第九章 信道的纠错编码

随机(suí jī)信道: 错码出现是随机的, 统计独立的. 例如, 高斯白噪声信道, 卫星信道、同轴电缆、光缆信道 等. —纠随机差错码.
突发信道: 错码成串集中出现, 在很短的时间出现大 量错码, 而过后又存在较大的无错码位. 例如, 移动
通信信道、短波信道、带擦伤的光盘等. — 纠突 发差错码.
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9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
➢ 按码元取值分类(fēn lèi)
二元码和多元(duō yuán)(q)码.
➢ 按构造码的数学理论分类
代数码: 建立在近世代数基础上. 线性分组码是代数
码中一类重要的码. 几何码: 数学理论基础是投影几何学. 算术码: 数学理论基础是数论、高等算术. 组合码: 数学理论基础是排列组合和数论.
方法和设备(shèbèi)简单, 无需纠、检错编译系统. 但需 要双向信道, 传输效率↓、实时性差.
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纠错(jiū cuò)方式小结
FEC ARQ HEC IRQ
发
收
可纠正错误的码
发 能够发现错误的码 收
应答信号 发 能够发现和纠正错误的码 收
应答信号
发
信息信号
n 0
1
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 (jiū cuò)
( jiū cuò)
能力 ➢ 分组码纠错(jiū cuò)能力与码最小距离的关系
码距的几何(jǐ hé)意义: 以n = 3的编码为例, a2a1a0
码距是 n 维空间中单位 正多面体顶点之间的
卷积码: 把信息序列以每k个分组, 通过编码器输出长
为n的一个子码, 该子码的n－k个校验元不仅与本子
码的信息元有关, 而且与其前L个子码的信息元有关.
记为(n, k, L)码.
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9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
➢ 按码的数学结构中校验元与信息(xìnxī)元关系分类
收
信息信号
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9.2 纠错码分类(fēn lèi)及基本概念
9.2.1 纠错码分类 9.2.2 纠错码的基本概念
及其纠错 能力 (jiū cuò)
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9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
➢ 根据干扰(gānrǎo)和噪声形式对信道分类
纠删码: 能够纠正被删除了信息的错误的码.
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9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
➢ 按码的结构中对信息序列处理方式(fāngshì)分类
分组码: 把信息序列以每k个码元分组(信息组), 编 码器将每个信息组按一定规律产生r个多余的码元 (校验元), 形成(xíngchéng)一个长为n = k + r 的码字. 记 为(n, k)码.
错能力(nénglì)的纠错码, 接收端收到这些码后, 通过纠 错译码器自动地纠正传输中的错误.
优点是不需要反馈(fǎnkuì)信道; 能进行一个用户对多个 用户的同时通信; 译码实时性较好; 控制电路也比 较简单.
缺点是译码设备较复杂; 编码效率较低.
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9.1.2 反馈(fǎnkuì)重发（ARQ）方
n1
ci
i0
例如, 码字 10110, 码重W = 3.
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 (jiū cuò)
( jiū cuò)
能力 ➢ 错误(cuòwù)图样
设发送码 C (cn c 1 n2 c1c0 ) 接收码 R (rn1rn2 r1r0 )
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 能 (jiū cuò)
( jiū cuò)
力➢ 错误(cuòwù)图样
在二元无记忆(jìyì)信道中,
发生一位随机差错的错误图样个数
n 1
n
二位随机差错的错误图样个数
n 2
发生e位随机差错的错误图样个数
n e
全错的错误图样个数
n n
1
全对的错误图样个数
a1
(0,1,0)
(1,1,0)
汉明距离.
(0,1,1)
(1,1,1)
发送码字000和111, 最小
距离是3, 可以纠正1位码
元的错误, 检测2位码元
的错误.
(0,0,0)
(1,0,0) a2
a0 (0,0,1) (1,0,1)
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 能 (jiū cuò)
接收码组和发送码组之差为 (模2减) R C E (en1en2 e1e0 ) E称为错误图样.
ei
0, 1,
当ri ci 无差错发生 当r i ci 有差错发生
码字、接收序列和错误图样的关系:
RCE C RE
C (010110111), R (001110011)
E C R (杨0晓11萍0电0子01教0案0) 共八十页
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9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
信道编码
分组码
卷积码
线性分组码
非线性分组码
线性卷积码
非线性卷积码
汉明码 循环码
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 (jiū cuò)
( jiū cuò)
能力
➢ 码字 信息 元 (xìnxī) 校验元
成了一门新的技术 — 纠错编码技术.
纠错编码即信道编码，与信源编码一样都是一 种编码，但两者的作用是完全不同的。
信源编码的目的(mùdì)是压缩冗余度，提高信息
的传输速率.
信道编码的目的是提高信息传输(chuán shū)时的抗干 扰能力以增加信息传输的可靠性.
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混合信道: 既存在随机错码, 又存在突发错码, 两 者均不能忽略. — 纠混合差错码.
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9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
➢ 按应用目的(mùdì)分类
检错码: 能发现错误但不能纠正错误的码. 纠错码: 不仅(bùjǐn)能发现错误而且还能纠正错误的 码.
线性码: 校验(xiào yàn)元与信息元之间呈线性关系的码.
非线性码: 校验元与信息元之间呈非线性关系的码.
线性码的理论较成熟, 但非线性码出现许多好码.
➢ 按码是否具有循环性分类
循环码: 分组码中的任一码字的码元循环移位后仍是 这组的码字.
非循环码: 分组码中的任一码字的码元循环移位后
不一定是这组的码字.
