高二数学暑假教案及答案-数列求通项

高二数学暑假教案及答案-
数列求通项
【教学目标】掌握数列求通项的几种方法；
【教学重点】掌握数列求通项的几种方法
【教学方法】讲练结合
【教学过程】
1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨
⎧-=-11n n n S S S a )
2()1(≥=n n
例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
练习：
1．若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。

2．若数列}{n a 的前n 项和32
3-=
n n a S ，求该数列的通项公式。

3．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例1。

、已知数列｛a n ｝满足)2(3
,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2
13-=n n a
例2、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
例3、已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

3.形如
)(1n f a a n
n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.
例1、在数列}{n a 中111,1-+=
=n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

练习：
1．在数列}{n a 中1111,1-+-=
=n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

2．求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a
n n 的通项公式。

4.形如s
ra pa a n n n +=--11型（取倒数法） 例1、已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=
--n a a a n n n ，求通项公式n a
练习：1．若数列}{n a 中，11=a ,1
31+=
+n n n a a a ,求通项公式n a 。

2．若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a 。

5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;
（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设)(1A a c A a n n +=+
+,利用待定系数法求出A
例1、已知数列}{n a 中，,2
121,211+==+n n a a a 求通项n a .
练习：1．若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。

2．若数列}{n a 中，11=a ,13
21+=+n n a a ,求通项公式n a 。

6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）
(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例1、在数列{}n a 中，2
31=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .
练习：1．已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a
(2)若n
q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以1+n q . 即： q q a q p q
a n n n n 111+⋅=
++, 令n n n q
a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解， 例1、 在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a
练习：
1．已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )2
1(21+=-，求通项公式n a 。

2．已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。

7.形如11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型
（1）当p+q=1时 用转化法
例1、数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .
（2）当042
≥+q p 时 用待定系数法.
例2、 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a .
练习：1．若数列}{n a 中，21=a ,32=a ，n n n a a a 2312-=++，求通项公式n a
2．若数列}{n a 中，51=a ,22=a ，2132--+=n n n a a a )2(≥n ，求通项公式n a 教案答案
例1： 巩固练习：（1）；（2）11 提高练习：7或8 2112
n n +-211223n
n n ++
-⋅
例2： 巩固练习：120 例3： 巩固练习： 提高练习：（1）3，-3；；（2） 例4：（1）略；（2）
巩固练习：（1）1；（2） 课堂测试：
1. C ；
2. C ；
3. D ；
4.（1）略；（2） 课后作业：
1.；
； 3.153； 4.32； 5.； 6.； 7.125； 8. 9.（1）；（2） 10.；
11.（1）；（2） 12.
第7课时数列求通项
1、例1、⎪⎩⎪⎨⎧+--=72121222n n n n T n )7()6(≥≤n n ；变式、⎪⎩⎪⎨⎧+--=72
121222n n n n T n )7()6(≥≤n n 31
n n +()()()21211212111n n n n x S x n x n x x x +⎧=⎪=+-++-⎨≠⎪-⎩
()()111222
n n n n ++-+-132n n a -=⋅4412133232n n
n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2231732231724322
n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩32
n n S +-=3
n 121n +193942332n n +-2603
31452n n a n n -=⎧=⎨
-≥⎩12n n a -=268n n +21115211
6n n n a n n -+≤≤⎧=⎨-≥⎩22101510506
n n n n H n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩8918S S ==
练习1、⎩⎨⎧=-122n n a )
2()1(≥=n n 2、n n a 32⨯= 3、2231-⨯=-n n a 2、例1、略；例2、12+-n n ；例3、n
a n 14-= 3、例1、1
2+=n a n 练习1、)1(2+=
n n a n ；2、1
432-=n a n 4、例1、 .3422
322)1(111-=
∴-=⋅-+=∴n a n n a a n n 练习1、231-=n a n ；2、1
21-=n a n 5、例1、1)21
(1+=-n n a
练习1、121+=-n n a ；2、1)32
(23-⨯-=n n a
6、（1）例1、96)2
1(9-+⋅=n a n n ；
练习1、n a n n 2351-⨯=- （2）例1、n n n n a 351253)1(1⋅+⋅-=- 练习1、12
1++=n n n a ；2、n n n a 23371⋅-⋅=- 7、例1、n n a 311-=；例2、n n n a 23-=
练习1、121+=-n n a ；2、]13)1(37[4
111⨯-+⨯=--n n n a。