中学数学 全等三角形 练习题(含答案)

解法三：如图，作 CG AG 的平分线 CF 交 AM 于 F ，
C
A
则 ACF MCF 45 ，即 ACF CBD 45 ． ∵ AC BC ， CD AM ， ∴ CAF CMF BCD CMF 90 ．∴ BM 1 ．
AC 2 又 B CAD ，∴ ACF ≌ CBD ．∴ CF BD ． 又 CM BM ，MCF MBD ． ∴ CFM ≌ BDM ．∴ FMC DMB ． 解法四：如图，过 D 作 DG CB ．
然成立，请你说明理由．
F
E
C
C
E G
F
G
H
A
M
D
N
B
A
MD
NB
图1
图2
【答案】⑴ ∵ A 30，ACB 90 ， D 是 AB 的中点，∴ BC BD ， B 60
∴△BCD 是等边三角形．
又∵ CN DB ，∴ DN 1 DB ， 2
∵ EDF 90 ， BCD 是等边三角形． ∴ ADG 30 ，而 A 30 ，∴ GA GD ．
M
F
D
B
C
M G
A
∵ B 45 ， ∴ DG BG ． ∵ DCG AMC FAC AMC 90 ， ∴ DCG FAC ． ∴ DCG ∽ MAC ． ∴ DG∶CG CM∶AC 1∶2 ，则 BG∶CG 1∶2 ． ∵ DG ∥ AC ， ∴ BD∶AD 1∶2 ，而 BM∶AC 1∶2 ， B CAD ． ∴ BMD ∽ ACD ， ∴ BMD ACD ． 而 ACD AMC ，
A
D E
B
F
C
【答案】过 C 作 CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点； 易证 ABD≌AHC ， HC AD ；进而证明 FHC≌FDC ，得到 HC CD ，则 D 为 AC 中点．
AD 2 而 BM 1 ， B CAD ．
AC 2 ∴ BMD ∽ ACD ，∴ BMD ACD ． 而 AMC ACF ，∴ BMD AMC ．
解法六：如图，过 A 作 AH AM ，与 BC 的延长交于 H ．
H
∵ 1 2 90 ， 1 AMC 90 ， ∴ 2 AMC ， ∴ RtAHC ∽ RtMAC ，∴ HC BE 和 BCF 中
B
E
C
AB BC ABE BCF BE CF
∴ ABE ≌ BCF ∴ BAE CBF
∵ BAE AEB 90 ∴ CBF AEB 90 ∴ AE BF
8.
E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ，GE EF ．求
6
D
B
∴ AMC BMD ． 解法五：如图，延长 CB 到 E ，使 BE BC ．连接 AE ，延长 CD 交 AE 于 G ，则 AC BC BE ，
C
M F
B
A
D
G
E
∴ AM CE 2 ． CM AC 1
∴ RtACM ∽ RtECA ．∴ CAM E ． ∵ CAM ACF 90 ， GCE ACF 90 ， ∴ CAM GCE ．即 GCE E ．∴ CG GE ． ∵ CAE E 90 ， ACG GCE 90 ， ∴ CAE ACG ，∴ CG AG ，从而 AG GE ． 又∵ BC BE ，所以 D 为 AEC 的重心，∴ BD 1 ．
1.
已知：如图， AB ∥ DE ， AC ∥ DF ， BE CF ． 求证： AB DE ．
A
D
【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ B DEF ∵ AC ∥ DF ，∴ F ACB ∵ BE CF ，∴ BE EC CF EC 即 BC EF ∴ ABC ≌ DEF ，∴ AB DE ．
4.
在正方形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 边上的点，且
EG FH ，求证： EG FH ．
AH
D
A H ND
G
G
E
E
M
B
FC
B
FC
【答案】过点 E 作 EM CD ，过点 F 作 FN AD ，垂足分别为 M 、 N ． 由 EM CD ， FN AD ， EG FH ，易得 MEG NFH 因为 EM BC ， BC CD ， CD NF ，所以 EM NF 故 EMG ≌ NFH ，所以 EG FH ．
5
C
3 1M
F
2
4
A
ED
B
∴ AE CE BE ． 又 3 CDE 4 CDE 90 ．
∴ 3 4 ，∴ RtDCE RtFAE ，∴ AM CE 2 ，∴ EDF 45 B ，故 CM AC 1
DF ∥ BC ． 又 E 、 M 为 AB 、 BC 的中点，∴连接 EM ，则 EM ∥ AC ． ∴ AC BC ，∴ EM BC ，故 EM DF ． ∴ EM 为 DF 的中垂线．∴ FME DME ． 而 FME 1 DME 2 90 ，∴ 1 2 ．
C
M E
A
∵ CAM CMA 90 ， ECD CMA 90 ， ∴ CAM ECD ， ∴ RtCAM ∽ RtECD ，
∴ DE MC 1 ． CE AC 2
∵ B 45 ， DEB 90 ，∴ DE BE ，∴ BE 1 ． CE 2
设 ME x ，CM BE a ，
AC MC 而 AC BC ，∴ HC 2 ．
BC ∵ HA∥CD ，∴ AD HC 2 ．
BD BC 又∵ AC 2 ， CAD B ，
BM ∴ ADC ∽ BDM ，
7
C
M F
A
D
B
∴ ACD BMD ． 而 AMC ACD ，∴ AMC BMD ． 解法七：如图，过 D 作 DE BM ，垂足为 E ．
A
E
D
F
B
C
【答案】∵ FE EC ，∴ AEF DEC 90 ． ∵ AEF AFE 90 ， ∴ AFE DEC ． 在三角形 AFE 与 DEC 中， FE CE ， A D 90 ， AFE DEC ， ∴ AFE ≌ DEC ． ∴ AE DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD DC 8 ． ∵ AD AE DE ， ∴且 DE 2 ．∴ 2 AE 8 DE ． 即 AE 3 ．
3.