实时性也较差.
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9.1.3 混合(hùnhé)纠错（HEC）方 式
ARQ
反馈信道
FEC 编码器
正向信道
FEC 译码器
ARQ
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9.1.3 混合(hùnhé)纠错（HEC）方 式
HEC (Hybrid Error Control) 方式: 前两种方式
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 能 (jiū cuò)
( jiū cuò)
力
➢ 码字的汉明重量(zhòngliàng)
码字中含非零码元的个数称为(chēnɡ wéi)码字的汉
明重量. 记作W(C).
设二元码字
C
, cn1cn2 c1c0
则
W
(C )
线性码: 校验(xiào yàn)元与信息元之间呈线性关系的码.
各码元应满足齐次线性方程:
a11cn1 a12cn2 a1( c n1) 1 a1nc0 0
a
c 21 n1
a22cn2
a2( c n1) 1
a2nc0
0
ar1cn1 ar 2cn2 ar c (n1) 1 arnc0 0
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9.1.4 信息反馈（IRQ）方式(fāngshì)
发端
信息信号 信息信号
收端
IRQ (Information Repeat Request) 方式: 收端把
收到的码全部由反馈信道送回发端, 在发端进行比较,
发现错误后, 把出错的码再次重发, 直到收端正确接 收为止.
9.1 差错控制的基本(jīběn)形式
9.1.1 前向纠错方式(fāngshì) 9.1.2 反馈重发方式 9.1.3 混合纠错方式 9.1.4 信息反馈方式
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9.1.1 前向纠错(jiū cuò)（EFC）方式
信源
FEC 编码
信道
FEC 译码
信宿
FEC (Forward Error Control) 方式: 发端发送有纠
信道编码器将输入信息序列, 每k个信息符号 分成一组(信息组, 2k个), 记为m mk1mk2 m1m0 , 其中mi称为信息元.
编码器将每个信息组按一定规律产生r个多 余的符号(校验元), 形成一个长为n = k + r 的码 字. 码字中每个符号 ci称为码元.
不同的n长的码符号序列总共有 2n种, (n, k)分 组码的 2k个称为许用码字, 其余称为禁用码字.
( jiū cuò)
力
➢ 分组码的码率
R log M (比特/ 码符号) n
(n, k)分组码的许用码组数为M = 2k,
log 2k k
R
(比特 / 码符号)
nn
R称作信道(xìn dào)信息传输率, 也称作码率. 它表
示了信息位在分组码码字中的比重.
一个好的实际纠错编码方案, 不但(bùdàn)希望其纠 错检错能力强, 而且希望其码率高.
式
信源
编码器
正向信道
译码器
信宿
缓存器
重发控制器 反向信道 重发判决器
ARQ (Automatic Repeat reQuest) 方式: 发端发出
能够发现错误的检错码, 收端译码器收到后, 判断在 传输中有无错误产生, 并通过反馈信道把检测结 果告诉发端. 发端把收端认为有错的消息再次传送
(chuán , sònɡ) 直到收端认为正确接收为止.
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9.1.2 反馈(fǎnkuì)重发（ARБайду номын сангаас）方 式
优点是译码设备(shèbèi)简单, 在冗余度一定的情况 下, 码的检错能力比纠错能力要高得多, 因而整个 系统能获得极低的误码率.
应用ARQ方式必须有一条从收端至发端(fāduān)的反馈
信道. 其控制电路比较复杂, 传输信息的连贯性和
各码元应满足(mǎnzú)齐次线性方程:
a11cn1 a12cn2 a1( c n1) 1 a1nc0 0
a
c 21 n1
a22cn2
a2( c n1) 1
a2nc0
0
ar1cn1 ar 2cn2 ar c (n1) 1 arnc0 0
的结合. 发端发送的码既能检错、又有一定的纠错
能力 . (nénglì) 收端译码时若发现错误个数在码的纠错
能力以内, 则自动进行纠错; 若错误个数超过了 码的纠错能力, 但能检测出来, 则通过反馈信道 告知发方重发.
这种方式在一定程度上避免了 FEC方式译码设 备复杂和 ARQ方式信息连贯性差的缺点.
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9.3 线性分组码
9.3.1 一致(yīzhì)校验矩阵和生成矩阵 9.3.2 伴随式及标准阵列译码 9.3.3 汉明码
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9.3.1 一致校验矩阵(jǔ zhèn)和生成矩阵
( jǔ
➢
zh一èn)致校验方程
分组码: 把信息(xìnxī)序列以每k个码元分组(信息组), 编码器将 每个信息组按一定规律产生r个多余的码元(校验元), 形成 一个长为n = k + r 的码字. 记为(n, k)码.
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ci [0, 1] aij [0, 1]
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9.3.1 一致校验矩阵(jǔ 和生成矩 zhèn)
阵一致校验 方程 ➢ (jǔ zhèn)
(xiào yàn)
共r个方程, k个独立变量 — k个独立的信息元, r个校验元可由此方程给出.
例 某(7,3)线性分组码,k = 3,r = 4,决定校验元的 齐次线性方程组如下
第九章 信道的纠错 编码 (jiū cuò)
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第九章 信道 的纠错编码 (xìn dào)
9.1 差错控制的基本形式(xíngshì)
9.2 纠错码分类及基本概念
9.3 线性分组码
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香农第二定理指出, 当信息传输速率低于信道容 量时, 通过某种编译码方法, 就能使错误概率为 任意小. 目前已有许多(xǔduō)有效的编译码方法, 并形