( )
3
当0 | x 2 | 时
恒有 | f ( x) 5 |
lim(3x 1) 5 x2
例3
设x0＞0
证明
lim
x x0
x
x0
证|
x
x0 |
| x x0 | x x0
| x x0 | x0
函数极限
关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主 要研究以下两种情况：
一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，
即x 时, f ( x)的极限
二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势
即x x0时, f ( x)的极限
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
定理(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B.
x x0
x x0
若 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x),则A B.
推论 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x).
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
注
①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素： 10。正数ε，20。正数δ，30。不等式
x x x0
x0
x 0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
三、函数极限的性质
1.局部有界性
定理 若在某个过程下, f ( x) 有极限,则存在过 程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x) 有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
3.不等式性质（局部）
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1

1
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
Heine定理，又称归并原则
即
lim
xa
f
(x)

A

xn , xn

a,
xn

a, lim n
f
( xn )

A
证明
设 lim f ( x) A xa
即 0, ,使当0 | x x0 | 时 恒有 | f ( x) A |
只须1 a x 1
又只须log a (1 ) x log a (1 )
令

min{log
1
a 1
,log a (1 )}
当0 | x | 时

log
a
1
1




x


log a (1 )
1 ax 1
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
3.几何解释:
121 1 42
故 x1 2 3| x1| 6| x1|
2x 1
|2x 1|
0
取

min14
,

6

当0 | x 1 | 时,有
x1 2
2x 1
x1
lim
2
x1 2 x 1
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形
x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
2.另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理
若 lim xa
f
(x)

A,数列f
( xn )是f
( x)当x

a
时的一个子列, 则有lim n
f
( xn )

A.
证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
x X 表示x 的过程.
1. 定义 :
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A 就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x1
这个函数虽在x=1处
无定义，但从它的图
y
形上可见，当点从1的
4
左侧或右侧无限地接
近于1时， f(x)的值无
限地接近于4，我们称
常数4为f(x)当x→1 时
o1
x
f(x)的极限。
问题:函数 y f ( x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
| f ( x) A | (0 | x x0 | )
②定义中 0 | x x0 | 表示x x0
所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态
并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近
的变化趋势，即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标，
完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近
考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣 摩一下。
3.单侧极限:
例如,
设
f (x)
1 x,

x
2

1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
y x2 1 x
x从左侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
播放
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时, f ( x) sin x 无限接近于 0.
x 问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无
限接近”. f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x →x0但
x≠x0
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
2.几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
y f (x)
线y A为中心线,


宽为2的带形区域内. o
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim(3x 1) 5 x2
证 | f ( x) 5 | 3 | x 2 |
要使 | f ( x) 5 | 3 | x 2 |
0 x x0 表示x x0的过程.


x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式 0 x x0 的一切x ,对应的函数值 f ( x) 都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数A 就叫函数
即| a x 1 |
lima x 1 x0
例5 证明
lim x 1 2 x1 2 x 1
证 x1 2 3| x1|
2x 1
|2x 1|
不妨设 0 | x 1 | 1 4
| 2x 1 || 1 2( x 1) | 1 2 | x 1 |
为使 | x x0 | ,只须| x x0 | x0
0 取 min{x0, x0 } 当0 | x x0 | 时 恒有
|
x
x0
|
|
x
x0 x0
|


例4 证明 lim a x 1 (a 1) x0
证 0 （不妨设ε＜1）
要使 | a x 1 |
4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),为函数f ( x)
当x a时的子列.