在正方形 ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点 E 、G 、F ，且 EF DG ．求
证： EF DG ．
1
A
D
A
D
E
E
M
F
F
B
GC
B
GC
【答案】过点 C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知 CM EF ．从而证的 BCM ≌ CDG ， 从而有 DG CM ，故 EF DG ．
一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断 EMC 的形状，
并说明理由．
B M
D
【解析】判断 EMC 是等腰直角三角形．理由： 如图，连结 AM ．
4
E
A
C
B M
D
E
∵ DAE 30 ， BAC 60 ，∴ DAB 90 ∵ ADE ≌ BAC ，∴ AD AB 又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM DM BM ∴ ADM MAB 45 ∴ EDM EDA ADM 60 45 105 ∴ MAC MAB BAC 45 60 105 ∴ EDM MAC ∵ ED CA ，∴ EDM ≌ CAM ∴ EM CM ， DME AMC 而 DME EMA 90 ，∴ AMC EMA 90 即 EMC 90 ，∴ EMC 是等腰直角三角形．
证： BG CF BC ．
A
D
G F
【答案】显然， BEG ≌ CFE ，
B
E
C
3
∴ BG CE ， BE CF ∴ BG CF BC
9.
如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE EF 交 AB 于 F 点，若 DE 2 ，矩
形周长为16 ，且 CE EF ，求 AE 的长．
10.
如图，已知 ABC 中，ABC 90，AB BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直
线 l1 ，l2 ，l3 上，且 l1 ，l2 之间的距离为 2 ，l2 ，l3 之间的距离为 3 ，则 AC 的长是______．
A
C l1
l2
【答案】 2 17
B
l3
11.
两个全等的 30 、 60 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、 C 在
A
C
12.
已知等腰直角三角形 ABC ， C 为直角， M 为 BC 的中点． CD AM ．求证：
AMC DMB ．求证： AMC DMB ．
C
M
A
D
B
【答案】法一：如图，过 B 作 EB BC ，交 CD 延长线于 E ．
4 A
C
3 1M 2
D
B
5
E
∵ 3 1 90 ， 4 1 90 ，∴ 3 4 ． 又 AC CB ，∴ RtCBE ≌ RtAMC ，∴ BE CM ， 5 1 ． 又 BM CM ，∴ BE BM ． ∴ MBD EBD 90 ，而 MBD 45 ，∴ EBD MBD ． 又 BD 为公共边，∴ BED ≌ BMD ．∴ 5 2 ． 解法二：如图，作底边 AB 的高 CE 交 AM 于 F ，则 CE 亦为中线和角平分线，
∵ GM AB ，∴ AM 1 AD 2
又∵ AD DB ，∴ AM DN ．
⑵ ∵ DF ∥ AC ，∴ BDF A 30 ， AGD GDH 90 ，
∴ ADG 60 ． ∵ B 60 ， AD DB ，
∴ ADG ≌ DBH ，∴ AG DH ， 又∵ BDF A ， GM AB ， HN AB ， ∴ AMG ≌ DNH ．∴ AM DN ．
B
E
CF
2.
图中是一副三角板， 45 的三角板 Rt DEF 的直角顶点 D 恰好在 30 的三角板
Rt ABC 斜边 AB 的中点处， A 30，E 45，EDF ACB 90 ， DE 交
AC 于点 G ， GM AB 于 M ． （1）如图 1，当 DF 经过点 C 时，作 CN AB 于 N ，求证： AM DN ． （2）如图 2，当 DF ∥ AC 时， DF 交 BC 于 H ，作 HN AB 于 N ，（1）的结论仍
5.
ABC 中， B 90 ， M 为 AB 上一点，使得 AM BC ， N 为 BC 上一点，使得
CN BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求 APM 的度数，并写出你的推理证明的
过程．
A
M
P
BN
C
【答案】 APM 的度数为 45 证明过程如下： 如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD CN ，连接 DA 、 DN ， 于是因为 MD ∥CN 且 MD CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形． 从而 MDN MCN ， 又因为 CN BM ，得到 DM BM ，进而在 MDA 与 MBC 中，
∴ a x 1 ，∴ x a ．
ax 2
3
∴ DE BE a a 2a ，∴ ME 1 MC ，
33
DE 2 AC
∴ RtCAM ∽ RtEDM ，
∴ AMC BMD ．
D
B
13.
如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， BAC 是直角， D 是 AC 上一点，
AE BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若 ADB FDC ，求证：D 是 AC 的中点．
DM BM DMA MBC 90 ， MA BC
2
所以 DMA ≌ MBC ， 这样 DA MC ，而 MC DN ， 所以 DN DA ． 又因为 ADN ADM MDN ADM DAM 90 ， 所以得到 ADN 是一个等腰直角三角形， 所以 AND 45 ，利用 MC ∥ DN ，从而得到 APM AND 45 ．
A
D
M
P
BN C 图3
6.
如图，在 Rt ABC 中， AB AC ，AD BC ，垂足为 D ． E、F 分别是 CD、AD 上
的点，且 CE AF ．如果 AED 62 ，那么 DBF __________．
A
【答案】 28
F
B
DE
C
7.
E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE CF ．求证：AE BF ．