2020年安徽省安庆市阳光高级中学高三数学理测试题含解析

2020年安徽省安庆市阳光高级中学高三数学理测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）
参考答案：
D
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】本题可采用数形结合的方法解答，在同一坐标系内分别作出y1=f（x），y2=﹣x+a 的图象，其中a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a＞1时，直线y2=﹣x+a与
y1=log2x只有一个交点．即关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根
【解答】解：关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象有且只有一个交点，
如图，在同一坐标系内分别作出y1=f（x），y2=﹣x+a的图象，
数形结合可知，当a＞1时，直线y2=﹣x+a与y1=log2x只有一个交点．
即a∈（1，+∞）．
故选 D
2. 如图可能是下列哪个函数的图象（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
逐一考查所给的选项：
A选项中：当时，不合题意；
B选项中：当时，，不合题意；
D选项中：当时，无意义，不合题意；
本题选择C选项.
3. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
，对应的点为位于第二象限，选B.
4. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）
A．3πB．2πC．πD．4π
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为1的正方体一部分，并画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的表面积公式求出该棱锥的外接球的表面积．
【解答】解：根据三视图知几何体是：
三棱锥P﹣ABC为棱长为1的正方体一部分，
直观图如图所示：
则三棱锥P﹣ABC的外接球是此正方体的外接球，
设外接球的半径是R，
由正方体的性质可得，2R=，解得R=，
所以该棱锥的外接球的表面积S=4πR2=3π，
故选A．
5. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，若AB=2，PA=1，则此四棱锥的外接球的体积为（）
A．36πB．16πC．D．
参考答案：
C
【考点】球内接多面体．
【分析】把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD 的外接球的直径2R．利用勾股定理得出R，即可得出此四棱锥的外接球的体积．
【解答】解：把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．
∴（2R）2=22+22+12=9，
∴R=，
∴此四棱锥的外接球的体积为=．
故选：C．
6. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 7
参考答案：
C
考点:程序框图．
专题:算法和程序框图．
分析:由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；
当i=2时，S=1+2﹣1=2；
当i=3时，S=2+3﹣1=4；
当i=4时，退出循环，输出S=4；
故选C．
点评:本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
7. 阅读下边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出的值为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
试题分析：由于,所以输出,此时,因此应选B．
考点：算法流程图的识读和理解．
8. 命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立
即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C
9. 已知向量=（1，m），=（0，﹣2），且⊥，则m等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
参考答案：
D
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知向量的坐标求出+的坐标，再由（+）⊥列式求得m值．
【解答】解：∵=（1，m），=（0，﹣2），
∴+=（1，m﹣2），
又（+）⊥，∴0×1﹣2（m﹣2）=0，即m=2．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标运算，是基础题．
10. 在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC的形状
（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
参考答案：
D
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案．
【解答】解：∵（a2+b2）（sinAcosB﹣cosAsinB）=（a2﹣b2）（sinAcosB+cosAsinB），∴a2sinAcosB﹣a2cosAsinB+b2sinAcosB﹣b2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinB﹣b2sinAcosB ﹣b2cosAsinB，
整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，
在△ABC中，由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B 或者2A=180°﹣2B，
∴A=B或者A+B=90°．
∴△ABC是等腰三角形或者直角三角形．
故选D．
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知不等式的解集为,不等式的解集为,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________
参考答案：
略
12. 在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．
参考答案：
x﹣y﹣1=0
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．
【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣
联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，
故答案为：x﹣y﹣1=0．
13. 下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________
（1）直线，若，则。

类推出：向量，若则
（2）同一平面内，三条不同的直线，若，则。

类推出：空间中，三条不同的直线，若，则
（3）任意则。

类比出：任意则
（4）、以点为圆心，为半径的圆的方程是。

类推出：以点为球心，为半径的球的方程是
参考答案：
（4）
14. 设直线与圆交于两点,若圆的圆心在线段
上,且圆与圆相切,切点在圆的劣弧上,则圆的半径的最大值
是；
参考答案：
1
15. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=﹣2016，，则S2017= ．参考答案：
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】推导出{}是首项为﹣2016，公差为1的等差数列，由此能求出结果．
【解答】解：∵设等差数列前n项和为S n=An2+Bn，则=An+B，
∴{}成等差数列．
∵a1=﹣2016，，
∴{}是首项为﹣2016，公差为1的等差数列，
∴=﹣2016+2016×1=0，
∴S2017=0．
故答案为：0．
16. 已知正数，，满足，则的最小值为 .
参考答案：
24
17. 若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．
参考答案：
2
【考点】微积分基本定理．
【专题】计算题．
【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a 值；
【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，
∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，
故答案为：2；
【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图,抛物线的焦点到准线的距离与椭圆
的长半轴相等,设椭圆的右顶点为在第一象限的交点为为坐标原点,且的面积为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作直线交于两点,射线分别交于两点.
(I)求证:点在以为直径的圆的内部;
(II)记的面积分别为,问是否存在直线,使得?请说明理由. 参考答案：
(1),得椭圆的长半轴
.代入抛物线求得
椭圆方程为
(2)(I)设直线的方程为:,由得
设
又点在以为直径的圆的内部
(II),直线的斜率为
直线的方程为.由得
,
不存在直线使得
19. 某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A、B、C、D、E五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人.
（I）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数；
（II）已知等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分
（ii）求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列和数学期望.
参考答案：
略
20. （本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1
垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC1∥平面AB1D；
（2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．
参考答案：
（1）证明：由三棱柱ABC﹣A1B1C1可知：BC B1C1，又D是CB延长线上一点，且BD=BC，故BD B1C1，则四边形BDB1C1为平行四边形.故BC1∥DB1．
又平面AB1D
且平面AB1D
故BC1∥平面AB1D.……………………………………………………………………6分
（2）由A点向BC作垂线，垂足记为E点，则AE BC.
又AA1底面ABC，且AA1∥CC1．故CC1底面ABC.
则CC1AE.故点A到平面BB1C1的距离为AE.
又ABC是边长为3的正三角形，故AE=
则=………………………12分
21. 已知椭圆的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证
明：线段OT的长为定值．
参考答案：
22. （本小题满分12分）
2015年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：，
.
（1）现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望.
参考答案：
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．K2 K6
（1）；（2）。

解析：（1）由题意可知，是奇函数，为偶函数，
为非奇非偶函数，……………2分
所以； (4)
分
（2）由题意可知，的所有可能取值为，……………5分
，，
，，………9分
所以的分布列为：
所以. ………12分
【思路点拨】（1）由题意可知，是奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数，由题意可得；（2）可取1，2，3，4，分
别可得其概率，可得的分布列为，进而可得E．。